第一章 概率统计基础知识(2)概率的古典定义与统计定义

二、概率的古典定义与统计定义

二、概率的古典定义与统计定义(p5-11)

确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。

(一) 概率的古典定义

用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下:

（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点； （2）每个样本点出现的可能性相同(等可能性); 若事件

含有k个样本点，则事件

的概率为:

(1.1-1)

[例1.1-3]

[例1.1-3]掷两颗骰子，其样本点可用数组（x , y）表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为:

它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。参见教材6页图。这个图很多同学看不懂！其实就是x+y=?在坐标系反映出来的问题。

（二）排列与组合

（二）排列与组合

用古典方法求概率，经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下: 排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。

（1）乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方

法，做第二步m2种方法，做第k步有mk种方法，那么完成这件事共有m1×m2×?×mk种方法。

例如, 甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6 条旅游线路。

(2) 加法原理: 如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法, 在第二类方法中又有m2种完成方法，在第k类方法中又有mk种完成方法, 那么完成这件事共有m1+m2+?+mk种方法。

例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10 个班次供旅游选择。

排列与组合

排列与组合的定义及其计算公式如下:

①排列:从n个不同元素中任取）个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×(n1) ×?×(n-r+1) 个，记为。若r=n, 称为全排列，全排列数共有n!个，记为

，即:= n×(n-1) ×?×(n-r+1),

= n!

②重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有个。注意，这里的r允许大于n。

例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为。假如上述抽取不允许放回，则所得排列数为10×9×8×7=5040 。

③组合: 从n个不同元素中任取x个元素并成一组 (不考虑他们之间的排列顺序)称为一个组合，此种组合数为：

.特别的规定0!=1，因而。另外，在

组合中，r个元素\一个接一个取出\与\同时取出\是等同的。例如，从10个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从10个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为：

这是因为取出的任意一组中的4个产品的全排列有4!=24 种。而这24种排列在组合中只算一种。所以。

注意:排列与组合都是计算\从n个不同元素中任取r个元素\的取法总数公

式，他们的主要差别在于: 如果讲究取出元素间的次序，则用排列公式；如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。 [例1.1-4]

[例1.1-4] 一批产品共有个，其中不合格品有= \恰好有m个不合格品\的概率是多少?

个，现从中随机取出n个，问：事件

从个产品中随机抽取n个共有个不同的样本点，它们组成这个问题的样本空间。

其中“随机抽取”必导致这个样本点是等可能的。以后对“随机抽取”一词都可以作同样理解。下面我们先计算事件概率。

事件

=\恰好有0个不合格品\全是合格品\，要使取出的n个产品全是合

个合格品中抽取，这有

种取法。故事件

的

的概率，然后计算一般事件

的

格品，那么必须从该批中概率为:

/

.

事件=\恰好有1个不合格品\，要使取出的n个产品只有一个不合格品，

其他n-1个是合格品，可分二步来实现。第一步从m个不合格品中随机取出1个，共有种取法；第二步从个合格品中随机取出n-1 个，共有种取法。依据乘法原则，事件

/

最后，事件

共含有 个样本点。故事件的概率为：

个不合格品中随机抽取m个，而从

共含有个样本点，故事件

必须从 发生，

个合格品中随机抽

取n-m 个，依据乘法原则，事件

的概率是:

其中 为n, 中的较小的一个数，它是m的最大取值，这是因为m既不可能超过取出的产品数n, 也不可能超过不合格品总数因此，假如，下面来计算诸事件

的概率:

而

等都是不可能事件，因为10个产品中只有2个不合格品，而要从中抽出3个

。

或4个不合格品是不可能

[例1.1-5]

[例1.1-5]（放回抽样）抽样有两种形式：不放回抽样与放回抽样。上例讨论的是不放回抽样，每次抽取一个，不放回，再抽取下一个，这相当于n个同时取出，因此可不论其次序。放回抽样是每次抽一个，将其放回，均匀混合后再抽下一个。这时要讲究先后次序，现对上例采取放回抽样方式讨论事件＝“恰好有m个不合格品”的概率。

从n个产品中每次随机抽取一个，检查后放回抽第二个，这样直到抽出第n个产品为止。由于每次都有n种可能，故在放回抽样的问题中共有

个可能的样本点。事件b0=“全是合

格品”发生必须从n-m个合格品中用放回抽样的方式随机抽取n次，它共含有

种

取法，故事件b0的概率为：事件=“恰好有一件不合格品”发生，必须从个合格品中用放回抽样抽取n-1次，而从个不合格品中抽一次，这样就有种取法，再考虑不合格品出现的顺序，故事件的概率为

同样的可求

的概率。

（二）概率的统计定义 （二）概率的统计定义

要点如下：

(1) 与事件a有关的随机现象是可以大量重复试验的；

(2) 若在n次重复试验中，事件a发生次，则事件a发生的频率为:

(1.1-2)

频率能反映事件a发生的可能性大小；

(3) 频率将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件a的概率。在实际中人们无法把一个试验无限次地重复下去，只能用重复试验次数n较大时的频率去近似表示概率。 [例1.1-6]

[例1.1-6 ]说明频率稳定的例子

(1) 为了验证掷一枚均匀硬币出现正面的概率为0.5 ，许多人做了大量的重复试验，图1.1-10 记录了前400 次掷硬币试验中频率的变化情况。在重复次数n较小时波动剧烈，随着n的增大，波动的幅度在逐渐变小。历史上有不少人做过更多次重复试验。其结果(见表1.1-1) 表明，正面出现的频率逐渐稳定在0.5 。这个0.5 就是频率的稳定值，也是正面出现的概率，这与用古典方法计算的概率是相同的。图1.1-10（教材10页），表1.1-1（教材10页）。 (2) 在英语中

(2) 在英语中某些字母出现的频率远高于另外一些字母。人们对各类的英语书刊中字母出现的频率进行了统计。发现各个字母的使用频率相当稳定，其使用频率见表1.1-2。这项研究在计算机键盘设计(在方便的地方安排使用频率较高的字母键)、印刷铅字的铸造 (使用频率高的字母应多铸一些)、信息的编码 (使用频率高的字母用较短的码)、密码的破译等等方面都是有用的。表1.1-2（教材10页）

三、概率的性质及其运算法则

三、概率的性质及其运算法则(p11-14)

(一) 概率的基本性质及加法法则

根据概率的上述定义，可以看出它具有以下基本性质:

性质l：概率是非负的，其数值介于0与1之间，即对任意事件a,有: 特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即：

，

[例1.1-7]

[例1.1-7] 抛三枚硬币，至少一个正面出现 (记为事件)的概率是多少? 解：在抛三枚硬币的随机试验中，样本空间共有8个样本点：（正、正、正）、（反、反、反）、（正、反、反）、（反、正、反）、（反、反、正）、（正、

正、反）、（正、反、正）、（反、正、正）。中所含的样本点较多，但其对立事件=\抛三枚硬币，全是反面\反，反，反)}，只含一个样本点，从等可能性可知

再由性质2，可得:

[例1.1-8]

[例1.1-8]一批产品共100 件，其中5件不合格品，现从中随机抽出10件，其中最多有两件不合格品的概率是多少？解：设ai表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件上＝“最多有2件不合格品可表示为：

并且

为三个互不相容事件，由性质5可知：

余下就是用古典方法算得ai的概率。据a0的定义，从100 件产品随机抽出10件的所有样本点共有个。要使抽出的10件产品中有0件不合格品，即全是合格品，则10件必须从95件合格品中抽取，所以：

＝0.0702 于是所求的概率为：＝0.5837+0.3394+00.0702＝

0.9933 可见事件a发生的概率很接近于1，说明发生的可能性大；而它的对立事件＝“抽10件产品中至少有3件不合格品”的概率

，发生的可能性很小。 [例1.1-9]

[例1.1-9]某足球队在未来一周中有两场比赛，在第一场比赛中获胜的概率为1/2 ，在第二场比赛中获胜的概率是1/3，如果在两场比赛中都获胜概率是1/6，那么在两场比赛中至少有一场获胜的概率是多少？解：设事件＝“第i场比赛获胜”，i＝1，2。于是有：

场比赛中至少有一场获胜”可用事件外由于事件

与

是可能同时发生的，故

表示，所求概率为与

。由于事件“两

。另

不是互不相容事件，应用性

这

质4来求，即：

表明在未来两场比赛中至少有一场获胜的概率为2/3 。 （二）条件概率及概率的乘法法则

（二）条件概率及概率的乘法法则

在事件发生的条件下，事件发生的概率称为的条件概率，记为

。

可导出乘法公式

(三) 独立性和独立事件的概率

(三) 独立性和独立事件的概率 设有两个事件否，则称事件

假如其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生与相互独立。

相互独立，则

同时发生的概率为:

性质7:假如两个事件

(1.1-5） 性质8:假如两个事件

相互独立，则的条件概率等于的无条件概率。

两个事件的相互独立性可以推广到三个或更多个事件的相互独立性。此时性质7

可以推广到更多个事件上。 [例1 .1-13]

[例1 .1-13] 用晶体管装配某仪表要用到128 个元器件，改用集成电路元件后，只要用12只就够了，如果每个仪表才能正常工作，试分别求出上述两种场合下能正常工作2000 小时的概率。

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