泛函分析考试试卷自制试卷

泛函分析考试试卷

一、选择题。

1、下列说法不正确的是（ ）

A、 n维欧式空间Rn 是可分空间 B、 全体有理数集为Rn 的可数稠密子集 C、 l∞ 是不可分空间 D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的 答案：D 2、设T是度量空间(X,d）到度量空间（Y，d~）的映射，那么T在x0?X连续的充要条件是（ ） A、当xn→x0（n→∞）时，必有Txn→Tx0（n→∞） B、当xn→x0（n→∞）时，必有Tx0→Txn（n→∞） C、当x0→xn（n→∞）时，必有Txn→Tx0（n→∞） D、当xn→x0（n→0）时，必有Txn→Tx0（n→0） 答案：D

3、在度量空间中有（ ）

A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列 C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列

D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案：C

4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是（ ） A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 B、Lp[a，b]（p≥1）是巴拿赫空间 C、空间lp是巴拿赫空间

D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间 答案：D

5、 下列对共轭算子性质描述错误的是（ ） A、（A+B)*=A*+B*; B、(A*)*=A** C、当X=Y时,(AB)*=B*A* D、（aA)*=aA* 答案：B

二、填空题

1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集M为 。

答案：原像T-1M是X中的开集

2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T是X上的 。

答案：连续算子。

3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切x?X有 。 答案：（Tx，x）=0 4、有界线性算子T的共轭算子T也是有界线性算子，并且 。 答案：=

5、设{fn}是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果{fn}在X的每点x处有界，那么{fn} 。 答案：一致有界

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T?T三、判断题

1、自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。（ ）√

2、设T1和T2是希尔伯特空间X上两个自伴算子，则T1*T2自伴的充要条件是T1*T2=T2*T1。（ ）√

3、强收敛必定弱收敛，弱收敛必定强收敛。（ ）×

4、设X和Y都是巴拿赫空间，如果T是从X到Y上的一对一有界线性算子，则T的逆算子T-1不是有界线性算子。（ ）× 5、无界算子不是闭算子。（ ）×

四、证明题

1. 设 X 是赋范线性空间, f 是X上连续线性泛函, 证明 f 的零空间N ( f ) 是 X 中闭子空间.

证明：对任何 x, y ? N ( f ), 及任何 ?, ? f (? x ? ? y) ? ? f (x) ? ? f (y) ? 0

所以 ? x ? ? y ? N ( f ). 所以 N (f) 是线性空间. 又设 x n ? N ( f ), 且 x n ? x ? X, 由 f连续 f (x) ? lim n f (x n) ? 0 所以x ? N ( f ). 所以 N ( f ) 是闭集.

2. 设 X 是赋范空间, A, B ? B (X ? X) 是X上正则算子, 证明 T ? A B 是X上正则算子. 证 A, B是正则算子, 所以 A ? 1, B ? 1 存在, 且 A ? 1, B ? 1 ? B (X ? X)

令 S ? B ? 1 A ? 1 ? B (X ? X), 则S T ? B ? 1 A ? 1 A B ? I, A B B ? 1 A ? 1 ? I 所以 S ? T ? 1, 所以 T是正则算子.

3. 设H是实内积空间, A是H上自伴算子, 证明A ? 0 的充分必要条件是对所有x ?

H, ?A x, x? ? 0.

证明 必要性: ? A x, x? ? ?0, x? ? 0, ? x ? H. 充分性: 对任意 x, y ? H 0 ? ? A (x ? y), x ? y?

? ? A x, x? ? ? A x, y? ? ? A y, x? ? ? A y, y ?

? ? A x, y? ? ? A y, x? 由 T是自伴算子 ? A y, x? ? ? y, A x? ? ?A x, y? , 所以 2 ? A x, y? ? 0 ? x, y ? H 所以 A x ? 0 ? x ? H

所以 A ? 0.

pl4、．证明：(1?p??)是可分空间。

解：考虑集合B?{(r1,r2,?,rn,0,?);ri?Q,n?1}，即B是由至多有限个坐标不为0，

且坐标都是有理数的元素构成。因此，B是可数集。

对于?x?(xi)?l?ppnp，有

?|xi|p)??i?1?，所以???0,?N?0，当n?N时，

i?n?1?|xi|?)?()2，有有理数的稠密性，可取得r1,r2,?,rn，

使得i?1?|xi?ri|p)?(2)p?

令y?(r1,r2,?,rn,0,?)?B?l。且

p||x?y||?(?|xi?yi|)i?1?p1/p?(?|xi?ri|?pi?1ni?n?1?|x?i|p)1/p

即B在l(1?p??)中稠密。依定义知l(1?p??)是可分的。

xn,x,yn,y?H，yn?y时，(xn,yn)?(x,y)，5、设H是内积空间，则当xn?x，

即内积关于两变元连续。

解：H是内积空间，设||?||是由其内积导出的范数，由于xn?x，yn?y，

i?1?(?|xi?ri|)pnp1/p?(?|xi|p)1/p?(2()p)1/p??2i?n?1p??所以???0，?n0使得当n?n0时均有||xn?x||??和||yn?y||??

同时由于yn?y，故知yn有界，x?H所以||x||有限。因此可取

因此|(xn,yn)?(x,y)|?|(xn,yn)?(x,yn)?(x,yn)?(x,y)|

1?n??M?sup(||x||,||yn||)?|(xn,yn)?(x,yn)|?|(x,yn)?(x,y)|?|(xn?x,yn)|?|(x,yn?y)| ?||xn?x||?||yn||?||x||?||yn?y||?|M|xn?x||?M||yn?y||?2M? lim{(xn,yn)?(x,y)}?0故n??，即(xn,yn)?(x,y)

五、计算题

pd(x,y)?|x?y|R 1、在实数轴上，令，当p为何值时，R是度量空间，p为何值时，R是赋范空间。

解：若R是度量空间，所以?x,y,z?R，必须有：d(x,z)?d(x,y)?d(y,z)成立

ppp|x?z|?|x?y|?|y?z|即，取x?1,y?0,z??1， ppp有2?1?1?2，所以，p?1

pd(x,0)?||x||?|x|R若是赋范空间，，所以?x,k?R，

pp||kx||?|k|?||x|||kx|?|k||x|必须有：成立，即，p?1，

当p?1时，若R是度量空间，p?1时，若R是赋范空间。

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