湖南大学2005年高等代数考研真题

高等代数——2005年真题

一．（20分）证明：数域F上的一个n次多项式f?x?能被它的导数整除的充要条件是

f?x??a?x?b?，?其中a,b是F中的数?.

n二．（20分）设a1a2?an?0，计算下面的行列式：

1?a111?111?a21?111?1??1111111?1?an

1?a3?????2??2??????4?1三．（15分）已知矩阵A?PQ，其中P???，Q???，Q?，求矩阵A,A2和A100。

?3???2?????1????1?四．（20分）给定线性方程组

?x1?a1x2?a12x3?a13?23?x1?a2x2?a2x3?a2 ? （1） 23?x1?a3x2?a3x3?a323??x1?a4x2?a4x3?a4当a1,a2,a3,a4满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设f?X???AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使得Xf?X1????f?X2???，证明：必存在实n维向量X0?0使f?X0??0。

六．设W是齐次线性方程组

?2x1?x2?x3?x4?3x5?0 ? （2）

x?x?x?????????????x?05?123的解空间。1.W中的向量与方程组（2）的系数矩阵的行向量有何关系？2。求W的一组标

准正交基。

?131616???七．（15分）求复矩阵??5?7?6?的不变因子，初等因子及Jordan标准形。

??6?8?7???八．（10分）设整系数线性方程组

?axijj?1nj?bi，?i?1,2,?,n?对任意整数b1,b2,?,bn均

有整数解。证明该方程组的系数矩阵的行列式必为?1。

九．（15分）设A,B,C为复数域上n维空间V的线性变换，AB?BA?C,并且C可以与

A,B交换。

1.证明C的特征子空间是A,B的不变子空间。 2.证明C的特征值全为0。

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