2018年数列测试题

第一节 数列的概念与简单表示法

由an与Sn的关系求通 已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b.

[跟踪训练] (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝( )

A．2n＋1 B．2n C．2n－1 D．2n－2

(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.

由递推关系式求数列的通项公 分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)； n(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)；

n－1(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．

1

[跟踪训练] (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，求an.

n?n＋1? (2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，求an.

式 项an 第二节 等差数列及其前n项和

[基本能力自测]

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 3．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．6

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( ) A．5 B．7 C．9 D．11

5．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.

记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的

公差为( )

A．1 B．2 C．4 D．8

(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________. [跟踪训练](1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝( )

A．9 B．10 C．11 D．15

(2)[数学文化]《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织布的尺数为( )

1611618180A．29 B．31 C．15 D．15 记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．

1211

[跟踪训练] (1)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝2，＝a＋(n∈N*)，则

an＋1nan＋2该数列的通项为( )

1223

A．an＝n B．an＝ C．an＝ D．an＝n

n＋1n＋2311*

(2)已知数列{an}中，a1＝5，an＝2－(n≥2，n∈N)，数列{bn}满足bn＝

an－1an－1(n∈N*)．

①求证：数列{bn}是等差数列．

等差数列的判定与证明 等差数列的基本运算 ②求数列{an}中的通项公式an.

(1)(2018·东北三省三校二联)等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝39，a5＋

a7＋a9＝27，则数列{an}的前9项的和S9等于( )

A．66 B．99 C．144 D．297

(2)在等差数列{an}中，已知a1＝10，前n项和为Sn，若S9＝S12，则Sn取得最大值时，n＝________，Sn的最大值为________.

a69S11[跟踪训练] (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a＝11，则S＝( )

5

9

等差数列的性质及最值 1

A．1 B．－1 C．2 D．2 (2)设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.

第三节 等比数列及其前n项和

2

a23．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则b＝________.

4．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．

5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.

(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为( ) 111A．1 B．－2 C．1或－2 D．－1或2 (2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．

[跟踪训练] (1)[数学文化]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意

等比数列的基本运算 思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

(2)(2018·广州综合测试(二))在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1＝2，

22a2n＋2＋4an＝4an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

S4

(3)(2017·洛阳统考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋8a4＝0，则S＝

3

( )

5155A．－ B． C．

376

已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31

(2)若S5＝32，求λ.

[跟踪训练] 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．

(1)已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a2数列{bn}是等7＋a8＝0，

比数列，且b7＝a7，则b2b8b11＝( )

A．1 B．2 C．4

D．8

等比数列的性质及应用 D．

15

14

等比数列的判定与证明 (2)已知{an}为各项都是正数的等比数列，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝( )

A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50 [跟踪训练] (1)(2018·海口调研)在各项均为正数的等比数列{an}中，若am·am

＋2

＝2am＋1(m∈N*)，数列{an}的前n项积为Tn，且T2m＋1＝128，则m的值为( ) A．3 B．4 C．5

D．6

(2)(2018·合肥二检)等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2

＋log2a3＋…＋log2a9＝________.

第四节 数列求和

1

2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )

n?n＋1?511

A．1 B．6 C．6 D．30 3．数列{an}的通项公式是an＝

1n＋n＋1

，前n项和为9，则n等于( ) D．100

A．9 B．99 C．10

4．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________.

5．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.

已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14

＝b4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．

[跟踪训练] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n.

)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式；

??an??

(2)求数列?2n＋1?的前

????

分组转化求和 裂项相消法求和 n项和．

[跟踪训练] 已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝

1

，求数列{bn}的前n项和. anan＋1

错位相减法求和 已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求数列{an}的通项公式；

(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列

?bn?

??的前?an?

n项和Tn.

[跟踪训练]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*).

(1)求m的值；

an(2)若数列{bn}满足2＝log2bn(n∈N*)，求数列{(an＋6)·bn}的前n项和．

等差数列的3考点

——求项、求和及判定

??1??39

?是等差1．(2018·厦门一中测试)已知数列{an}中，a2＝，a5＝，且?

a－128??n??

数列，则 a7＝( )

A.

10111213

B. C. D. 9101112

2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )

A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤

3．在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，有下列命题：

①若S3＝S11，则必有S14＝0；②若S3＝S11，则必有S7是Sn中的最大项； ③若S7>S8，则必有S8>S9； ④若S7>S8，则必有S6>S9.

其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

4．(2018·大同模拟)在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于( )

A．290 B．300 C．580

D．600

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为( )

A．18 B．19 C．20 D．21

6．设{an}是等差数列，d是其公差，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )

A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．当n＝6或n＝7时Sn取得最大值 7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则( ) A．|a7|>|a8| B．|a7|<|a8| C．|a7|＝|a8| D．|a7|＝0 二、填空题

8．在数列{an}中，an＋1＝

an1＋3an，a1＝2，则a20＝________.

9．数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋2n，则数列{an}的通项公式为________． 10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，则λ＝________.

三、解答题

11．已知数列{an}是等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，a3＋a4＝12. (1)求a1＋a2＋a3＋a4＋a5；

(2)设bn＝10－an，数列{bn}的前n项和为Sn，若b1≠b2，则n为何值时，Sn最大？Sn最大值是多少？

12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表达式． 13．已知数列{an}中，a1＝4，an＝an－1＋2n－1＋3(n≥2，n∈N*)． (1)证明数列{an－2n}是等差数列，并求{an}的通项公式；

(2)设bn＝n，求bn的前n项和Sn.

2

14.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，an＋1＝2an＋2n＋1－1(n∈N*)． (1)求a2，a3； (2)求实数λ

??an＋λ使?n?2?

??

?为等差数列，并由此求出??

anan与Sn；

Sn*

(3)求n的所有取值，使∈N，说明你的理由．

an 等比数列的3考点

——基本运算、判定和应用

一、选择题

1．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝( ) 1

A．－1 B．1 C. D．－2

2

2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为( ) 117

A. B. C．2 216

D．17

a2

b2

S8S4

3．在等比数列{an}中，a1，a5为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a3＝( ) A．4 B．5 C．±4 D．±5

S2ma2m5m＋1

4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N，满足＝9，＝，

Smamm－1

*

则数列{an}的公比为( )

A．－2 B．2 C．－3 D．3

5．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，

b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为( )

A．126 B．130 C．132 D．134

6．正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得aman＝4a1，且a6＝a5＋2a4，14

则＋的最小值是( )

mn3725A. B．2 C. D. 236二、填空题

7．已知数列{an}满足a1，，，…，则a101＝________.

15911118．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋88a7a8a9a10

＝________.

9．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，关于数列{an}有下列四个命题： ①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1(n∈N*)； ②若Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，则{an}是等差数列； ③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列；

④若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n≥2)，则数列{an}是等比数列． 其中真命题的序号是________． 三、解答题

10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝

a2a3

a1a2an是首项为1，公比为2的等比数列，an－1

Sn＋n2

(n∈N)．

*

(1)若数列{an＋t}是等比数列，求t的值； (2)求数列{an}的通项公式.

11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)． (1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；

2n－11

(2)设bn＝，T是数列{bn}的前n项和，证明：Tn<.

an·an＋1n21

12．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．

3(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log4(1－Sn＋1)(n∈N*)，Tn＝围．

1．数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，数列{bn}满足bn＝1＋a1

1

b1b2b2b3

＋

1

＋…＋

1

bnbn＋1

，求Tn的取值范

＋a2＋…＋an，数列cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn，若{cn}为等比数列，则a＋q＝( )

A.2 C.5

B．3 D．6

2．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.

数列求和的3种方法

——分组转化、裂项相消及错位相减

一、选择题

1．在公差大于0的等差数列{an}中，2a7－a13＝1，且a1，a3－1，a6＋5成等比数列，则数列(－1)n－1an的前21项和为( )

A．21 B．－21 C．441 D．－441

?1?n2．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3??，则其前20项和为( )

?5?1?3?

A．380－?1－19?

5?5?1?3?

C．420－?1－20?

5?4?

1?2?

B．400－?1－20?

5?5?1?4?

D．440－?1－20?

5?5?

3．已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足关系 ＋

a1

b1

a2a3an1

＋＋…＋＝n，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为( ) b2b3bn2

A．－454 B．－450 C．－446

D．－442

1121231239

4．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若

233444101010101

bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn＝( )

an·an＋1

A.

nn＋1

B.

4n3n5n C. D. n＋1n＋1n＋1

5．已知数列{an}中，a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，

1

则＝( )

aiA.

2 0182 0174 036

B. C．2 D. 2 0192 0182 019

11

6．数列{an}为非常数列，满足：a1＝，a5＝，且a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝

48

na1an＋1对任何的正整数n都成立，则＋＋…＋的值为( ) a1a2a50

A．1 475 二、填空题

7．已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________．

8．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 018＝________.

1

9．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，bn＝，

an＋an＋1

2

2

2

111

B．1 425 C．1 325 D．1 275

数列{bn}的前n项和为Sn，则S33的值是________．

三、解答题

10．(2018·西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝－3，

S10＝－40.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.

11．已知等比数列{an}的公比q>1，且a1＋a3＝20，a2＝8. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，Sn是数列{bn}的前n项和，对任意正整数n，不等式Sn＋1)n·a恒成立，求实数a的取值范围．

12．(2018·云南统检)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意n∈N*，都有 2Sn＝(n＋1)an.

(1)求数列{an}的通项公式；

nann2n＋1

>(－

??

(2)若数列?

??an4

an＋2

??

?的前??

n项和为Tn，求证：≤Tn<1.

1

2

已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和，a1∈(0,2)，a2n＋3an＋2＝6Sn.

(1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝

1

an}的前n项和为Tn，若对?n∈N*，na，数列{bn＋1

求实数t的最大值．

≤4Tn恒成立，

t

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