巧学妙解王高中物理 - 图文

高中物理巧学妙解王 第二章 高频热点剖析

五、平抛运动的亮点

平抛运动是“曲线运动”的重点，也是历年高考的热点，解决平抛运动及类平抛运动问题，重在把握水平方向的匀速运动和竖直方向初速为零的匀加速直线运动的独立性、等时性、等效性，充分利用矢量三角形、勾股定理、三角函数等知识解答。特别提醒：

①强调落点的问题必须抓住两个分位移之间的关系。②强调末速度的“大小”或“方向”（特别是“方向”）的问题必须抓住两个分速度之间的关系。

另外，记住以下三个“二级结论”（也可称作定理）会让我们在今后解决平抛运动及类平抛运动问题中收到意想不到的效果，有关平抛运动的“亮点”一一列举出来，旨在促进复习和备考. 亮点一、(除时间以外)所有相关物理量均由高度与初速度两方面共同决定

平抛运动的时间由高度决定，这是由于竖直方向要受到空间的约束，根据h?gt2，得t?12间内水平位移和竖直位移分别为x?v0t，y?图2所示，由几何关系可知：

12gt，如212gty2gt，所以小球的运动时间t?2v0tan? tan????xv0t2v0g上面是从常规的分运动方法来研究斜面上的平抛运动，还可以变换一个角度去研究.

如图3所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量.

在垂直斜面方向上，小球做

图 3

的是以voy为初速度、gy为加

速度的竖直上抛运动.小球“上、下”一个来回的时间等于它从抛出至落到斜面上的运动时间，于是立即可得

t?2voygy?2vosin?vtan? ?20gcos?g2h，其他物理g量如速度、位移等都由初始条件即高度和初速度两个方面共同决定(设地球表面的重力加速度g恒定).

【例1】做平抛运动的物体，哪些物理量仅仅由高度决定 （ ）

A．落地时瞬时速度的大小 B．物体运动的位移

C．落地时瞬时速度的方向 D．物体在空中运动的时间 〖解析〗 落地时瞬时速度的大小为：

2222v?vx?vy?v0?(gt)2?v0?2gh 采用这种观点，还可以很容易算出小球从斜面上抛出后

的运动过程中离斜面的最大距离、从抛出到离斜面最大的时间、斜面上的射程等问题.

亮点二、速度角的正切值是位移角正切的二倍 如图4所示，设做平抛运动的物体在任意时刻的速度与水平方向的夹角(速度角)为?,其位移与水平方向的夹角(位移角)为?,则速度角的正切值为:tan??vyvx?gt v0图 4

故落地时的瞬时速度由初速度和高度共同决定，故A错，物体运动的位移为：

s?x?y?(v0t)?h?222222v0h?h2 g12gth21gttan????

xv0t2v0所以tan??2tan?

将这个结论通过变化可以得到另一个结论:

tan??2hh?，即任意时刻物体运动的瞬时速度的反向xx2其位移由初速度和高度共同决定，故B错;落地时瞬时

gt速度的方向为：tan????vxv0vy2gh v0其方向由初速度和高度共同决定，故C错，选D. 点评 其实本题只要知道这条结论就可以直接选择正确答案.

【例2】如图1所示，在倾角为?的斜面上A点以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B点所用的时间为( ) A.2v0sin? B. 2v0tan?

ggC. v0sin? D. v0tan?

g延长线必交于过开始抛出点的水平轴上位移x的中点处,如图4所示.

【例3】如图5所示，从倾角为?的足够长斜面上的A点，先后将同一个小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，速度为v2，球落到斜面上瞬时速度方向与斜面夹角为?2，不

计空气阻力，若v1?v2，则?1

图 5

球落到斜面上瞬时速度方向与斜面夹角为?1，第二次初

图1

g

〖解析〗设小球从抛出至落到

斜面上的时间为t，在这段时

---102---

图 6

图 2

“小于”或者“等于”). ?2 (填“大于”〖解析〗 如图6所示，小球两次的位移角均为?，根据以上结论，两次的速度角?也应相等，而题中的角?为速度角和位移角的差，即?????，那么?1??2. 点评 应用这条结论解决本题既快速又方便实用.此题可变为：一物体从斜面上的一点A平抛出并落到斜面上的另一B点，试证明物体落在B点的速度与斜面的夹角为定值. 【例4】如图7所示，一个半径为R的半圆环PMQ竖直M放置并保持圆环直径PQ水平，为环上的最低点。一个小球从P点以速度v0水平抛出，不计空气阻 力，下列说法中正确的是 ( ) 图 7 A．总可以找到一个v0值，使小球垂直撞击半圆环的PM段 B．总可以找到一个v0值，使小球垂直撞击半圆环的QM段 C．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环 D．无论v0取何值，小球都能垂直撞击半圆环 〖解析〗小球从P点以速度v0水平抛出，如果撞击半圆环的PM段，速度方向必然斜向右下方，A错误；如果小球能垂直撞击半圆环，则速度的反向延长线沿半径方向（过半圆环的中心O）,这与平抛运动的规律（任意时刻物体运动的瞬时 速度的反向延长线必交于过开始图 8 抛出点的水平轴上位移x的中点处）相矛盾，如图8所示，因此无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环，C正确。 【例5】如9所示，与水平面的夹角为?的直角三角形木块固定在地面上，有一质点以初速度v0从三角形木块的顶点上水平抛出.试求图 9 质点距斜面的最远距离. 〖解析〗 当质点做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，质点距斜面的距离最远。此时末速度方向与初速度方向成?角，如图10 所示。 图 10 图中A为末速度的反向延长线与水平位移的交点， AB即为所求的最远距离。根据平抛运动规律有：vy?gt，x?v0t和由平抛运动的知识可知：OA?vyv0?tan? v02tan?sin?解以上各式得：AB＝ 此式即2g图 11 为质点距斜面的最远距离. 【例6】一质量为m的小物体从倾角为??30o的斜面顶点A水平抛出，落在斜面上B点，若物体到达B点时的速度为21m/s，试求小物体抛出时的初速度为多大?（不计运动过程中的空气阻力） 〖解析〗由题意作出图11，末速度与水平方向夹角设为?，斜面倾角为?.根据平抛运动的知识可得： tan??2ta?n，??300，所以tan??23， 3由三角知识可得：cos??321以初速度v0?vtcos??321m/s ，又因为vt?v0，所cos?亮点三、平抛运动的轨迹为抛物线 平抛运动的曲线之所以是抛物线，就是因为其轨迹满足抛物线方程，即y?g2x2,这是水平位移x?v0t和竖直位2v0移y?12gt相互联立消去中间参量时间t后得到的。 2【例7】如图12所示是做平抛运动的物体在空中运动的曲线的一部分，试根据图示情况确定物体平抛的初速度（x方向为水平方向） 〖解析〗若A点为抛出点， 由于水平方向做匀速直线运图12 动，则物体从A→B与B→C的时间之比为2:1，而AB、BC的竖直距离不满足4:5，故A点不是抛出点，可以把图中的坐标系平移，以抛出点为坐标原点，设A点在新坐标系中的坐标为（x0,y0），设平抛初速度为v0，则物体运动的轨迹方程为y?g2x2，因A、B、C三点2v0在同一曲线上，故有： y0?g2x 202v0 y0?0.15?g(x0?0.20)2 22v0g(x0?0.30)2 22v0图13 y0?0.2625? 联立三式得v0?1.98m/s 【例8】一个小球从楼梯顶以1.6m/s的水平速度滚下，所有阶梯均为20cm宽、20cm高，问球首先落在第几级阶梯上？ 〖解析〗建立如图13所示的坐标系，求得直线y?x与球的平抛轨迹方程y?g2x2交点为x?y?0.522m，由于2v0x 2据图中几何关系可得：AB＝AOsin? 2?0.2m<0.522m<3?0.2m,故小球首先落在第三级阶梯上。 【例9】有一个小滑块，放在半径为的R半球的顶端，若要使滑块离---103---

图14

开半球做平抛运动，而且运动过程中不与球面相碰，给滑块的水平速度至少为多大？ 〖解析〗选半球的球心为坐标原点，滑块的初速度v0方向为x轴正方向，建立如图14所示的坐标系，滑块平g抛运动的轨迹方程为y?R?2x2，半球支持面方程为2v0x2?y2?R2,要使滑块在运动过程中不与球面相碰，对点评 在知道水平位移的情况下，要计算初速度，显然要求出T,而T正是由公差公式?y?gT2计算得到的. 亮点五、平抛运动中动能定理与动量定理的简化形式 平抛运动在水平方向不受力，所以物体沿水平方向动量分量px守恒，竖直方向只受到重力作用，物体沿竖直方向的动量py增加，所以可以把动量定理简化成如下形式，即mgt?m?yv，其动能定理可简化为：12121212mgh??Ek?(mv0?mvy)?mv0?mvy 2222【例12】如图17所示，质量为m?0.10kg的小钢球以于任意的x?0的值，都必须使R?2g2整x?R2?x2，22v0gxgR理后可得x[(2)2?1?2]?0，对于任意x?0的值，2v0v0要使此不等式成立，只需要满足1?gR≥0，即v0≥2v0下落高度v0?10m/s的水平速度抛出，h?5m时撞击一钢板，撞后速度恰好反向，则钢板与水平面的夹角?= ，小球撞击钢板时的动量大小为 .（g?10m/s2） 2〖解析〗根据动能定理得mgh?1mvy，gR,因此应给滑块的水平初速度至少为gR。 【例10】排球场总长18m，网高2m，运动员在3m线正上方水平击球(方向垂直于底线)，假设球做平抛运动，问在什么高度处击球，无论速度为多大，球总要出界或触网? 〖解析〗 我们知道除时间以外，其他物 图15 理量均与初速度和高度有关，那么本题只有一种可能，就是击球点D与对方底线B和球网上边缘C在同一条抛物线上如图15所g示（击网示意图).根据平抛运动的轨迹方程y?2x2,2v0h?232得：?2,则h?2.13m. h12这样，如果速度大必然出界，速度小必然触网. 图 17 2求出vy?10m/s，此时有vy?vx?v0，则小球沿竖直方向与水平方向的速度相等，又小球与钢板撞后速度恰好反向可知，小球撞击钢板时的速度与钢板垂直，所以0??45，小球撞击钢板时的动量为mv?(mv0)2?(mvy)2?2kgm/s 点评 本题也可以用运动学的方法解，但是从能量角度解决，更上一层楼. 亮点六：平抛运动的物体经过时间t后，位移s与水平方向的夹角为β，则此时的动能与初动能的关系为. 亮点七、在平抛运动的实验中，用竖直方向的比例判定坐标原点是否为其抛出点 关于平抛运动的实验题，常常考查坐标原点是否为抛出点的问题，如果坐标原点的确是抛出点，小球在竖直方向应该是完整的自由落体运动，在依次连续相等的时间内，其位移满足特殊比例为1：3：5：7……,如果开始阶段的比例是1：3，表明是抛出点，否则就不是抛出点. 【例13】判断例11中坐标原点是否为小球的抛出点?如果不是，则抛出点的坐标是 . 〖解析〗由于y??15cm,y???25cm，则y?:y???3:5. 由此可以断定坐标原点O'并非小球的抛出点O.由平抛运动的规律可知抛出点的位置应该是点O,如图18所示，其坐标应为(?20cm,?5cm)。 总之，平抛运动的规律虽然是在地球表面的重力场中得图 18 Ekt?Ek0(1+4tan2?)点评 轨迹方程解决问题是很简捷的，应用是很广泛的，由此题可见一般. 亮点四、物体沿竖直方向依次在连续相等的时间内的位移公差是解决时间单位T的关键 平抛运动沿竖直方向的运动是自由落体运动，依次在连续相等的单位时间T内沿竖直方向的位移成等差数列，公差为?y?gT2，它是解决时间T的关键. 【例11】某学生在做“研究平抛运动的实验”中，忘记小球做平抛运动的起点位置O，他只得到如图16所示的一段轨迹，建立如图16所示坐标系，则该物体做平抛运动的初速度为(g?10m/s2) ( ) A.1.0m/s B. 10m/s C.2.0m/s D. 20m/s 〖解析〗 从O'点开始，物体沿竖 图 16 直方向依次在连续相等的时间T内的位移分别为y1?15cm，y2?25cm，则由公差公式?y?gT2计算出T?0.1s,再根据水平方向的位移 ?x?v0T,解得v0?0.2m/s?2.0m/s.故选C 0.1---104---

到的，但同样适用于月球表面和其他行星表面的平抛运动.也适用于物体以初速度v0运动时，同时受到垂直于初速度方向，大小、方向均不变的力F作用的情况.例如带电粒子在电场中的偏转运动、物体在斜面上的运动以及带电粒子在复合场中的运动等等.解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系. 时间+汗水≠效果 苦学、蛮学不如巧学 请相互传阅 难题、好题天天解，堂堂解 不如巧学妙解 相互分享

快速学好高中物理的法宝--《巧学妙解王》

我是河南省睢县高级中学的一名高级教师——李仲旭，常常听学生抱怨：“上课听得懂，练习也会做，可一考试就砸”，分析原因，不难发现：学校所发的复习用书大多是课本知识的再现，安排的练习题所涉及的知识点比较单一，解题思路简单，解题方法很少，而考试题往往覆盖的知识点多，综合程度高，所用解题方法灵活；如果学生缺乏一定量的好的解题方法，产生上述抱怨就在情理之中.高中阶段，最难学的课程是物理，既要求学生有过硬的数学功底，还要学生有较强的空间立体感和抽象思维能力。据调查发现高中生中80%以上的学生恐惧物理，学习具有盲目性，物理解题方法不得当。我经过23年的研究积累，为解答学生学习物理难的这一难题，于2007年出版了《高中物理巧学妙解王》一书，此书于2011年10月再版。《巧学妙解王》编者阅试题无数，感题目之无限，欲穷尽，难于登天；但题型之有限，与常教学之中，均精通一题型，可灭数千题，遂集吾教学之精华总结与此，盖学习不应苦而应“巧”，做题不应繁而应“妙”，寓于《巧学妙解王》一书，尔必将受益终生！ 《巧学妙解王》，这是一本“妙题”与“巧解”的书加光碟，收集了许多很精彩的题目，提供了很多很好的巧学妙解的解题方法。学习完这本书会使你感到学习高中物理变的其实很简单，下面是书中的一点点内容如下，先睹为快，欣赏下面的题目和它的“巧妙解法”：

状态，，小圆环受力情况如图所示。根据胡克定律有问题一：如图所示，建筑工人要将建筑材料送到

T?k(2Rcos??L)，在沿切线方向根据力平衡条件有： 高处，常在楼顶装置一个定滑轮（图中未画出），

??用绳AC通过滑轮将建筑材料提到某一高处，为Tcos(??)?Gcos(?2?) 22了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人

由此两式求得：小圆环静止时，弹簧与竖直方向的夹角为：还另外用绳CD拉住材料，使它与竖直墙面保持

一定的距离L。若不计两根绳的重力，在建筑材

料匀速提起的过程中，绳AC和CD的拉力F1和F2的大小变化情况是( )

A. F1增大，F2增大 B. F1增大，F2不变 C. F1增大，F2减小 D. F1减小，F2减小

通常的解法是：取三绳连接点O为研究对象，O点受到向下绳子拉力，大小为建筑材料重力G，还受到绳AC和CD的拉力F1和F2，如右图所示。由于O点向上做匀速运动，受力平衡，故有：

F1cos??G?F2cos?F1sin??F2sin?cos??kL2(kR?G)

巧妙解法：由于所有接触面都是光滑的，故小圆环不受摩擦力，小圆环在重力G、弹簧弹力T与大圆环N的作用下处于静止状态，故三力构成如图所示的封闭三角形，由于对应边平行，因此力的三角形与表示距离的三角形AOB相似。根据相似三角形对应边成比例关系有：G?R，

T2Rcos?又根据胡克定律有：T?k(2Rcos??L)

由此解得：F1?sin?sin?G，F2?Gsin(??sin?)sin(??sin?)

kL2(kR?G)由于在建筑材料上升的过程中，?逐渐增大，?逐渐减小，故sin?逐渐增大，sin?逐渐减小，sin(???)逐渐减小且减小得比sin?快。所以，F1逐渐增大，F2逐渐增大。 答案A正确。

巧妙解法：由于材料与竖直墙面保持一定的距离L，在建筑材料提起的过程中，绳AC和CD之间的夹角增大，而绳AC和CD的拉力F1和F2的合力F大小始终等于建筑材料的重力。当一个恒力分解成两个夹角逐渐增大的均逐渐增大。如图所示，故F1增大，F2增大。答案A正确。

问题二：如图所示，小圆环重为G,固定的竖直大圆环半径为R,轻弹簧原长为L(L?2R),其劲度系数为k，一端悬于大圆环最高点，另一端与小圆环连接，小圆环套在大圆环上所有接触面均光滑，则小圆环静止时，弹簧与竖直方向的夹角cos?为 。

通常的解法是：由于所有接触面都是光滑的，故小圆环不受摩擦力，小圆环在重力G、弹簧弹力T与大圆环N的作用下处于静止

代入上式求得弹簧与竖直方向的夹角cos??

问题三：如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下挂一质量为m0的平盘，盘中有一物体质量m，当盘静止时，弹簧伸长了l.现向下拉盘使弹簧再伸长?l后停止，然后松手放开，设弹簧总在弹性限度内，则刚松手时盘对物体的支持力等于 （ ） A. (1??l)(m?m0)g B. (1??l)mg C. ?lmgD. ?l(m?m0)g

llll

通常的解法是：当弹簧伸长l处于静止时，对盘和物体整体有：kl?(m?m0)g ①

当刚松手时，对盘和物体整体有： k(l??l)?(m?m0)g?(m?m0)a ② 隔离m有：FN?mg?ma ③

联立①②③解得：FN?(1??l)mg，答案为B

l巧妙解法：

---105---

由题意知，当弹簧伸长l时，盘和物体均处于静止，盘对物体的力才等于mg. 支持力等于mg，在特殊值?l?0时，只有答案B,盘对物体的支持 看了上面三个题的解法，是不是觉得很巧妙吧，从中是否体会到解题的乐趣，赶快去看吧，里面还有很多精彩的题目和解答。不过，在读题的时候一定细细地读，仔细地品，同时还要做“跟踪演练”的题目。只有这样，才能提高你的解题能力，使你成为“解题高手”。

亲爱的同学们：由于纸张有限，书中更多精彩典例不能一一列出，要想了解更多典例，请你发电子邮件到：lizhx.888@163.com邮箱,立即自动回复邮件一封，按照回复邮件提示即可得到。

凡是使用过该书的同学，物理成绩突飞猛进，《巧学妙解王》经过多次改版，已经成为快速学好高中物理的法宝，有些高中教师买了书，把书中的许多方法作为自己的教案，讲解给学生，使用过《巧学妙解王》的师生反映特别特别好，很多学生不断打电话要《巧学妙解王》，因为编著者是一线教师，编的资料是针对学生，使用质量很高。书中所讲解的方法让你体验到一看就懂，一学就会，一用就灵的学习快乐！100天攻克物理，不再是神话！《巧学妙解王》，就这么简单!现在将此书以低于印刷成本价，向大家推荐，目的只有一个：通过此书使你在较短的时间内尽快把高中物理成绩提上去，争取在高考中考取心目中理想的大学。这也是我作为一名具有多年教学生涯教师的一次善举，以此感恩和回报社会。

为了消除你邮购买书的疑虑，不至于上当受骗，特推出了与众不同的做法：可以先看后买，不满意马上翻倍退款”的承诺，为的就是让你先了解《巧学妙解王》，再花钱买《巧学妙解王》就觉得值！买得放心！学着舒心，而且会将《巧学妙解王》推荐给同学、好友，请您发电子邮件到lizhx.888@163.com,立即自动回复邮件一封，按照回复邮件提示得到部分内容给你，先看看内容，再决定是否购买！

“先看后买”的做法全国很难找出第二家吧？只有先看后买才不会骗人的！！如果不能“先看后买”你可千万要小心哦！有的学生被骗了几百元，50多元买一本书，结果买的书抵不上书店的书。我这本《巧学妙解王》目前老师﹑学生都评价非常非常好，确实能轻松快速提高物理成绩！

购书只有通过官方淘宝店进行，通过EMS快递或中通快递3-7天就可收到，包含《高中物理巧学妙解王》书一本和一张4.7GB光碟一张（价值50元）。凡通过淘宝购买《巧学妙解王》者均可免费赠送北京大学音像出版社出版的《模型解题法数理化》和《黄金格作文》。对于《模型解题法》和《黄金格作文》是什么，也许你是了解的，如果不了解可以上网百度一下。您发十多元钱，实际得到的是上千元的学习资料，你赚大啦。另外凡是通过淘宝搜藏“金榜学苑”店铺的均可免费得到“高中数学模型解题法”，请同学们动动鼠标赶快去收藏吧，搜藏后请把截图通过qq发送到1805082643@qq.com邮箱，我会发送模型解题法到你邮箱。

书到付款——上淘宝网可以做到这点，在淘宝网上搜索书名“巧学妙解王”或搜索店铺：“金榜学苑”即可到，先把书款付到支付宝，收到书满意后，再把款付给我，对你来说，不存在受骗，风险为零。

如果您没有注册淘宝账户，注册一下即可，或者问下你的同学谁有淘宝账号，请他帮助一下，你把钱给他，请他替你购买也可；如果您注册了淘宝账户，请登录淘宝，购买即可。《巧学妙解王》——高中物理,为大16开本，印制精美，封面压膜彩色印刷，292页，又大又厚（与A4纸张一样大），内容丰富，书店没有此书销售。只有通过淘宝购买。

《巧学妙解王》简介： 第一章是方法与技巧讲解，较详细地介绍了70种高中物理解题方法，这些方法中有大家很熟悉的、用得很多的整体法、隔离法、力的合成法、力的分解法、力的正交分解法、矢量图解法、……，也有用得很少的三力汇交原理法、等分法、串反并同法、数格法、动态圆法、……，并大量举例说明。这些方法用起来很巧，给人以耳目一新、茅塞顿开的感觉.

第二章是高频热点剖析，共34个高频热点问题，对每个热点问题分析透彻，讲解详细得当明了，剖析精细，归纳得当，每一道题目的选择和制定都经过精心筛选,层层把关,做到题题新颖、题题典范、题题扣准实战.

第三章是实验，提及实验，有的同学会说：“每一次物理考试，实验题几乎不得分”，在说话的同时脸上呈现出很茫然的神态.实验题是绝大多数学生的薄弱环节，在高考中也是易失分的地方，这部分从基本器材的使用、每个实验的原理等各个方面进行讲解，分析透彻，面面俱到.

第四章是习题定理，举出高中物理中的常用习题定理，只要掌握和理解，对一些常见的物理问题，能够使你做到试题读完答案看出.

光盘内容：

1. 包括《快速提高理科六门成绩的诀窍》《高中数学考点荟萃》、《高中物理解题方法指导》、《万有引力与航天模型》、《游标卡尺和螺旋测微器》、《定值电阻在电学设计实验中的巧用》、《化学推断题解题高手》和《机化学主要考点》。其中《万有引力与航天模型》、《定值电阻在电学设计实验中的巧用》《巧解化学推断题》内容最多最好，请理科考生务必记住里面的主要内容，只要花2—3天时间，多看多记，物理和化学成绩就可以大幅度提高10---30分，同时对理综成绩也会有较大提高。因为现在高考物理中大约有18分的电学设计性实验和必考知识点游标卡尺及螺旋测微器，大多考生对此实验不知所措，掌握了这些内容，基本上再做电学实验就会胸有成竹，22分的实验题必得无疑。 2. 此光盘中的《万有引力与航天模型》、《定值电阻在电学设计实验中的巧用》、《游标卡尺和螺旋测微器》、《巧解化学推断题》制作起来就很难很难，花费了我大量的精力和汗水，也花了不少钱。有一家教育培训机构卖80元一片（把我的光盘刻录了卖钱！） 为使更多同学了解《巧学妙解王》一书，请把该资料在班级内传阅，使更多想在较短时间内学好物理的同学与我们一起分享《巧学妙解王》的快乐。

联系电话：13598362767 QQ：1805082643 邮编：476900 河南省睢县高级中学李仲旭

淘宝店地址：http://shop63905063.taobao.com 有什么疑难可以短信咨询，如果没有及时给你回复，是我正在上课，下课后马上给你回电或短信。

（另外《巧学妙解王》还有数学、化学、英语、生物五科，也可只要书稿，您自己可以打印，一科10元，这样也可免去快递费）

最后祝同学们学业有成，金榜题名！ 更多精彩高考资料登录淘宝店了解详情

---106---

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uf1o.html