浙江大学概率论2010-2011秋冬试卷

浙江大学2010——2011学年秋冬学期2010-2011

一、填空题（42分）。

1、 设A、B为两随机事件，已知P（A）=0.6,P(B)=0.5,P(AB)?0.3，则P(AB)?_0.9__，P(A|AB)?__1__。

?a,x?80022、 一批产品的寿命X（小时）具有概率密度f(x)??，则?x??0,x?800a?___800___，随机取一件产品，其寿命大于1000小时的概率为

____0.8___;若随机独立抽取6件产品，则至少有两件寿命大于1000

10小时的概率为__1?C6(0.8)*(0.2)5?C6(0.2)6_____；若随机独立抽取100

件产品，则多于76件产品的寿命大于1000小时的概率近似值为_____0.16(用大数定理）______。

23、 设随机变量(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?)，已知X~N(0,1),Y~N(1,4)，

???0.5。设Z1?3X?Y，Z2?7X?4Y，则Z1服从_正态____分布，Z1与Z2的相关系数?Z1Z2?__0__，Z1与Z2独立吗？为什么？答：__独立，对于二维正态而言，两变量不相关等价于两变量独立____________. 4、 设总体X~N(?,?2)，?,?(?0)是未知参数，X1,,X10为来自X的简单随机样本，记X与S为样本均值和样本方差，则X是?2的无偏

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估计吗？答：__不是__；若P?S2?b?2??0.95，则b?_1.88__；_P?S2??2??__0___；?的置信度为95%的单侧置信下限为

X?S1.83St?(9)?X?；对于假设H0:?2?1，H1:?2?1的显著性水平为

10105%的拒绝域为___?2??12??(9)?3.32___。

二、（12分）某路段在长度为t（以分计）的时间段内，在天气好时

发生交通事故数X1~?(t)（泊松分布），天气不好时事故数480tX2~?()。设在不重叠时间段发生交通事故的次数相互独立。（1）

120若6:00-10:00天气是好的，求这一时间段该路段没有发生交通事故的概率；（2）设明天6:00-10:00天气好的概率为70%，求这一时间段该路段至少发生一次交通事故的概率；（3）若6:00-10:00天气是好的，求该路段在6:00-10:00至少发生一次交通事故的条件下，6:00-8:00没有发生交通事故的概率。 解：（1）由题意得：

P{X?0}?e???e?4*60480?e?0.5

?0.5（2）P{X?0)?1?P{X?0}?1?0.7e?0.3e?240120?1?0.7e?0.5?0.3e?2

（3）6:00-10:00天气是好的，A={6:00-10:00至少发生一次交通事故}，B={6:00-8:00没有发生交通事故}，则

P{A}?P{X?0}?1?eP{B}?P{X?0}?e?????1?e?2*60480?4*60480?1?e?0.5

?e?e?0.25 P(B)?1?e?0.25 P(AB)所求的概率为：P{B|A}?三、（12分）设二维随机变量?X,Y?的联合概率密度

?x,0?x?1,0?y?3x f(x,y)???0,其它（1） 问X与Y是否独立？说明理由； （2） 求条件概率密度fY|X(y|x)；

（3） 设Z?X?Y，求Z的概率密度fZ(z)。 解（1）当x?0时，显然有fX(x)?0；当x?0时：

fX(x)??????f(x,y)dy??xdy?3x2

03x??3x2?f(x,y)dy?xdy?3x,x?0?????0fX(x)??所以 ??0,x?01???1y2f(x,y)dx??xdx??,0?y?3?y/3fY(y)?????218同样的方法： ?0,qita?显然f(x,y)?fX(x)fY(y)，说明不独立。

?1f(x,y)?,0?y?3（2）当x>0时，fY|X(y|x)? ??3xfX(x)??0,y取其他值（3）fZ(z)????

??zz2z215z21,0?z?4?xdx???f(x,z?x)dx??f(x,z?x)dx???z/4232320?0,z取其他值?四、（12分）某车站（春节前）规定1人最多可买3张票，今有甲乙丙3人结伴买票，他们先各自排队，让先排到者买这3人的票，其余2人退出排队。设每个队等待时间独立，且都服从均值为20分钟的指数分布，记买到3张票的等待时间为Y分钟。 （1）求甲排队时间超多20分钟的概率； （2）求Y大于20的概率； （3）求Y的概率密度。

解： （1）由题意得：Xi分别表示甲乙丙排队时间；

1x1?20P(X1?20)??edx?e?1 2020?1x1?20（2）P(Y?20)?P(Xi?20,i?1,2,3)?[?20edx]3?e?3

20?（3）当y>0时，P(Y?y)?P(Xi?y,i?1,2,3)?[?y3y?3?20e?所以：f(y)?[P(Y?y)]'??20

?0,y?0??13x?y1?203edx]?e20 20五、（12分）设某商品一个月市场需求量X在?a,??上均匀分布，

a??0?已知，?(?a)未知。现有以往的数据（看成来自X的简单随机

样本）；x1,,xn。求?的矩估计值和极大似然估计值。 解 ：由题意得：E(X)?11，所以?(?a)的矩估计是???a ??aXn1?建立极大似然函数：L(?)????，若使其最大，可以?的极大似然??a??估计值：??max(x1,,xn)

i^

六（10分）一公司对新研发的某一化工产品进行中期试验，在3种不同的加热温度（其它条件不变）A1,A2,A3下观察其得率（%），得数据如下：

A1(X1) A2(X2) A3(X3)

58 50 45

3463 48 60

71 59 52

60 41 50

，且X1,X2,X3计算得T???657，??Xij2?36769。设Xi~N(?i,?2),i?1,2,3i?1j?1相互独立。请将方差分析表移到答题本上，并将表内空格填满。 方差来源 因素 误差 平方和 自由度 均方 F比 总和 在显著性水平??0.05下，检验假设H0:?1??2??3，H1:?1,?2,?3不全相同。

解：方差分析表如下：

方差分析：单因素方差分析SUMMARY组行 1行 2行 3行 4观测数4440求和平均方差2526332.6666719849.55520751.7538.916670#DIV/0!#DIV/0!方差分析差异源组间组内总计SS418.5379.75798.25dfMSFP-valueF crit3139.52.9387760.0990184.066181847.4687511

由方差分析表得P-value值为P_=0.099018>0.05=?,所以接受原假设

H0

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