磁场竞赛辅导讲义

高三物理竞赛辅导

磁场与电磁感应第一讲 磁场

主讲：孙琦

一、毕奥——萨伐尔定律与磁力矩 1．毕奥——萨伐尔定律

如图所示，设ΔL为导线的一段微元，其电流强度为I，则在真空中距该“线微元”为r的P处，此通电线微元产生的磁感应强度为：?B??7?0I?Lsin?，式中?为电流方向24?r与r之间的夹角，?0?4??10T?m/A，?B的方向可由右手定则得。

⑷细长密绕通电螺线管内的磁感应强度为:B??0nI,n是螺线管单位长度上线圈的匝数,此式表示的是匀强磁场 2．磁力矩

匀强磁场对通电线圈作用力的磁力矩的计算式为：M?NBIScos? 式中的N为线圈匝数，I为线圈中通过的电流强度，θ为线圈平面与磁场方向所夹的角，S为线圈的面积，而不管线圈是否是矩形，且磁力矩的大小与转轴的位置无关。

例1.如图所示，将均匀细导线做成的环上的任意两点A和B与固定电源相连接起来，计算由环上电流引起的环中心的磁感应强度。

例2.一个质量均匀分布的细圆环，其半径为r，质量为m，令此环均匀带正电，总电量为Q。现将此环放在绝缘的光滑水平面上，如图所示，并处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下，当此环绕通过其中心的竖直轴以匀速度ω沿图示方向旋转时，试求环中的张力。 B

1

例3.两根互相平行的长直导线相距10cm ，其中一根通电的电流是10A ，另一根通电电流为20A ，方向如图。试求在两导线平面内的P、Q、R各点的磁感强度的大小和方向。

例4.如图所示，无限长竖直向上的导线中通有恒定电流I0，已知由I0产生磁场的公式是

B?kI0‘

，k为恒量，r是场点到I0导线的距离。边长为2L的正方形线圈轴线OO与r‘

导线平行。某时刻该线圈的ab边与导线相距2L，且过导线与中心轴线OO的平面与线圈平面垂直，已知线圈中通有电流I，求此时线圈所受的磁力矩。

分析：画俯视图如图所示.先根据右手螺旋法则确定B1和B2的方向，再根据左手定则判断ab边受力Fl和cd边受力F2的方向.然后求力矩.

解：根据右手螺旋法则和左手定则确定B1和B2、F1和F2的方向，如图所示.

两个力矩俯视都是逆时针方向的，所以磁场对线圈产生的力矩

3M?M1?M2?kI0IL

2点评：安培力最重要的应用就是磁场力矩.这是电动机的原理，也是磁电式电流表的构造原理.一方面要强调三维模型简化为二维平面模型，另一方面则要强调受力边的受力方向的正确判断，力臂的确定，力矩的计算.本题综合运用多个知识点解决问题的能力层次是较高的，我们应努力摸索和积累这方面的经验.

2

学生练习：如图所示，倾角为?的粗糙斜面上放一个木制圆柱，其质量为m?0.2kg，半径为r，长l?0.1m，圆柱上顺着轴线OO绕有10匝线圈，线圈平与斜面平行，斜面处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B?0.5T，当通入多大电流时，圆柱才不致往下滚动？

二、电荷在磁场中的运动

例5.如图所示，A1和A2是两块面积很大、互相平行又相距较近的带电金属板，相距为d，两板间的电势差为U，同时，在这两板间还有方向与均匀电场正交而垂直纸面向外的均匀磁场，一束电子通过左侧带负电的板A1的小孔，沿垂直于金属板的方向射入，为使该电子束不碰到右侧带正电的板A2，问所加磁场的感应强度至少要多大？

学生练习：在空间有相互垂直的场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场，如图所示，一个电子从原点由静止释放，求电子在y轴上前进的最大距离。

y

B x O

3

'

例6.图中，一个质量为m、带正电荷q的小球用长为l的细线悬挂在匀强磁场中，拉开至最大角α后释放，令其自由摆动，磁场方向垂直纸面向里.欲使摆球周期不受磁场影响，问对B大小的取值有什么限制?

分析：洛伦兹力始终沿着悬线方向，向右运动时指向O，向左运动时背离O，对回复力无贡献，不会改变g的大小.单摆周期公式T?2?l/g中，惟一可能受磁场影响的就是l，向右运动时拉力与洛伦兹力同向，且速度变大时洛伦兹力变大，拉力会变小，万一在某一位置(未必是平衡位置)出现拉力为零，线松弛，小球浮起，摆长小于l，周期就会改变. 解：先确定拉力有可能出现零的位置，设此时的夹角为x，小球正向右运动，洛伦兹力不

1做功，小球机械能守恒： mv2?mgl(cosx?cos?)

22

得 v=2gl(cosx－cosα)①

v2在该位置，设小球受拉力为F则：F?mgcosx?qBv?m

lm得 F?mgcosx?2gl(cosx?cos?)?qB2gl(cosx?cos?) ②

lt2?cos? 下面设t?2gl(cosx?cos?),则cosx?2gl3m23m?qBl?6m2gcos??q2B2lt?qBt?mgcos??②式变为F? ?t???2l2l?3m?6mqBlq2B2l时，即cosx??cos?时，拉力F有最小值，要使摆周期不受磁可见，当t?23m18mg场影响，应使Fmin≥0，也就是令(6m2gcosα－q2B2l)/6m≥0.

m须B≤6gcos?/l,这就是对磁场取值的限制。

q点评：此题是物理模型和数学模型的融合，相当有技巧，思考性很高，值得作一推荐.应该回味的环节有三个：一是影响周期是因为有可能改变l而不是改变g.二是平衡位置虽然是速度最大位置但未必是拉力最大位置，原因是②式中有个第三项，该项前是负号且内中有cosx；三是通过数学上的白变量变换求F的极值.建议读者认真研究这个例题.

4

2

例7.如图所示，离子源S机会均等地持续向各个方向发射大量电荷为q、质量为m、速率为v0的带电粒子，q为正.S右侧有半径为冠的圆屏，s位于过圆心的轴线上.设空间有足够大的匀强磁场，大小为B，方向向右指向圆屏.在发射出的正离子中有的不论SO距离如何变化总能打到屏上。不计离子之间的碰撞，求这类离子数与发射出的总离子数之比.

分析：除了速度方向跟SO平行的粒子不受磁场力做匀速直线运动击中圆屏圆心之外，其余方向的粒子，都是向右做等螺距螺旋线运动.设粒子的速度方向跟SO也就是跟磁感线的夹角为α，这个知识点不是高考大纲内容，而是竞赛大纲要求的内容.

1解：离子沿螺旋线向右运动，一定能打中圆屏的离子，其圆周运动半径r0≤R，跟SO

2mv1距离的远近无关，如图中的径迹a.其中r0?0sin?.至于r0?R的离子能否击中圆屏，

qB2就跟离子源到屏的距离SO远近有关，跟α大小也有关。如图中的径迹b，如果α很大，r0很大，即使SO十分近，也有可能从圆屏外侧飞过.

因此设α角以α为半顶角的锥内任何方向的离子不论SO远近

mv1都能击中圆屏，由上式嚣0sin?≤R，得sinα≤qBR/2mv0.

qB2因为离子从S发射出时各方向机会均等.设想α为半顶角的锥底

面向右呈球面膨胀出去，该球面半径r=R/sinα，得到一个球冠，如图所示，该球冠的高为h=r－rcosα，面积为2πrh.那么，所求的无论远近都能击中圆屏的离子数跟S发射出的总离子数之比，应等于该球冠面积跟同样半径r的球面积之比：

2?r(r?rcos?)11比值??(1?cos?)?(1?1?sin2?)2224?r

1?q2B2R2????1?1?22?2?4mv0??点评：当带电粒子速度跟磁感线成夹角α时，我们分解速度v：跟磁感线平行的速度

vcosα，粒子在这个方向不受磁场力，做匀速直线运动；跟磁感线垂直的速度是vsinα，粒

mvsin?2?m子在跟磁感线垂直的平面上做匀速圆周运动，r?，周期T?.这两个分运动

qBqB合成的轨迹就是螺旋线，螺距h=vcosα·T.注意跟初速v夹角为α的那条磁感线，并不是螺

旋线的中心轴，而是螺旋线包括圆柱面的母线.

5

例8.如图所示，x轴上方有个匀强磁场，方向垂直纸面向里，大小为B=0.2 T.令一个质子以速率v0=2×106 m/s，由y轴上A点沿＋y方向射人匀强磁场区，回旋了210°之后进入x轴下方的匀强电场区，E=3 × l05V/m，电场线方向与y轴正方向夹角30°.不计重力. (1)求质子从A点出发到再次进入磁场区，需要多少时间? (2)再次进入磁场区时进入点的坐标值是多少?

分析：电场与磁场同时存在于相邻空间，电场力与磁场力不是同时发生作用的，而是先后发生作用，严格地说这不是复合场.例如回旋加速器就不是复合场.笔者把这种类型归入复合场中，不具有准确的意义.

－－

解：质子的质量m=1.67×1027kg，电荷q=1.6×1019C. 质子在磁场中旋转210°圆弧，速度

mv01.67?10?27?2?1062?m210?7?mv0大小不变，r?时间?m=10.4cm,t???,进入1?19qBqB360?6qB1.67?10?0.2电场时点的坐标为C[－r(1＋cos30°), 0]即C(－19.4cm, 0).

以v0进入电场后质子做抛物线运动，沿x轴与y轴的两个分运动是

1qE11qE2x?v0cos60??t?cos60??t2?v0t?t ①

2m24m1qE33qE2y??v0sin60??t?sin60??t2??v0t?t ②

2m24m2mv0重新进入磁场时的进入点，y=0，从②式可解出t2?,代入①式可得

qEmv02?1.67?10?27?(2?106)212mv01qE?2mv0?x?v0??m=27.8cm ???2?1952qE4m?qE?qE1.6?10?3?10注意：这个x值不是从原点O算起而是从C点算起，易知，该进入点P的坐标值为：y=0，xp=x－|xC|=27.8cm－19.4cm=8.4cm.

7?m2mv0m?7?2v0??17????总时间t总?t1?t2???3.3?10s 6qBqEq?6BE?

6

2

1、如图：所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为E1,匀强磁场的方向水平向外，磁感应强度为B.有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动（两小球间的库仑力可忽略），运动轨迹如图.已知两个带电小球A和B的质量关系为mA?3mB，轨道半径为RA?3RB?9cm.

⑴试说明小球A和B带什么电，它们所带的电荷量之比qA:qB等于多少.

⑵指出小球A和B的绕行方向.

⑶设带电小球A和B在图示位置P处相碰撞，且碰撞后原先在小圆轨道上运动的带电小球B恰好能沿大圆轨道运动，求带电小球A碰撞后所做圆周运动的轨道半径（设碰撞时两个带电小球间电荷量不转移）.

2、如图所示，空间同时存在匀强电场和匀强磁场，一质量为m的带电小球系于细线一端，细线重量不计，长为l，小球以角速度?旋转时线与竖直方向成30角.此时线中拉力为零，场强为E的匀强电场方向向上. ⑴求小球的带电性质、电荷量. ⑵求磁场的磁感应强度。

⑶若突然撤去磁场，小球将如何运动？细线中张力T为多少？

? 7

3、如图所示，磁感应强度为B的条形匀强磁场区域的宽度都是d1，相邻磁场区域的间距为d2,x轴的正上方有一电场强度大小为E，方向与x轴和B均垂直的匀强电场区域.将质量为m、带正电荷量为q的粒子从x轴正上方h高度处自由释放，（重力忽略不计） ⑴求粒子在磁场区域做圆周运动的轨道半径r；

⑵若粒子只经过第1和第2个磁场区域回到x轴，求自释放到回到x轴需要的时间t； ⑶若粒子以初速度v0从h处沿x轴正方向水平射出后，最远到达第k个磁场区域并回到x轴，求d1、d2应该满足的条件.

64、回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度B=1T，高频加速电压的频率f?7.5?10Hz，带电粒子在回旋加速器中运动形成的粒子束的平均电流I?1mA，最后粒子束从半径R=1m的轨道飞出,如果粒子束进入冷却“圈套”的水中并停止运动,问可使“圈套”中的水温升高多少度？设“圈套”中水的消耗量m?1kg/s,水的比热容c?4200J/(kg?K).

8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uekp.html