《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零. （ ）

2．若z0是多项式P(z)?anzn?an?1zn?1???a0(an?0)的根，则z0也P(z)是的根.（ ） 3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为一常数.（ ） 4．设函数f1(z)与f2(z)在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的z?D，有f1(z)?f2(z). （ ）

5．若z??是函数f(z)的可去奇点，则Resf(z)?0. （ ）

z??二、填空题.（每题2分）

1．i2?i3?i4?i5?i6? _____________________. 2．设z?x?iy?0，且???argz??,?arg?arctanyx1z?________________.

?2?arctanyx??2，当x?0,y?0时，

3．函数w?将z平面上的曲线(x?1)2?y2?1变成w平面上的曲线______________.

4．方程z4?a4?0(a?0)的不同的根为________________. 5．(1?i)i___________________.

?6．级数?[2?(?1)n]z2的收敛半径为____________________.

n?07．cosnz在z?n（n为正整数）内零点的个数为_____________________.

3368．函数f(z)?6sinz?z(z?6)的零点z?0的阶数为_____________________.

9．设a为函数f(z)??(z)?(z)的一阶极点，且?(a)?0,?(a)?0,??(a)?0，则

Resz?af?(z)f(z)?_____________________.

10．设a为函数f(z)的m阶极点，则Resz?af?(z)f(z)?_____________________.

三、计算题（50分）

1

1．设u(x,y)?满足f(1?i)?1212ln(x?y)。求v(x,y)，使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且ln2.其中z?D（D为复平面内的区域）.（15分）

222．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10分）

1 （1） tanz； （5分） （2）3．计算下列积分.（15分） （1）? （2）?zz?42419432ez?1e?1z. （5分）

(z?1)(z?2)d?， dz （8分）

?01?cos?2 （7分）.

4．叙述儒歇定理并讨论方程z7?5z4?z2?2?0在z?1内根的个数.（10分） 四、证明题

1．设函数f(z)在z?R内解析，令M(r)?maxf(z),(0?r?R)。证明：M(r)在区

z?r间[0,R)上是一个上升函数，且若存在r1及r2（0?r1?r2?R），使M(r1)?M(r2)，则

f(z)?常数.（10分）

《复变函数》考试试题（二）

二、

判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）

1．设复数z1?x1?iy1及z2?x2?iy2，若x1?x2或y1?y2，则称z1与z2是相等的复数。（ ）

2．函数f(z)?Rez在复平面上处处可微。 （ ）

223．sinz?cosz?1且sinz?1,cosz?1。 （ ）

4．设函数f(z)是有界区域D内的非常数的解析函数，且在闭域D?D??D上连续，则存在M?0，使得对任意的z?D，有f(z)?M。 （ ） 5．若函数f(z)是非常的整函数，则f(z)必是有界函数。（ ） 二、填空题。（每题2分）

1．i?i?i?i?i? _____________________。 2．设z?x?iy?0，且???argz??,??2?arctanyx?23456?2，当x?0,y?0时，

2

arg?arctanyx?________________。

3．若已知f(z)?x(1?1x?y2)?iy(1?21x?y22则其关于变量z的表达式为__________。 )，

4．nz以z?________________为支点。 5．若lnz?dzz?1?2i，则z?_______________。

6．?z?________________。

7．级数1?z2?z4?z6??的收敛半径为________________。 8．cosnz在z?n（n为正整数）内零点的个数为_______________。

9．若z?a为函数f(z)的一个本质奇点，且在点a的充分小的邻域内不为零，则z?a是1f(z)的________________奇点。

10．设a为函数f(z)的n阶极点，则Resz?af?(z)f(z)?_____________________。

三、计算题（50分）

1．设区域D是沿正实轴割开的z平面，求函数w?5z在D内满足条件5?1??1的单值

连续解析分支在z?1?i处之值。 （10分）

2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分） （1）f(z)?Lnzz?12的各解析分支在z?1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数 （10

ezz分） （2）求Resz?0n?1。 （5分）

3．计算下列积分。（15分） （1）?zz?22372(z?1)(z?2)xdx(x?a)2222dz （8分），

（2）?????(a?0) （7分）。

64．叙述儒歇定理并讨论方程z?6z?10?0在z?1内根的个数。（10分）

四、证明题（20分）

3

1．讨论函数f(z)?ez在复平面上的解析性。 （10分）

1zeCnz?n2．证明：

?2?in!??d???(znn!（10分） )， 此处C是围绕原点的一条简单曲线。

2《复变函数》考试试题（三）

一、填空题．（每题２分） １．设z?r(cos??isin?)，则

1z?_____________________．

２．设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则limf(z)?A的充

z?z0要条件是_______________________．

３．设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分

?Cf(z)dz?_________________________．

４．设z?a为f(z)的极点，则limf(z)?____________________．

z?a５．设f(z)?zsinz，则z?0是f(z)的________阶零点． ６．设f(z)?11?z2，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_________________．

７．设z?a?z?a?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是_________________． ８．设z??sin??6?icos?6，则z的三角表示为_________________________．

９．?4zcoszdz?___________________________．

0１０．设f(z)?e?z2z，则f(z)在z?0处的留数为________________________．

二、计算题．

１．计算下列各题．（９分）

3?i(1) cosi； (2) ln(?2?3i); (3) 3

2．求解方程z?8?0．（７分）

３．设u?x?y?xy，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)?u?iv，使之（８分） f(i)??1?i．

４．计算积分．（10分） (1)

223?C2(x?iy)dz，其中C是沿y?x由原点到点z?1?i的曲线．

24

(2)

?1?i02 [(x?y)?ix]dz，积分路径为自原点沿虚线轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i．

５．试将函数f(z)?1(z?1)(z?2)分别在圆环域0?z?1和1?z?2内展开为洛朗级

数．（８分）

６．计算下列积分．（８分） (1)

??5z?2z?2z(z?1)2dz； (2)

??sinzz?42z(z?1)2dz．

７．计算积分?????x241?x（８分） dx．

８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

??n?1(1)

?nzn?1； (2)

2?n?1(?1)n!nz．

n９．讨论f(z)?z的可导性和解析性．（６分） 三、证明题．

１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)为常数，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）

《复变函数》考试试题（四）

一、填空题．（每题２分）

１．设z?r(cos??isin?)，则zn?___________________．

２．设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则limf(z)?A的充

z?z0要条件______________________．

３．设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分

?Cf(z)dz?_________________________．

４．设z?a为f(z)的可去奇点，limf(z)?____________________．

z?a５．设f(z)?z(e６．设f(z)?11?z2z2?1)，则z?0是f(z)的________阶零点．

2，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_________________．

７．设z?a?z?a?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是_________________． ８．设z?sin??icos?，则z的三角表示为_________________________．

5

９．?1?i0zedz?___________________________．

1zz１０．设f(z)?z2sin二、计算题．

，则f(z)在z?0处的留数为________________________．

１．计算下列各题．（９分） (1) Ln(?3?4i)； (2) e?1??i6; (3) (1?i)1?i

2．求解方程z3?2?0．（７分）

３．设u?2(x?1)y，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)?u?iv，使之f(2)??i．（８分）

４．计算积分?1?i0[(x?y)?ix]dz，其中路径为（１）自原点到点1?i的直线段；

2(2)自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i．（10分） ５．试将函数f(z)?1(z?2)在z?1的邻域内的泰勒展开式．（８分）

６．计算下列积分．（８分） (1)

??sinzz?2(z??2dz； (2) )2??z?2z?42z(z?3)2dz．

７．计算积分?2?0d?5?3cos?．（６分）

８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

??n(1)

?(1?i)n?1z； (2)

n?n?1(n!)nn2z．

n3232９．设f(z)?my?nxy?i(x?lxy)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６

分）

三、证明题．

１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）

6

９．?1?i0zedz?___________________________．

1zz１０．设f(z)?z2sin二、计算题．

，则f(z)在z?0处的留数为________________________．

１．计算下列各题．（９分） (1) Ln(?3?4i)； (2) e?1??i6; (3) (1?i)1?i

2．求解方程z3?2?0．（７分）

３．设u?2(x?1)y，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)?u?iv，使之f(2)??i．（８分）

４．计算积分?1?i0[(x?y)?ix]dz，其中路径为（１）自原点到点1?i的直线段；

2(2)自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i．（10分） ５．试将函数f(z)?1(z?2)在z?1的邻域内的泰勒展开式．（８分）

６．计算下列积分．（８分） (1)

??sinzz?2(z??2dz； (2) )2??z?2z?42z(z?3)2dz．

７．计算积分?2?0d?5?3cos?．（６分）

８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

??n(1)

?(1?i)n?1z； (2)

n?n?1(n!)nn2z．

n3232９．设f(z)?my?nxy?i(x?lxy)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６

分）

三、证明题．

１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）

6

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