小波阈值去噪及MATLAB仿真

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摘 要

小波分析理论是一种新兴的信号处理理论，它在时间上和频率上都有很好的局部性，这使得小波分析非常适合于时—频分析，借助时—频局部分析特性，小波分析理论已经成为信号去噪中的一种重要的工具。利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对小波阈值化去噪的原理介绍,运用MATLAB 中的小波工具箱，对一个含噪信号进行阈值去噪，实例验证理论的实际效果，证实了理论的可靠性。本文设计了几种小波去噪方法，其中的阈值去噪的方法是一种实现简单、效果较好的小波去噪方法。

关键词：小波变换；去噪；阈值

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Abstract

Wavelet analysis theory is a new theory of signal process and it has good localization in both frequency and time do-mains.It makes the wavelet analysis suitable for time-frequency analysis.Wavelet analysis has played a particularly impor-tant role in denoising,due to the fact that it has the property of time- frequency analysis. Using wavelet methods in de-noising, is an important aspect in the application of wavelet analysis. The key of wavelet de-noising is how to choose a threshold and how to use thresholds to deal with wavelet coefficients. It confirms the reliability of the theory through the wavelet threshold de-noising principle, the use of the wavelet toolbox in MATLAB, carrying on threshold de-noising for a signal with noise and actual results of the example confirmation theory.In this paper,the method of Wavelet Analysis is analyzed.and the method of threshold denoising is a good method of easy realization and effective to reduce the noise.

Keywords：Wavelet analysis；denoising；threshold

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目 录

摘 要 ........................................................................................................................... I Abstract ........................................................................................................................II

第1章 绪论 ................................................................................................................ 1

1.1 研究背景和意义 ............................................................................................ 1 1.2 国内外研究历史和现状 ................................................................................ 2 1.3 本文研究内容 ................................................................................................ 4 第2章 小波变换的基本理论 .................................................................................... 5

2.1 傅立叶变换 .................................................................................................... 5 2.2 加窗傅立叶变换 ............................................................................................ 6 2.3 小波变换 ........................................................................................................ 7

2.3.1 连续小波变换 ...................................................................................... 8 2.3.2 离散小波变换 ...................................................................................... 9 2.4 多分辨分析 .................................................................................................. 12 本章小结 ............................................................................................................. 13 第3章 经典噪声类型及去噪方法 .......................................................................... 14

3.1 经典噪声类型 .............................................................................................. 14 3.2 常用滤波器 .................................................................................................. 17

3.2.1 线性滤波器 ........................................................................................ 18 3.2.2 均值滤波器 ........................................................................................ 18 3.2.3 顺序统计滤波器 ................................................................................ 19 3.2.4 其他滤波器 ........................................................................................ 19 3.3 经典去噪方法 .............................................................................................. 20 3.4 Matlab工具................................................................................................... 21

3.4.1 Matlab 发展历程................................................................................ 21 3.4.2 Matlab 简介........................................................................................ 21 本章小结 ............................................................................................................. 22 第四章 小波阈值去噪及MATLAB仿真 ............................................................. 23

4.1 小波阈值去噪概述 ...................................................................................... 23

4.1.1 小波阈值去噪方法 ............................................................................ 24 4.1.2 图像质量评价标准 ............................................................................ 24 4.2 基于MATLAB的小波去噪函数简介 ....................................................... 25 4.3小波去噪对比试验 ....................................................................................... 27 本章小结 ............................................................................................................. 34 结 论 ........................................................................................................................ 35

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致 谢 ........................................................................................................................ 36 附录1 译文 ............................................................................................................... 38 附录2 英文参考资料 ............................................................................................... 39

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第1章 绪论

1.1 研究背景和意义

随着计算机技术的飞速发展，数字图像处理技术获得了飞速的发展。去除图像的噪声是图像处理过程中的一个重要环节，其结果直接影响到图像质量和特征提取的精确性。现实中由于获取图像的环境、设备及传输过程存在不确定因素，使得图像受到噪声污染是不可避免的。现代医学中, 影像被广泛应用于诊断和治疗, 是必不可少的手段和工具. 医学图像的好坏直接影响着医生对病情的诊断和治疗. 医学图像在获得的过程中都会混有各种噪声, 因此有必要进行去噪研究。

如何减少甚至消除噪声一直是图像处理研究中的课题之一。噪声是影响图像质量的重要因素；噪声的存在导致图像的某些特征细节不能被辨识, 图像信噪比下降。在图像处理中如何有效地去除噪声, 提取图像信息变得尤为重要。利用计算机等设备处理图像，容易受噪声干扰造成质量下降，极大影响了人们从图像中提取信息，所以非常有必要在利用图像之前消除噪声。

信号在生成和传输的过程中会受到各种各样噪声的干扰，对信息的处理、传输和存储造成极大的影响。寻求一种既能有效地减小噪声，又能很好地保留信号原始信息的方法，是人们一直追求的目标。利用振动信号或状态量对设备进行诊断是设备故障诊断中最有效、最常用的方法 ,过去常用传统的基于快速傅里叶变换( FFT)的频谱分析方法进行振动信号处理,但是傅里叶分析存在着严重的不足,它只适于分析时不变系统的平稳信号 ,而不适于分析非平稳信号,且傅里叶变换对在检测信号中包含的趋势、突变事件的开始和结束等特征分析时也显得无能为力。出于对非平稳信号和突变信号的分析的迫切要求 ,法国地球物理学家 Morlet 于1984 年提出了一种新的线性时频分析方法——小波分析理论,为机械故障诊断中的非平稳信号分析,弱信号提取，信号滤波等提供了一条有效的途径。

从数学上看，小波去噪本质是一个函数逼近问题，即如何在由小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的最佳逼近，完成原信号和噪声信号的区分。由此小波去噪方法也就是寻找从实际信号空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原信号的最佳恢复。从信号分析的角度看，小波去噪是信号滤波问题，尽管在很大程度上小波去噪可以看成是

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LH1 HH1

图2-2层小波变换后的频率分布

2.4 多分辨分析

Mallat使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当。

空间L2?R?的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列?Vj?j?Z，使其具有以下性质：

(1) 单调性（包容性）:

??V2?V1?V0?V?1?V?2??

(2) 逼近性：

???2close??Vf??L?R?,?j??????Vj???f??0?

(3) 伸缩性：

??t??Vj???2t??Vj?1

(4) 平移不变性：

??t??Vj???t?2j?1k?Vj,??k?Z

(5) Riesz基存在性：存在??t??V0，使得???2?jt?k??k?Z构成Vj的Riesz基。 在定义2.4-1中，Vj对应于2?j分辨率，有时候Vj对应于2j分辨率，这时，性质（1）、（3）中子空间的下标要做相应的变化。

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本章小结

小波分析来源于傅里叶分析，它不能代替傅里叶分析，它是傅里叶分析的新发展，二者的互补优势和相辅相成的良好效果已被科研实践所证实，对于长时间内比较稳定的信号，用傅里叶分析比较适合，小波变换由于具有时-频局部化，具有自适应性，在低频段采用高的频率分辨率和低的时间分辨率，在高频段采用低的频率分辨率和高的时间分辨率，非常适合于分析有突变的信号。 本章是小波分析的理论基础。首先从小波定义谈起继而介绍连续小波变换和其特殊化形式——离散小波变换，然后较为详细地介绍了多分辨分析。

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第3章 经典噪声类型及去噪方法

3.1 经典噪声类型

噪声是造成图像退化的重要因素之一，数字图像的噪声主要来源于数字化过程和传输过程。噪声对图像信号的幅度和相位的影响十分复杂，有些噪声和图像信号相互独立不相关，有些事相关的，噪声本身之间也有可能是相关的。因此要减少图像中的噪声，必须针对具体情况采用不同的方法，以达到满意的处理效果。

设g(x)表示图像。我们将图像分解成所需要的部分，用f(x)表示，噪声部分用n(x)表示。最常用的分解就是加性分解，即

g(x)?f(x)?n(x) (3-1) 例如，高斯噪声就常常被认为是加性结构的。 第二常用的分解就是乘性的，即

g(x)?f(x)?n(x) (3-2) 散斑就是通常被模拟为乘性噪声的一个例子。

下面，将介绍几种经典的噪声模型：

（1） 高斯噪声

高斯噪声是一种具有正态分布，也称为高斯分布，概率密度函数的噪声。加性高斯噪声可能是出现概率最大的一类噪声了。高斯噪声广泛应用于热噪声和某些理想情况，在这些情况下它限制其它噪声的作用。如，光子计数噪声和影片颗粒噪声。

均值为?方差为?2的一元高斯噪声密度函数n为

pn(x)?(2?)X的取值为???x??。

高斯分布最重要的性质应该是中心极限定理，这个定理陈述了大量的独立、小随机变量和的分布函数具有高斯分布的特性。注意，对于单个随机变量不需要它们自己有高斯分布函数，也不需要是同分布。

?12e?(x?u)22?2 (3-3)

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（2） 重尾噪声

很多情况下，中心极限定理的条件都只是差不多满足而不是十分满足和函数中的项可能不是足够的多，或者那些项不是充分的独立，或者其中小部分的项对和提供的数据不均衡。在这些情况下，噪声可能就只能近似为高斯型。这是一种值得注意的情况。甚至当某个密度函数的中心接近高斯型，但其尾部有可能不是。

“重尾”就是对于值很大的x，其密度Pn(x)趋近0的速度比高斯型慢很多。

2例如，对于大值的x，高斯型以exp(?x2?2)的速度趋近于0，而二重指数密度

会以exp(?x?)的速度趋近于0。二重指数密度就是所谓的重尾噪声。

重尾噪声的一个有趣、应该熟悉的例子是在暴风雷电的天气下由微弱广播调幅电台所产生的静电干扰。大多数时间，中心极限定理的条件还是很好的被满足，而噪声也是高斯型。然而，在某些情况下，也存在晴天霹雳。闪电淹没了微电子的作用主宰了和函数。

（3） 椒盐噪声

椒盐噪声指的是广泛存在于多种处理过程，这些过程导致了相同的图像退化：仅仅小部分的像素被噪声污染，但是噪声非常严重。这种噪声影响就像少量黑白点——即盐粒和胡椒粉在图像上。

有椒盐噪声产生的一个例子就是在有噪数字链接中的图像传输。利用多种顺序统计滤波器可以很容易将椒盐噪声消除，特别是中心加权中位值滤波和LUM滤波器。

（4） 均衡和量化噪声

量化噪声产生于连续随机变量被转换成离散型的过程或者离散随机变量转换成另一个更少等级的离散随机变量过程。在图像中，量化噪声常常出现在数据收集过程。可能最初图像是连续的，但是，被处理过后就会变成一幅数字图像。

就像我们应该知道的那样，量化噪声通常都被建模为均衡噪声。一些学者用均衡噪声来模拟其他图像损坏，例如，混色信号。均衡噪声与上面所讨论的重尾噪声的完全相反。其尾部噪声是极其轻的。

较小量化级数图像的普遍特征也许就是所谓的“圆齿状”。密度明显的分级的地方就会丢失。有连续不变颜色的很大区域被清晰的边界分隔。其影响与

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将平滑的斜坡变成一组离散阶梯相似。

（5） 光子计数噪声

基本上，获得图像的设备都是光子计数器。以a表示图像中某些地方（一个像素）的所计的光子数目。那么，a的分布函数常被模拟为参数为?的泊松分布。该噪声也被称为泊松噪声或者播送技术噪声。

P(a?k)?e???kk! (3-4)

其中k=1，2，...

我们就可以清楚泊松分布的一个最重要的性质，即其方差与期望值相等。当?值很大的时候，就能够用到中心极限定理。而此时泊松分布就与均值和方差值都等于?的高斯分布很接近。

(6) 摄影颗粒噪声

摄影颗粒噪声是摄影胶片的特殊产物。它限制照片的扩放效果。以下是一个摄影过程的简单模型：

摄影胶片是由数百万个晶粒组成的。当灯光打在胶片上的时候，有些晶粒吸收光子而有些却没有，那些吸收了光子的微粒改变了样子变成了金属银。在这个变化的过程中，那些没有改变的晶粒就被清除了。

在给定的区域A，假设有L个晶粒，每个晶粒改变的概率为p，p与入射光子的数目成比例。则发生改变的微粒数N就是一个二项分布

kL?k?p(1?p) Pr(N?k)?? (3-5) ?k????L?因为L很大，当p很小但是??Np?EN适中，该概率就可以用泊松分布很好的近似

Pr(N?k)?e???k! (3-6)

且当p更大的时候也可以用高斯分布近似。

(7) CCD成像

大约在过去的20年，CCD（电荷耦合装置）成像已经作为主流的成像形式取代了摄影成像。CCD按光电原理完成工作。入射光子被吸收，引起电子增加至更高的能量级。这些电子完全被颗粒捕获。过后，这些电子被“读出”装置计算出来。

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数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。

本章小结

本章主要介绍了几种经典得噪声类型以及几种常用的滤波器，并阐述了几种经典的去噪方法，并简单地介绍了MATLAB工具以及它的发展历程。

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第四章 小波阈值去噪及MATLAB仿真

4.1 小波阈值去噪概述

在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原图像的最佳逼近，以完成原图像和噪声的区分。这个问题可以表述为：

?opt?argmin(?(f)?fs) (4-1)

fopt??op(f)t（opt代表最优解） (4-2)

ff?fs?fn，s为原图像，n为噪声图像 (4-3)

，

2jf??{ff为实际图像｝W?span{(?)j?1,?2j}J (4-4)

??{??为??W的函数空间影射｝ (4-5)

由此可见，小波去噪方法也就是寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原图像的最佳恢复。从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤

波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后还能成功地保留图像特征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器。由此可见，小波滤波实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其等效框图如图4-1所示。

带噪信号特征提取低通滤波特征信息重建信号 图4-1 小波去噪的等效框图

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4.1.1 小波阈值去噪方法

小波阈值去噪的基本思路是：

（1）先对含噪信号f(k)做小波变换，得到一组小波系数Wj,k； （2）通过对Wj,k进行阈值处理，得到估计系数W的差值尽可能小；

（3）利用W?j,k?j,k，使得W?j,k与Wj,k两者

进行小波重构，得到估计信号f(k)即为去噪后的信号。

Donoho提出了一种非常简洁的方法对小波系数Wj,k进行估计。对f(k)连续做几次小波分解后，有空间分布不均匀信号s(k)各尺度上小波系数Wj,k在某些特定位置有较大的值，这些点对应于原始信号s(k)的奇变位置和重要信息，而其他大部分位置的Wj,k较小，对于白噪声n(k)，它对应的小波系数Wj,k在每个尺度上的分步不都是均匀的，并随尺度的增加，Wj,k系数的幅值减小。因此，通常的去噪办法是寻找一个合适的数?作为阈值（门限），把低于?的小波函数Wj,k（主要由信号n(k)引起），设为零，而对于高于?的小波函数Wj,k（主要由信号s(k)引起），则予以保留或进行收缩，从而得到估计小波系数Wj,k，它可理解为

?基本由信号s(k)引起的，然后对Wj,k进行重构，就可以重构原始信号。 估计小波系数的方法如下，取：

???2log(N) (4-6)

定义：

W?j,k?Wj,k,Wj,k???{0,Wj,k?? (4-7)

称之为硬阈值估计方法。一般软阈值估计定义为

?Wj,k?{sigh(Wj,k)(Wj,k??,Wj,k??0,Wj,k???? (4-8)

4.1.2 图像质量评价标准

图像质量的含义包括两个方面，一是图像的逼真度，一是图像的可懂度。

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所谓图像的逼真度是描述被评图像与标准图像的偏离程度，而图像的可懂度则是表示图像向人或机器提供信息的能力。无论是图像的逼真度还是可懂度，目前还没能建立人眼视觉特性的准确模型，因而对图像质量的评价还带有一定的主观性。通常有两种方法，一种是作为观察者的主观评价，由人眼直接观察图像的效果，当然它是一种定性的方法，要受人的主观因素影响，评价结果有一定的不确定性。随着模糊数学的发展，人们可以用模糊综合评判方法来尽量减少主观因素影响，实现对图像质量近似定量的评价，不过它仍然没有完全消除主观不确定性的影响，其定量计算公式中的参数往往要以专家经验确定，常用于图像质量的客观评价标准是峰值信噪比。

去噪性能参数的定义：

?将原始信号x(n)作为标准信号，则经去噪后的估计信号x(n)的信噪比（SNR）公式定义为：

?? SNR?10log?????n???n? (4-9) ????x(n)?x(n)??????x2?n?原始信号与估计信号之间的均方根误差（RMSE）定义如下： RMSE?1n

?n???x(n)?x(n)????2 (4-10)

设原始图像为{f(m,n),0?m?M?1,0?n?N?1}，去噪后的图像为：

{g(m,n),0?m?M?1,0?n?N?1}，则峰值信噪比（PSNR）可以定义为： PSNR?10lg2551MNM?1N?12 (4-11)

f(m,n)?2???g(m,n)?m?0n?0信号的信噪比越高，原始信号和去噪信号的均方根误差越小，去噪信号就越接近原信号，去噪的效果也就越好。

4.2 基于MATLAB的小波去噪函数简介

常用的图像降噪方式是小波阈值降噪方法。这是一种实现简单而效果较好的降噪方法，阈值降噪方法的思想很简单，就是对小波分解后的各层系数模大于和小于某阈值的系数分别进行处理，然后利用处理后的小波系数重构出降噪

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后的图像。在阈值降噪中，阈值函数体现了对小波分解系数的不同处理策略和不同的估计方法。常用的阈值函数有硬阈值函数和软阈值函数。硬阈值函数可以很好地保留图像边缘等局部特征，但图像会出现伪吉布斯效应等视觉失真等现象，而软阈值处理相对较光滑，但可能会造成边缘模糊等失真现象，为此人们提出了半软阈值函数。

小波阈值降噪方法处理阈值的选取，另一个关键因素是阈值的具体估计。如果阈值太小，降噪后的图像仍然存在噪声；相反如果阈值太大，重要图像特征有可能被滤掉，引起偏差。从直观上讲,对于给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大。

MATLAB中实现图像的降噪，主要是阈值获取和图像降噪实现两个方面。 （1）阈值获取

MATLAB中实现阈值获取的函数有ddencmp、select、wbmpen和wdcbm2。这里主要介绍函数ddencmp。

函数ddencmp的功能是获取降噪或压缩的默认值。该函数是降噪和压缩的导向函数，它给出一维或二维信号使用小波或小波包进行降噪和压缩一般过程的所有默认值。

其语法格式为

[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（IN1，IN2，X） [THR,SORH,KEEPAPP]= ddencmp（IN1，‘wv’，X） [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]= ddencmp（IN1，‘wp’，X）

（2）阈值降噪

MATLAB中实现阈值降噪的函数有wden、wdencmp、wpdencmp、wthresh、 wpthcoef和wthcoef2。这里主要介绍函数wdencmp。

其语法格式为

[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]

wdencmp('gbl',X,'wname',N,THR,SORH,KEEPAPP)

[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('lvd',X,'wname',N,THR,SORH) [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('lvd',C,L,'wname',N,THR,SORH) 函数wdencmp的功能是使用小波进行降噪。该函数是二维小波降噪的导向函数。它使用小波对信号或图像执行降噪过程。wname是所用的小波函数。Gbl（global）表示每层都采用同一个阈值进行处理。lvd表示每层用不同的阈值进行处理。N表示小波分解的层数。THR为阈值向量，长度为N。SORH表示选择软阈值或硬阈值（分别取值为‘s’和‘h’）。参数KEEPAPP取值为1，则低

=

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具有相同能量大小的光滑误差比非正则误差在视觉上有更好的容忍度，所以对小波基要求一定的正则性，以求获得更好的重构图像的质量。

（3） 分解层数的确定

对一幅图像来说，其高频信息反映的是图像的细节变化，表示边缘、轮廓、纹理以及随机噪声引起的灰度突变。进行小波分解选取的层数过高会导致边缘信息的丢失，因此本文选取的分解层数为3层。

（4） 全局阈值去噪法

通过小波函数对sym4对信号进行三层小波分解，首先通过第一层细节系数估计噪声的标准偏差，wname取sym4小波，然后计算与给定小波相关联的分解低通和高通滤波器，再用wdencmp进行图像消噪，采用默认阈值（参见ddencmp），用全局阈值选项进行图像的消噪，在MATLAB平台上进行仿真试验，最后得到全局阈值消噪后的图像。

（5） 独立阈值去噪法

用独立阈值进行图像去噪。分别设置水平、垂直以及斜线方向的阈值，用本文采取的独立阈值去噪法对图像进行消噪，在MATLAB平台上进行仿真试验，得到消噪后的图像。

两种去噪方法如图4-4所示，从图中可以看出，采用独立阈值去噪法的效果要比采用全局阈值去噪法的效果要好。

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原始图像5010015020025050100150200250全局阈值消噪图像501001502002505010015020025050100150200250含噪声图像50100150200250本文算法阈值消噪图像5010015020025050100150200250

图4-4 二维信号经过阈值去噪法处理前后的对比

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本章小结

本章主要讲述了小波阈值去噪法，重点介绍了阈值的选取，并在MATLAB上进行了小波去噪的仿真。

MATLAB中的小波工具包提供了全面的小波变化及其应用的各种功能，其中小波去噪方面实现了Donoho-Johnstone等的去噪算法，而且可以选择使用图形界面操作工具或者去噪函数集合两种形式，图形界面操作工具直观易用，而利用函数集合可以实现更灵活强大的功能。通过小波去噪函数集合在MATLAB中作了一系列实验，充分体会到了小波去噪的强大功能。通过以上的例子,可以看出对原始信号添加噪声后得到含噪信号，利用MATLAB 中的小波工具箱对含噪信号分别通过全局阈值法和独立阈值法去噪处理，并对两种方法处理后的图像进行了比较, 由此可以看出，利用MATLAB 中的小波变换工具箱对信号进行去噪处理是非常理想的，同时可以看出独立阈值法在信号去噪方面的优势。

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结 论

小波变换作为一种新的信号时频分析方法，得到广泛的应用和研究，利用小波变换进行信号处理的方法不断涌现出来，它具有多分辨率分析的特点，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，有效区分信号中的突变部分和噪声。因此利用小波变换能有效的对信号进行消噪的同时提取含噪信号。用传统的傅立叶变换分析，显得无能为力，因为傅立叶分析是将信号完全在频率域中进行分析，它不能给出信号在某个时间点的变化情况，使得信号在时间轴上的任何一个突变，都会影响信号的整个频谱。小波变换正广泛的应用于各个领域，MATLAB给我们提供了一个很方便的工作平台，通过MATLAB编制程序给定信号的噪声抑制和非平稳信号噪声的消除。通过实例证明：基于小波变换的消噪方法是一种提取有用信号、展示噪声和突变信号的优越方法，具有广阔的实用价值。本文讨论了小波小波变换的基本理论，对小波变换的特性进行了综述和分析，并且利用其良好的时频特性，对一维非平稳信号以及二维含噪图像进行了基于小波变换去噪方法的研究。

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致 谢

在本论文完成之际，首先我要感谢我的指导老师讲师给予我的指导和帮助，宋建华老师在我的论文写作及编程过程中给予了很多的指导和帮助，使我顺利地完成了本论文，在此我表示衷心的感谢。四年的大学生活即将迎来了结束，在此对这期间教导过我的老师们和帮助过我的同学们、朋友们表示衷心的感谢。最后，感谢答辩组的老师们百忙中对我论文。

由于本人能力有限，论文中难免出现疏漏甚至错误之处，敬请各位老师和同学同事批评指正，本人不胜感激。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ue17.html