高中必修(一)(二)数学知识点 总结

高中必修(一)(二)数学知识点 总结

高中必修（一）（二）数学知识点

总结

必修一

集合与函数知识点讲解

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集 的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3. 注意下列性质：

（1）集合 a1，a2， ，an 的所有子集的个数是2n；

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式

的取值范围。 ax 5 0的解集为M，若3 M且5 M，求实数a x2 a

（∵3 M，∴a·3 5 032 a

a·5 5 025 a5 a 1， 9，25 ） 3 ∵5 M，∴

补充：数轴标根法解不等式

5. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

6 . 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

7. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y x4 xlg x 3 2的定义域是

（答： 0，2 2，3 3，4 ）

8. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b a 0，则函数F(x) f(x) f( x)的定

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义域是_____________。

（答：a， a）

9. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f

令t

2x 1 ex x，求f(x). t 0 ∴x t 1

∴f(t) et2 1 t2 1

∴f(x) ex2 1 x2 1 x 0

10. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1 x 如：求函数f(x) 2 x

1 x 0 的反函数 x 0 x 1 x 1 （答：f(x) ） x x 0

11. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y f(x)的定义域为A，值域为C，a A，b C，则f(a)=b f(b) a f 1 1 f(a) f 1(b) a，f f 1(b) f(a) b

12. 如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

（y f(u)，u (x)，则y f (x)

（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f (x) 为增函数，否则f (x) 为减函数。） 如：求y log1 x 2x的单调区间

2 2

（设u x 2x，由u 0则0 x 2 2

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且log1u ，u x 1 1，如图： 2

2

当x (0，1]时，u ，又log1u ，∴y

2

当x [1，2)时，u ，又log1u ，∴y

2

∴……）

13. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若f( x) f(x)总成立 f(x)为奇函数 函数图象关于原点对称 若f( x) f(x)总成立 f(x)为偶函数 函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一

个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0) 0。

a·2x a 2 如：若f(x) 为奇函数，则实数a x2 1

（∵f(x)为奇函数，x R，又0 R，∴f(0) 0

a·20 a 2 即 0，∴a 1） 02 1

2x

又如：f(x)为定义在( 1，1)上的奇函数，当x (0，1)时，f(x) x， 4 1

求f(x)在 1，1 上的解析式。

2 x

（令x 1，0 ，则 x 0，1 ，f( x) x 4 1

2 x2x

又f(x)为奇函数，∴f(x) x 4 11 4x

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2x

x 4 1 又f(0) 0，∴f(x) x 2

4x 1

14. 你熟悉周期函数的定义吗？ x ( 1，0)x 0x 0，1 ）

（若存在实数T（T 0），在定义域内总有f x T f(x)，则f(x)为周期

函数，T是一个周期。）

如：若f x a f(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T 2a为f(x)的一个周期）

又如：若f(x)图象有两条对称轴x a，x b

即f(a x) f(a x)，f(b x) f(b x)

则f(x)是周期函数，2a b为一个周期

如：

15. 常用的图象变换:(此类问题一定要搞清)

f(x)与f( x)的图象关于y轴对称

f(x)与 f(x)的图象关于x轴对称

f(x)与 f( x)的图象关于原点对称

f(x)与f 1(x)的图象关于直线y x对称

f(x)与f(2a x)的图象关于直线x a对称

f(x)与 f(2a x)的图象关于点(a，0)对称

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将y f(x)图象 左移a(a 0)个单位

右移a(a 0)个单位y f(x a)y f(x a)

上移b(b 0)个单位y f(x a) b y f(x a) b下移b(b 0)个单位

注意如下“翻折”变换：

f(x) f(x)

f(x) f(|x|)

如：f(x) log2 x 1

作出y log2 x 1 及y log2x 的图象

y=log2x

16. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（1）一次函数：y kx b k 0

（2）反比例函数：y

的双曲线。 kkk 0推广为y b k 0 是中心O'(a，b) xx a

2b 4ac b2 2图象为抛物线 （3）二次函数y ax bx c a 0 a x 2a 4a

b4ac b2 b， 顶点坐标为 ，对称轴x 4a 2a 2a

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开口方向：a 0，向上，函数ymin4ac b2 4a

a 0，向下，ymax4ac b2 4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2 bx c 0， 0时，两根x1、x2为二次函数y ax2 bx c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax2 bx c 0( 0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

0 b2 k 如：二次方程ax bx c 0的两根都大于k 2a f(k) 0

一根大于k，一根小于k f(k) 0

（4）指数函数：y ax a 0，a 1

（5）对数函数y logaxa 0，a 1

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

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ax(a>1)

（6）“对勾函数”y x k k 0 x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

17. 基本运算上需注意的问题:

指数运算：a 1(a 0)，a

am

n0 p 1(a 0) ap m(a 0)，a m

n 1

am(a 0)

对数运算：logaM·N logaM logaNM 0，N 0

loga M1 logM logN，logM logaaaaM Nn

logax 对数恒等式：a x

logcbn logambn logab logcam 对数换底公式：logab

18 . 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

如：（1）x R，f(x)满足f(x y) f(x) f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令x y 0 f(0) 0再令y x， ）

（2）x R，f(x)满足f(xy) f(x) f(y)，证明f(x)是偶函数。

（先令x y t f ( t)( t) f(t·t)

∴f( t) f( t) f(t) f(t)

∴f( t) f(t) ）

（3）证明单调性：f(x2) f x2 x1 x2

19.. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

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（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调

性法，导数法等。）

如求下列函数的最值：

（1）y 2x 3

（2）y 2x 4

x 3(先√X=?)

2x2

（3）x 3，y x 3

（4）y x 4

（5）y 4x

9 x2设x 3cos ， 0， 9，x (0，1] x

必修二

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