第四讲 函数的定义与图像自主招生

第四讲 函数的定义与图像

【说明】

函数是自主招生的一个非常重要内容！

1.就近几年考试情况来看，复旦和交大（“华约”）自主招生中有关函数的内容大约占20%—30%。 2.其中，热点问题是：方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）、函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。

【知识引入】

函数的基本概念

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【知识拓展】

（一）函数的定义

1.传统定义：设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于某一范围内x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量（函数）.

2.现代定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：A?B为从集合A到集合B的一个函数，记作y?f(x)，x?A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)x?A叫做函数的值域. 3.定义解读:

①注意到现代定义中“A、B是非空数集”，因此，今后若求得函数定义域或值域为φ，则此函数不存在.

②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素，缺一不可.在函数的三要素中，对应关系是核心，定义域是基础，当函数的定义域和对应法则确定之后，其值域也随之确定.

(二).映射的概念

将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合，便得到映射概念.

1.定义1：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B，集合A到集合B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A?B

2.定义2：给定一个集合A到集合B的映射f：A?B，且a?A、b?B，如果在此映射之下元素

??a和元素b对应，则将元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有

f：a?b，则b叫做a的象，a叫做b的原象.

3.定义3：如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。对于一一映射，A集合中的不同元素在B集合中对应不同的象。

4.定义解读 2

（1）三要素：A?B

（2）A中元素的任意性，B中元素的唯一性 （3）可以“多对一”，不可以“一对多”.

（三）函数与映射的关系

函数就是定义在非空数集A、B上的映射，此时称数集A为定义域，象集

C??f(x)x?A?为值域。C?B。因此函数是一种特殊的映射。

【典例精讲】

例1．已知f：A?B，其中A?B?R，对应法则f：x?y??x2?2x

（1）对于实数k?B，在集合A中存在不同的两个原象，求k的取值范围． （2）若对于实数p?B，在A中不存在原象，求p的取值范围． ?分析与解答：

2（1）令y?k得x?2x?k?0，此方程有两个不同的解，需??(?2)?4k＞0，解之得k＜1．

2（2）解法一：由y??x2?2x??(x?1)2?1?1可知，映射f：x?y??x?2x的象的集合为

2(??，1]，对于实数p?B，在A中不存在原象，p?(??，1]，所以p的取值范围为p＞1．

1． 解法二：令y?p，得x?2x?p?0，此方程没有实数解???(?2)?4p＜0，解得p＞

例2．从集合?a、b、c?到集合?m、n、p?可构成多少个映射，其中一一映射有多少个? ?分析与解答：

按照映射的定义，?a、b、c?中的每一个元素，在?m、n、p?中都有唯一确定的对应元素，而所以从集合?a、b、c?到集合?m、n、p??a、b、c?的每一个元素在?m、n、p?中都有3种对应方式，可构成3?27个映射．

对于一一映射，要求?a、b、c?中的每一个元素，在?m、n、p?中都有唯一确定的对应元素，并且

322?m、n、p?中的每一个元素在?a、b、c?都有唯一确定的原象，所以从集合?a、b、c?到集合?m、n、p?可构成A33?6个一一映射．

例3．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时．．6．再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y?[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）

3

A.y?[x] 10 B.y?[x?3x?4] C.y?[] 1010

D.y?[x?5] 10?答案B

?分析与解答：

法一：特殊取值法，若x?56，y?5,排除C、D；若x?57，y?6，排除A，所以选B.

法二：设x?10m??(0???9)，0???6时,???3??x?3???x? ?m??m?，?????10??10???10???3??x?3???x?当6???9时,??m??m?1??1，所以选B. ?????10??10???10?

例4． 有100名选手参加乒乓球赛，赛制是淘汰制，问需要安排多少场比赛决出冠军？ ?分析：用常规方法，需分多轮进行，即分类相加，非常繁．而用映射方法，则显得简捷快速． ?解：一场比赛对应一个失败者(淘汰者)，要决出冠军必须淘汰99人(包括亚军)，故要进行99场比赛．、

例5． 厂家为回收空瓶，规定3个空瓶可换一瓶啤酒，有人订购10瓶啤酒，问此人能喝几瓶啤酒？ ?分析：用常规方法，往往错认为是可喝14瓶，剩2个空瓶，其实应为15瓶，先到商家借1个空瓶，凑成3个空瓶，再喝完将空瓶还给商家．也就是体现数学中“添0法”，即“0＝1－1”． ?解：由题意，得3个空瓶对应一瓶啤酒(含瓶)，即2个空瓶对应一瓶量的啤酒(不含瓶)，如图

故10瓶啤酒＝10瓶量的啤酒＋10瓶空瓶＝10瓶量的啤酒＋瓶量的啤酒＝15瓶量的啤酒．所以可喝15瓶啤酒．

例6．设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V?R满足：对任意向量

a?(x1，y1)?V、b?(x2，y2)?V，以及任意??R，均有

f(?a?(1??)b)??f(a)?(1??)f(b)．则称映射f具有性质P．现给出如下映射：

①f1：V?R，f1(m)?x?y，m?(x，y)?V； ②f2：V?R，f2(m)?x2?y，m?(x，y)?V； ③f3：V?R，f3(m)?x?y?1，m?(x，y)?V．

其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 4

?答案 ①③

?解析 设a?(x1，y1)?V、b?(x2，y2)?V，则：

?a?(1??)b??(x1，y1)?(1??)(x2，y2)?(?x1?(1??)x2，?y1?(1??)y2)

①f1(?a?(1??)b)??x1?(1??)x2?[?y1?(1??)y2]

??(x1?y1)?(1??)(x2?y2)??f1(a)?(1??)f1(b) ∴映射f1具有性质P；

②f2(?a?(1??)b)?[?x1?(1??)x2]2?[?y1?(1??)y2]，

2?f2(a)?(1??)f2(b)??(x12?y1)?(1??)(x2?y2)，

∴f2(?a?(1??)b)??f2(a)?(1??)f2(b)，

∴ 映射f2不具有性质P；

③f3(?a?(1??)b)??x1?(1??)x2?(?y1?(1??)y2)?1

??(x1?y1?1)?(1??)(x2?y2?1)??f3(a)?(1??)f3(b)， ∴ 映射f3具有性质P.

故具有性质P的映射的序号为①③. 例7．（2009上海高考真题14）(理).将函数y?6?)的图像绕坐标原点逆时针方向4?6x?x2(x??0，旋转角?(0????)，得到曲线C.若对于每一个旋转角?，曲线C都是一个函数的图像，则?的最大值为__________.?答案：arctan2 36?)，它的图象是以(3，?2)为4?6x?x2得：(x?3)2?(y?2)2?13，(x??0，?分析与解答：由y?圆心，13为半径的一段圆弧，设过原点且与曲线C相切的直线为y?kx，当??0时，

k??313?，此时直线的倾斜角为?，即tan??，当切线与y轴重合时，曲线

2koc2上的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图象，旋转角为90??，则tan(90??)?32，即??arctan 23

例8．给定集合An?{1,2,3,...,n}，映射f:An?An满足：

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