13数学本 - 2016数理金融学作业布置及参考答案(2)

作业次数顺序：请按作业本上顺序标号，我这里的标号不一定对。 做作业请我布置的顺序做，谢谢！

第八次作业：4.1 ，4.2 教材p68第6,7题请参考4.3,4.4解法

作业八：贝塔系数与证券定价（一）

4.1.一个由无风险资产和市场组合构成的投资组合的期望收益是11%，标准差是0.18，且市场组合的期望收益是15%。假定资本资产定价模型有效。如果一个证券与市场组合的相关系数是0.30、标准差是0.4，计算该证券的期望收益是多少？ 解：设该投资组合为Xp?(1??)r??XM, 由题意知，E(XM)?14%,r?0.05,?p???M

所以，E(Xp)?r??Mp(E(XM?r))，11%?5%??Mp(15%?5%)??Mp?0.6

?mp??,?m???0.180.6?0.3

mmp?p?p?mj??mj?p?m?0.3?0.400.3?0.120.3?0.4

由资本市场线CML方程得:

E(Xj)?r??Mj(E(XM)?r?5%?0.4?10%?9%

4.2设无风险利率为6%，市场组合的期望收益是15%，方差为0.04.证劵j与市场组合的相关系数是0.45，方差是0.16。根据资本资产定价模型，证券j的期望收益是多少？ 解：设Xj为证券j的收益率，由题意知，

2E(XM)?15%,r?6%,?mj??mj??j??m/?m?0.45?0.4?0.2/0.04?0.9

由CAPM模型：E(Xj)?rf??mj(E(XM)?rf)得：

E(Xj)?6%?0.9?(15%?6%)?14.1%

4.3假设证券的市场价值为40美元，证券的期望收益率为13%，无风险利率为7%，市场风险溢价E(XM)-r为8%。假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍，试求证券在当前的价值。

4.3解：设此证券为Xp由证券市场线方程E(Xp)-r=bMp(E(XM)-r)， 可知bMp?8%-7%=6%,bMp=0.75

因为bMp=cov(Xp,XM)var(XM),当证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍

时，bMp￠=2bMp=1.5,则E(X￠)=7%+1.5?8%收益D=P0?E(X)19%

40?13%5.2,原来的2倍时，bMp￠=2bMp=1.5,

D=P0ⅱ?E(X￠)P0?19%=5.2,P0?=5.2/19%?27.37

4.4假设证券的市场价值为60美元，证券的期望收益率为15%，无风险利率为7%，市场风险溢价E(XM)-r为8%。假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍，试求证券在当前的价值。

4.4解：设此证券为Xp由证券市场线方程E(Xp)-r=bMp(E(XM)-r)，可知

bMp?8%因为bMp=8%,bMp=1.0 cov(Xp,XM)var(XM),当证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍

时，bMp￠=2bMp=1.0?22.0。此时证券的期望收益率为：

23%，而收益D=60×15%=9.由股票价

E(Xpⅱ)=r+bMp(E(XM)-r)=7%+2?8%格=股票收益/收益率=9/23% =39.13

第九次作业

作业九CAPM公式及其应用

一、名词解释 1证券市场线； 2.资本市场线

1.证券市场线是指对任意资产组合Xp?M,由点(bMp,E(XP))所形成的轨迹.证券市场线方程为：E(Xp)-r=bMp(E(XM)-r).其中bMp=cov(Xp,XM)/sM为资产组合Xp的市场beta系数，r为无风险利率.它是过无风险资产对应的点(0,r)和市场资产组合对应的点(1,E(XM))的一条直线.

2.资本市场线是由所有有效资产组合Xp?M所对应的点(s(XP),E(XP))所形成的轨迹.资本市场线的方程为：E(XP)=r+二、选择题

2spsM(E(XM-r))

1.资本资产定价模型中，风险是通过（ B ）度量的 A．个别风险 B.贝塔系数 C.收益标准差 D.收益的方差

10.已知无风险收益率和市场组合期望收益率分别为0.06和0.12，根据CAPM模型，贝塔系数为1.2的证券X 的期望收益率是（ ）

A. 0.06 B. 0.144， C. 0.12 D. 0.132 解：rf=6%,E(XM)=12%,bp)=1.2, 由CAPM模型：E(Xp)?rf??p(E(XM)?rf)得

E(Xj)?6%?1.2?(12%?6%)?13.2%?0.132

2.CAPM模型是1964年由（ D ）提出的 A.Makowitz B.Linter C.Ross D.Sharpe

12.如果无风险利率rf=6%,E(XM)=14%,E(Xp)=18%,则资产组合Xp的b值等于多少？

A. -1.5 B. 1， C. 1.5 D 2 解：由CAPM模型：E(Xp)?rf??p(E(XM)?rf)得：

18%?6%??p(14%?6%),?p?1.5

3.（ D ）风险可以通过资产组合多样化来消除？

A. 预想到的风险 B. 系统性风险， C.市场风险 D 非系统性风险 4.证券的系统性风险可以用（ A ）来度量。

A. ?系数 B. 相关系数， C. 收益率的标准差 D 收益率的方差。 5.设当前无风险利率rf=6%，市场组合收益率的均值和标准差分别为

E(XM)=0.10,sM=0.20

如果某股票的收益率与市场组合收益率的协方差为0.05则该股票的期望收益率等于（ ）。A. 10% B. 11%， C. 12% D 9% 解：设该股票为Xj，则?mj?cov(Xj,XM)2?M由CAPM模型：E(Xj)?rf??mj(E(XM)?rf)得：

?0.05?1.25 0.04E(Xj)?6%?1.25?(10%?6%)?11%

三、计算题

1.建立资产组合时有以下两个机会：（1）无风险资产收益率为12％；（2）风险资产收益率为30％，标准差0.4。如果投资者资产组合的标准差为0.30，则这一资产组合的收益率为多少？ 解：运用CML方程式

E(RP)?RF?E(RM)?RFσPσM30%?12%E(RP)?12%?0.3?25.5%0.4

2.假定无风险利率为6％，市场收益率为16％，股票A当日售价为25元，在年末将支付每股0.5元的红利，其贝塔值为1.2，请预期股票A在年末的售价是多少？ 解：

E(Ri)?RF??iM[E(RM)?RF]?6%?(16%?6%)?1.2?18% E(P1)?25?0.5?18% E(P1)=29

25作业十：期权价值的计算（单期）

1.某个股票现价为40美元。已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元。无风险年利率为12%（连续复利）。请用无套利原理说明，执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ (2) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.

参考答案：

1.解：股票的价格二叉树模型为：

S0?40q?Su?421?q?Sd?38,rf?12%,??1/12

第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q. 由无套利原理知： e0.12′1/12?4042q+38(1-q)

从

40?(10.01)=42q+38(1-q)

我们得到

2.4=42q-38q=4q 所以 q=0.6

第2步：对衍生产品价值Cu和Cd求平均.

(1) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：

C0q?Cu?31?q?Cd?0

看涨期权的价格为： C0=1[q?31.01(1-q)?0]1.8?1.782（美元） 1.01(2) 执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：

P0q?Cu?01?q?Cd?1，所以看跌期权的价格为：

1[q?01.01(1-q)?1]0.4?0.396（美元） 1.01 P0=（3）P?S?C?Ke?r?，

P?S?0.396?40?40.396,C?Ke?r??1.782?39?e?0.01?40.396

2.某个股票现价为50美元。已知在两个月后，股票价格为53美元或48美元。无风险年利率为10%（连续复利）。请用无套利原理说明，（1）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.

2.解：股票的价格二叉树模型为：

S0?50q?Su?531?q?Sd?48,rf?10%,??1/6

第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q. 由无套利原理知： e0.1′1/6?5053q+48(1-q)

从

50?(11/60)=53q+48(1-q)

我们得到

17/6=53q-48q=5q 所以 q=3.4/6

第2步：对衍生产品价值Cu和Cd求平均.

(3) 执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：

C0q?Cu?41?q?Cd?0

看涨期权的价格为：

C0=1[q?461/60(1-q)?0]13.6/6136?=2.23（美元） 61/6061(4) 执行价格K=49美元的看跌期权的二叉树模型为：

P0q?Cu?01?q?Cd?1，所以看跌期权的价格为：

60[q?061(1-q)?1]602.6??0.426（美元） 616 P0=（3）P?S?C?Ke?r?，

P?S?0.426?50?50.426,

C?Ke?r??2.23?49?e?0.1?1/60?2.23?49?60/61?2.23?48.196?50.426

作业十一：期权价值的计算（2）单期

3. 某个股票现价为80美元。已知在4个月后，股票价格为75美元或85美元。无风险年利率为6%（连续复利）。请用无套利原理说明，（1）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.

3解：股票的价格二叉树模型为：

S0?80q?Su?851?q?Sd?75,rf?6%,??1/3

第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q. 由无套利原理知： e0.06′1/3?8085q+75(1-q)

从 80?(10.02)=85q+75(1-q)

我们得到

6.6=85q-75q=10q 所以 q=0.66

第2步：对衍生产品价值Cu和Cd求平均.

（2） 执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：

C0q?Cu?51?q?Cd?0

看涨期权的价格为： C0=1[q?51.02(1-q)?0]3.3?3.235（美元） 1.02（3） 执行价格K=80美元的看跌期权的二叉树模型为：

P0q?Cu?01?q?Cd?5，所以看跌期权的价格为：

1[q?01.02(1-q)?5]1.7?1.667（美元） 1.02 P0=（3）P?S?C?Ke?r?，

P?S?1.67?80?81.67,C?Ke?r??3.235?80?e?0.02?3.24?78.43?81.67

4．股票现在的价值为50元。一年后，它的价值可能是55元或40元。一年期利率为4%。假设我们希望计算两种看涨期权的价格，一种执行价格为48美元，另一种执行价为53美元。我们也希望为一种执行价为45元的看跌期权定价。 问：如何求欧式看涨期权这三个无套利价格。 4.解：股票的价格二叉树模型为：

S0?50q?Su?551?q?Sd?40,rf?4%,??1

第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q 由无套利原理知：

1.04?5055q+40(1-q) 从52=55q+40(1-q),得到 12=55q-40q=15q ,所以, q=12=0.8 15 第2步：对衍生产品价值Cu和Cd求平均

(1) 执行价格为48美元的1年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：

C0q?Cu?71?q?Cd?0

看涨期权的价格为： C0=1[q?71.04(1-q)?0]5.6?5.38（美元） 1.04(2) 执行价格为53美元的1年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：

C0q?Cu?21?q?Cd?0 看涨期权的价格为：

1(0.8?21.040)=1.6?1.54（美元） 1.04 C0=(3) 执行价格为45美元的1年后到期的欧式看跌期权的二叉树模型为：

C0q?Cu?01?q?Cd?5，看跌期权的价格为：

C0=

1(0+0.2?5)1.041.0?0.96（美元） 1.04

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