论文 普物中的初始条件

普物中的初始条件

【摘要】质点力学研究质点的位移怎样随着时间而变化，电路问题研究电流或电压怎样随着时间而变化。总之，是研究某个物理量(位移、电流或电压)怎样随着时间而变化.这往往导致以时间为自变数的常微分方程(质点的运动方程、电路微分方程)。

但是，在科学技术和生产实际中还常常要求研究空间连续分布的各种物理场的状态和物理过程，例如研究静电场的电场强度或电势在空间中的分布，研究电磁波的电场强度和磁感应强度在空间和时间中的变化情况，研究声场中的声压在空间和时间的变化情况，研究半导体扩散工艺中杂质浓度(单位体积里的杂质的量)在硅片中怎样分布并怎样随着时间而变化，等等.总之，是研究某个物理量(电场强度、电势、磁感应强度)在空间的某个区域中的分布情况，以及它怎样随着时间而变化。这些问题中的自变数就不仅仅是时间，而且还有空间坐标。 为解决当时面临的问题，当然首先必须掌握所研究的物理量在空间中的分布规律和时间中的变化规律，这就是物理课程中所研究并加以论述的物理规律，它是解决问题的依据.物理规律反映同一类物理现象的共同规律，即普遍性，亦即共性。

可是，同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性，即个性。物理规律并不反映这种个性.

这样，为了解算具体问题，还必须考虑到所研究的区域的边界处在怎样的状况下，或者，换个说法，必须考虑到研究对象处在怎样的特定“环境”中.我们知道，“超距作用”是不存在的，物理的联系总是要通过中介的(这在物理学中引起各种场的概念)，周围“环境”的影响总是通过边界才传给研究对象，所以周围“环境”的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件.

还有，研究问题不能割断历史。为了解和计算随着时间而发展变化的问题，还必须考虑到研究对象

的特定“历史”，即它在早先某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件. 【关键词】初始条件 边界条件 超距作用 电场 光学 热学 Abstract: Keywords:

1. 起始状态、初始状态与初始条件的相互区分

在许多的物理分析中包括一些习题的解答都对“起始状态、初始状态与初始条件”这几个概念的相互区分都有一些的含糊分不清，很多的书上并没有提出“初始条件的概念”，又的甚至把初始条件和已知条件或者初始状态这几个星湖混淆，而有的则是把“初始状态”和“初始条件”区分开来，认为这两个概念只能是在某种特殊情况下才

能相等。这些不同的定义都给一些普物的初学者在概念上造成了影响，而初始条件的提出也只是在《数学物理方法》（梁昆淼 高等教育出版社 第四版）上出来过定义。在对普物中的力学、热学 、电磁学、光学的熟读中我认为“ 起始状态、初始状态与初始条件”在一定的条件下是相互区分的而同时在一定的条件下又是相关的，另外在一些条件下“起始状态、初始状态与初始条件”这三者又是相互相同的，这样在解决一些物理问题中会起到很好的效果。

（1） 当初始条件与初始状态相等的情况

在解决力学问题时候往往会假定一些或者设出一些适合于解决问题的物理条件，这些条件往往会对解题起到很大的帮助，例如在解决初中的碰撞模型时候往往会设定初始条件或者初始状态，在这时初始条件和初始状态则会相等起来。

经历的时间极短，所经历的时间在整个力学过程中可以忽略；碰撞双方相互作用的内力往往是远大于外力，系统在碰撞前后遵从总动量守恒定律，且碰撞前后能量不会增加。

弹性碰撞特例:遵从碰撞前后系统的总动量守恒,即 ，遵从碰撞前后

系统的总动能相等,即，且碰撞前后,双方的相对速度大小相m1?1?m2?2?m 1u1?m2u21 11 21等,即m1v12?m2v22?。m1u1?m2u22 完全非弹性碰撞特例：遵从碰撞前后系统的总动量守恒，即u2?u1?v1?v22222m1v1?m2v2?m1u具1?备m2碰u2撞双方碰后的速度相等的特征，即

u1=u2=(m1v1+m2v2)/(m1+m2 ),碰撞过程中机械能损失最大，则有：

1 2 1 2 1 2 1 2 ( m 1 v 1 ? m 2v2)21 2 12m1v1?m2v2?mu1?m2u2?m1v1?m2v2?2222222(m1?m2) 解析：在解决弹性碰撞的问题的时候为了更好的解决所求的问题可以设初始条件或者初始状态，设在碰撞的时候所经过的路程都是绝对的光滑的而且在碰撞的时候经历的是完全的弹性碰撞，这就意味着在 初中或者高中所学的知识在这一领域完全可以解决这一问题，所经过的路程为绝对的光滑意味着在这一路程中并没有产生损失的能量，而所发生的碰撞是完全的弹性碰撞则说明在碰撞的时候也不会发生能量的损失，这样就可以更加的方便求出答案，这种初始的设定状态下初始状态或者初始条件都可以使用这种问题。 （2） 初始状态与起始状态不相等的情况 如果系统的激励为冲激信号或者阶跃信号，那么在激励接入的瞬间，系统的状态就有可能发生跳变。例如，一个端电压为的电容，当一个冲激电流给其充电时，端?E?电压就要跳变到。若设冲激电流接入的时间为,则有V（0）=.同样，一个

质量块若在t=0时刻受到一阶跃信号的作用，那么它的加速度也要发生跳变，即a(

)

。

由此我们可以看出，引入“起始状态”的概念是非常必要的，他可以区分跳变前后系统的状态。这在分析震荡电路得起震时也可以体现出来，例如一互感耦合反馈震荡电路如图1所示:

由图可知，当K1时，若满足

=1可得=，再将K

，此时放大器与反馈网络就构成

了振荡电路，作为自激振荡电路，原始输入信号是不可能外加的，那么电路又是如何起震的呢？在震荡电路的电源接通之前，其起始状态y(0)=0，电源的接通相当于是接入了一个阶跃信号，系统的状态就发生跳变，即初始状态y(

)=

。这样，初始状态y(

)将在谐振

回路中激起震荡，从而达到起震的目的。

在搞清楚“起始状态”的概念，搞清楚“初始状态”与“初始条件”的异同，有助于学生对于基本概念的分析和初步的认识和理解，相对于培养学生的分析思路和解答也是有很大的帮助的。

2.不同初始条件下质点做有心力的探讨

在理论力学教材中有第一章的专门章节有介绍质心在有心力的作用下才推导出的比耐公式和能量方程式,并且讨论了万有引力和库仑引力两种的有心力模型,对于比耐公式和能量方程进行了初步的求解,但是在文中并没有确定求解结果中的系数,而且在文中也没有讨论方程在什么样的情况下有解以及说明初始条件的不同会对结果造成什么样的影响。实际上，方程中的系数是由初始条件来确定的，若初始条件给定质点在有心力作用下的运动也将确定。若初始条件不同，会造成运动的结果也会不同，在上面这些的讨论中下面将对质点在不同的初始条件下做有心力的运动进行研究。

一般的来说，对于两个运动的物体中，如果其中的一方固定或者质量远远大于另外的一方，就可以化为单是质点的运动问题，也就是本文中索要讨论的问题，此例的问题在探讨天梯卫

星，人造卫星的发射，微观粒子在近电场中的运动等相关一类的问题中都有很广泛的应用。

在初始位置给出一定的初始速度，质点在有心力作用下开始运动，以r(r>0)代表的是极径，代表的是极角，如图所示，在极坐标系下质点运动的动力学方程可以表示为：

如果质点在曲线运动，令u=,利用变量变换可得到：

上式称为比耐公式，式中h=

=- (1.2)

,F为有心力。

如果质点在有心力作用下沿着力心和质点所在的连线方向运动，则质点的动力学方程简化为：

m

==F(r) (1.3)

由于有心力为保守力，则质点在运动过程中机械能守恒，可以进一步写出质点运动的能量方

程：

m

式子中的m

为质点动能，

量。

= (1.4)

3.初始条件的讨论

讨论质量为m的质点在受到万有引力或者库仑引力等这一类大小与距离的平方成反比的有心力作用。设定质点运动的初始位置在点处，0为力心，以逆时针方向转动的角度方向为极角的正方向。在t=0时刻夹角为

，如图所示：

方向为矢径r的方向,以，

,

,

向的

质点运动的初始条件表示

对于质点m在质量为M 的万有引力作用下我们可以简单地将地球引力表示为

,其中

=,是力心处施加万有引力的质量。对于库伦引力只需要将m换为

q，代表即可。

对于万有引力或者库伦引力一般选取无限远处为势能零点，则质点在初始位置的动能和势能分别为

=

,

。由于有心力是保守力，质点在有心力作

用下机械守恒，故总能量等于初始状态时质点的能量：

(2.1)

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