第六届清华大学数学基础大赛趣味组答案

清华大学数学系科协 第六届数学基础大赛(趣味组)参考答案 2011年10月23日

趣味组(2小时，满分100分)

声明：本文大部分文字、图片来源于Matrix67的博客http://www.matrix67.com。

一、(5分)找规律，画出下一个图形：

答案：(只要看起来是字母J的轮廓即可，不限字体)。

分析：这些图形分别是字母A到J的“轮廓”——假设我们在从A到J的每个字母外面拉上一圈橡皮筋，松手之后橡皮筋就依次变成了图中的这些形状。

二、(10分)用1～9排成一个无重复数字的九位数。 要求：这个九位数前k位排成的k位数能被k整除。 答案：381654729(唯一解)。

三、(15分)一架客机上有100个座位，100个人排队依次登机。第一个乘客把机票搞丢了，但他仍被允许登机。由于他不知道他的座位在哪儿，他就随机选了一个座位坐下。以后每一个乘客登机时，如果他的座位是空着的，那么就在他的座位坐下；否则，他就随机选一个仍然空着的座位坐下。请问，最后一个人登机时发现唯一剩下的空位正好就是他的，其概率是多少？ 答案：1/2。

分析一：当最后一个乘客登机时，最后一个空位要么就是他的，要么就是第一个乘客的。由于所有人选择座位时都是随机选择的，这两个位置的“地位”相等，它们所面对的“命运”是相同的，不存在哪个概率大哪个概率小的问题。因此，它们成为最后一个空位的概率是均等的。也就是说，最后一个人发现剩下的空位正好是他的，其概率为1/2。 分析二：用递推和归纳的方法，同样得到1/2。 四、(10分)空间中有六个点，两两间的距离互不相等。考虑所有以这些点为顶点构成的三角形。证明：存在某个三角形，它的最长边是另外某个三角形中的最短边。 解答：似乎应补充条件“任意三点不共线”。考虑以这些点为顶点的全体三角形。依次把每一个三角形的最短边染成红色，然后把那些没有染色的线段染成蓝色。由Ramsey定理我们知道，把六个点两两间的所有连线进行红蓝二染色，则总能找到一个三边同色的三角形。但在我们这里的构造中，不可能有哪个三角形三条边都是蓝色的，因为每个三角形中都有一条最短边，根据构造它已经被我们染成红色了。因此，在我们的染色构造中存在一个全是红色边的三角形。这个三角形就是满足题意的三角形——它有一条最长边，并且由于它是红色的，它一定是另外某个三角形的最短边。

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清华大学数学系科协 第六届数学基础大赛(趣味组)参考答案 2011年10月23日

五、(5分)已知右图的四点分别在一个正方形的四条边上，试确定这个正方形。

答案：如图，过B点作AC的垂线，并截取点D'使BD'=AC。那么，D和D'在正方形的同一边上。然后过A、C作DD'的垂线，垂足为就是正方形的两个顶点。于是确定了正方形的边长和两个顶点，然后就容易了。

六、(10分)数列由a1答案：an=求通项公式。 =1，an+1=cos(arctanan)定义。

an-bnfn，1，2，3，5，8，?是Fibonacci数列。进一步，，an=fn}为1，{n+1n+1a-bfn+1其中a=1+51-5，b=。 22七、(10分)构造一个定义在 ?上的函数y=f(x)，使得其图像关于原点逆时针旋转90度后和原图像完全重合。

ì0,x=0?12k2k+1?éx,x?2,2)??2答案：y=í(不唯一)。

2k+12k+2?-2x,x?é?2,2)?,x<0?-f(-x)?

八、(10分)一个机器洗牌时总是以相同的方式打乱牌的顺序。把A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K放进去，用机器连续洗两次牌之后，顺序变为了10,9,Q,8,K,3,4,A,5,J,6,2,7。求机器第一次洗牌之后的顺序。

答案：9,A,4,Q,J,7,3,2,10,5,K,8,6。

分析：原题相当于有一个1～13的置换s,s2(1)=10,s2(2)=9，?，s2(13)=7。容易验证s26是恒等变换，进而s13是恒等变换。因此，s=s14=(s2)7可以求出洗牌方式。

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清华大学数学系科协 第六届数学基础大赛(趣味组)参考答案 2011年10月23日

九、(15分)右图是一辆自行车在泥地中驶过留下的痕迹，你能据此判断出这辆自行车是从左往右行驶的还是从右往左行驶的吗？给出你的猜测与判断依据。

提示：行驶方向和图中的线条粗细、边缘锯齿没有关系，你完全可以把两道痕迹当作没有粗细之分的理想曲线。 答案：从右往左。

分析：自行车只有前车轮可以自由改变方向，后车轮的方向始终指向前车轮的中心。也就是说，如果把前后车轮的痕迹分别记为曲线A和曲线B，t时刻前车轮的位置记为A(t)，后车

轮的位置记为B(t)，则对任意时刻t，A(t)和B(t)的连线都与曲线B相切，且这条连线的长度是一个定值(两车轮间的距离)。换个角度来说，曲线B上任意一点的(其中一个方向上的)切线一定会与曲线A产生交点，且两个点的距离是一个定值。 由于曲线B的切线一定与另一条曲线相交，作出两条曲线各个部分上的切线，我们就可以区别出两道车轮印哪条是前轮痕迹A，哪条是后轮痕迹B。 下面在曲线B上任意取几个点，比如B(t1)、B(t2)、

B(t3)，我们只需要找出对应的A(t1)、A(t2)、A(t3)的

位置，即可还原出自行车行驶的大致过程了。作出各个

B(t)的切线，它与曲线A的交点就应该是各个A(t)的位

置。但这些切线与曲线A都有两个交点，哪个才是真正的我A(t)呢？利用A(t)与B(t)间的距离为定值这一结论，们可以看出，只有位于各B(t)左边的那些交点才与B(t)保持相同的距离。因此，自行车是从右往左行驶的。

十、(10分)12个球一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球。(注意此题并未说明那个球的重量是轻是重，所以需要仔细考虑)

答案：为便于区分，我们先将12个球标上号码，分别为1～12号，再将天平分为左右两边。 第一次：将1、3、5、7号球放在天平的左边，将2、4、6、8号球放在天平右边。 将会出现三种可能：

1、天平平衡，证明有问题的球在9、10、11、12号球中；

2、左侧下沉，说明有问题的球在1、2、3、4、5、6、7、8号球中；

3、右侧下沉，说明有问题的球在1、2、3、4、5、6、7、8号球中，如果将天平扭过来，与左侧下沉相同。

第二次：天平左侧放1、3、4号球，右侧放2、5、9号球，也有三种可能：

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清华大学数学系科协 第六届数学基础大赛(趣味组)参考答案 2011年10月23日

1、天平平衡，证明有问题的球在6、7、8号球中（第三次A）； 2、左侧下沉，说明有问题的球在1、2、3号球中（第三次B）； 3、右侧下沉，说明有问题的球在4、5号球中（第三次C）。

第三次A：分别将6、8号球放在天平的两侧，如果平衡，7号球有问题；如果不平衡，轻的那个球有问题。

第三次B：分别将1、3号球放在天平的两侧，如果平衡，2号球有问题；如果不平衡，重的那个球有问题。

第三次C：分别将4、9号球放在天平的两侧，如果平衡，5号球有问题；如果不平衡，4号球有问题。

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