《结构化学》（1-5章）习题分析

目 录

第一章--------------------------------------------------------------------------------------------------1 第二章-------------------------------------------------------------------------------------------------14 第三章-------------------------------------------------------------------------------------------------30 第四章-------------------------------------------------------------------------------------------------42 第五章-------------------------------------------------------------------------------------------------48

结构化学

第一章习题

1001 首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( )

(A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck 1002 光波粒二象性的关系式为_______________________________________。

1003 德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。 1004 在电子衍射实验中，│?│2对一个电子来说，代表___________________。

1005 求德布罗意波长为0.1 nm的电子的动量和动能。 1006 波长λ=400 nm的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知铯的临阈波长为600 nm。 1007 光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV。当波长为350 nm的光照到电池时，发射的电子最大速率是多少？ (1 eV=1.602×10-19J， 电子质量me=9.109×10-31 kg) 1008 计算电子在10 kV电压加速下运动的波长。

1009 任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式---------------( )

12.252h2E?e( ) (D) A，B，C都可以 (A) E?h (B) E? (C) 2??2m?c1010 对一个运动速率v<

mv?p?h??1h?E1??mv，结果得出1?的结论。问错在何处？ 说明理由。

2vv2 A B C D E

1011 测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。

1013 测不准原理的另一种形式为ΔE·Δt≥h/2π。当一个电子从高能级向低能级跃迁时，发射一个能量子

h?， 若激发态的寿命为10-9s，试问?的偏差是多少？由此引起谱线宽度是多少(单位cm-1)？ 1014 “根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值”。对否？ 1015 写出一个合格的波函数所应具有的条件。

1016 “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否. --------------( )

1017 一组正交、归一的波函数?1， ?2， ?3，…。正交性的数学表达式为 (a) ，归一性的表达式为 (b) 。 1018 │? (x1， y1， z1， x2， y2， z2)│2代表______________________。

1020 任何波函数? (x， y， z， t)都能变量分离成? (x， y， z)与? (t)的乘积，对否？ ----------------- ( ) 1021 下列哪些算符是线性算符---------------------------------------------------------------- ( ) (A)

d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) dx (E) 积分

1022 下列算符哪些可以对易------------------------------------------------------------------- ( )

? 和 y? (B) (A) x??? (D) p? ?x 和x?x 和y 和 (C) p?x?y1023 下列函数中 (A) cos kx (B) e (1) 哪些是

–bx

(C) e

-ikx

(D) e?kx2

d的本征函数；--------------------------------------------------------------- ( ) dxd2 (2) 哪些是的2本征函数；------------------------------------------------------------- ( )

dx 1

结构化学

dd2 (3) 哪些是2和的共同本征函数。----------------------------------------------- ( )

dxdx1024 在什么条件下， 下式成立？

?) (p?) =p?2 ? + q? - q?2 - q (p?具有下列性质 1025 线性算符R?(U + V) = R?U+R?V R?(cV) = cR?V R 式中c为复函数， 下列算符中哪些是线性算符？ ---------------------------------------( )

?U=λU，λ=常数 (B) B?U=U* (A) Adx?U=U2 (D) D?U = dU (E) E?U=1/U (C) C1026 物理量xpy- ypx的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。

?x的本征值。 1027 某粒子的运动状态可用波函数?=Ne来表示， 求其动量算符p1029 设体系处在状态?=c1?211+ c2

-ix

?210中， 角动量M2和Mz有无定值。其值为多少？若无，则求其平均值。

?x=1030 试求动量算符ph? 的本征函数(不需归一化)。 i2??x1031 下列说法对否:”?=cosx， px有确定值， p2x没有确定值，只有平均值。” ---------- ( )

1032 假定?1和?2是对应于能量E的简并态波函数，证明?=c1?1+ c2?2同样也是对应于能量E的波函数。

h2d21033 已知一维运动的薛定谔方程为: [?2+V（x）] ?=E? 28?mdx ?1和?2是属于同一本征值的本征函数， 证明: ?d?2d?1?-=常数 12

dxdx1034 限制在一个平面中运动的两个质量分别为m1和m2的质点 ， 用长为R的、没有质量的棒连接着， 构

成一个刚性转子。 (1) 建立此转子的Schr?dinger方程， 并求能量的本征值和归一化的本征函数；

?=M?z=-ih(2) 求该转子基态的角动量平均值。已知角动量算符 M

?。

2???2

2

2h?2?1035 对一个质量为m、围绕半径为R运行的粒子， 转动惯量I=mR， 动能为M/2I，M= 。 224???2

?Schr?dinger 方程H?=E?h2?2变成?= E?。 解此方程， 并确定允许的能级。 2228?mR??1036 电子自旋存在的实验根据是：--------------------------------------------------------------- ( )

(A) 斯登--盖拉赫(Stern-Gerlach)实验 (B) 光电效应 (C) 红外光谱 (D) 光电子能谱 1037 在长l=1 nm的一维势箱中运动的He原子，其de Broglie波长的最大值是：------- ( ) (A) 0.5 nm (B) 1 nm (C) 1.5 nm (D) 2.0 nm (E) 2.5 nm

1038 在长l=1 nm 的一维势箱中运动的He原子， 其零点能约为：-------------------------- ( )

(A) 16.5×10-24J (B) 9.5×10-7 J (C) 1.9×10-6 J (D) 8.3×10-24J (E) 1.75×10-50J

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结构化学

1039 一个在一维势箱中运动的粒子， (1) 其能量随着量子数n的增大：------------------------ ( )

(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变 (2) 其能级差 En+1-En随着势箱长度的增大：-------------------( )

(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变

12h21041 立方势箱中的粒子，具有E=的状态的量子数。 nx ny nz是--------- ( )

8ma2 (A) 2 1 1 (B) 2 3 1 (C) 2 2 2 (D) 2 1 3 1042 处于状态? (x)=sin (A) P=? (

?ax的 一维势箱中的粒子， 出现在x=处的概率为----------------------- ( ) a4?a?aa12) = sin(·) = sin = (B) P=[? ( )]2= 442a442 (C) P=

2a? (a) =

4a112? (D) P=[ ( )]2= 4aaa

(E) 题目提法不妥，所以以上四个答案都不对

7h21043 在一立方势箱中，E?的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l， 粒子质量为m)：-----------( )

4ml2 (A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E) 6，14 1044 一个在边长为a的立方势箱中的氦原子，动能为

123mv=kT， 求对应于每个能量的 波函数中能22量量子数n值的表达式。

104 (1)一电子处于长lx=2l，ly=l的二维势箱中运动，其轨道能量表示式为Enx,ny=_________________；

h2（2） 若以为单位，粗略画出最低五个能级，并标出对应的能量及量子数。 232ml1046 质量为 m 的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1) 体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2) 体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ； (3) 体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l/2间的概率为_______________ ； (4) 势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；

(5) 若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。

1047 质量为m的粒子被局限在边长为a的立方箱中运动。波函数?当粒子处于状态?211(x，y，z)=

____________________；

7h2

， 其简并度是_____。 211时，概率密度最大处坐标是_________；若体系的能量为

4ma2

3h227h21048 在边长为a的正方体箱中运动的粒子，其能级E=的简并度是____，E'= 的简并度是____。 224ma8ma1049 “一维势箱中的粒子，势箱长度 为l， 基态时粒子出现在x=l/2处的概率密度最小。” 是否正确 ？

15h21050 对于立方势箱中的粒子，考虑出E?的能量范围， 求在此范围内有几个能级？ 在此范围内有多

8ma2

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结构化学

少个状态？

1051 一维线性谐振子的基态波函数是?=Aexp[-Bx2]，式中A为归一化常数，B=? (?k)1/2/h， 势能是V=kx2/2。

将上式?代入薛定谔方程求其能量E。

1052 分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2中的?电子可视为在长为8Rc-c的一维势箱中运动的自由粒子。分子的最

低激发能是多少？它从白色光中吸收什么颜色的光；它在白光中显示什么颜色？ (已知 Rc-c=140 pm) 1053 被束缚在0质子核内时， 求其静电势能。对比上述两个数据，能得到什么结论？

。。

(已知电子质量me=9.109×10-31 kg， 4??0=1.113×10-10J-1C2m， 电荷e=1.602×10-19C) 1055 有人认为，中子是相距为10-13cm的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是

否合理。

1056 作为近似， 苯可以视为边长为0.28 nm的二维方势阱， 若把苯中?电子看作在此二维势阱中运动的粒

子， 试计算苯中成键电子从基态跃迁到第一激发态的波长。 1059 函数? (x)= 2

?x2?x22sin - 3sin 是不是一维势箱中粒子的一种可能状态？ 如果是， 其能量有

aaaa没有确定值(本征值)？ 如有， 其值是多少？ 如果没有确定值， 其平均值是多少？

1060 在长为l的一维势箱中运动的粒子， 处于量子数为n的状态， 求： (1) 在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率； (2) n为何值时， 上述概率最大？ (3) 当n→∞时， 此概率的极限是多少？ (4) (3)中说明了什么？ 1061 状态?111(x，y，z)=

?x?y?z8 sin sin sin 概率密度最大处的坐标是什么？ 状态?abcabc321(x，

y，z)概率密度最大处的坐标又是什么？ 1062 函数?(x)=

2?x?x22sin + 2sin是否是一维势箱中的一个可能状态？ 试讨论其能量值。

aaaa1063 根据驻波的条件， 导出一维势箱中粒子的能量。

1064 求下列体系基态的多重性(2S+1)。 (1) 二维方势箱中的9个电子； (2) lx=2a， ly=a 二维势箱中的10个电子；

(3) 三维方势箱中的11个电子 。

1065 试计算长度为a的一维势箱中的粒子从n=2跃迁到n=3的能级时， 德布罗意长的变化。 1066 在长度为100 pm的一维势箱中有一个电子， 问其从基态跃迁到第一激发态吸收的辐射波长是多少？在

同样情况下13粒子吸收的波长是多少？ (已知me=9.109×10-31 kg ， m?=6.68×10-27kg)

1067 试问一个处于二维势箱中的粒子第四个能级的简并度为多少？ 1068 (1) 写出一维简谐振子的薛定谔方程；

?21/4

(2) 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是 ?0= () exp[-?2x2/2]

? 此处，?=(4?2k?/h2)1/4，试计算振子处在它的最低能级时的能量。 (3) 波函数?在x取什么值时有最大值？ 计算最大值处?2的数值。

1069 假定一个电子在长度为300 pm的一维势阱中运动的基态能量为 4eV。作为近似把氢原子的电子看作是

在一个边长为100 pm 的立方箱中运动。估计氢原子基态电子能量。

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结构化学

1070 一个质量为m的自由粒子， 被局限在x=-a/2到x=a/2之间的直线上运动，求其相应的波函数和能量(在

-a/2≤x≤a/2范围内，V=0)。

1071 已知一维势箱的长度为0.1 nm， 求：

(1) n=1时箱中电子的de Broglie波长； (2) 电子从n=2向n=1跃迁时辐射电磁波的波长 ； (3) n=3时箱中电子的动能。 1072 (1) 写出一维势箱中粒子的能量表示式； (2) 由上述能量表示式出发， 求出px2的本征值谱(写出过程)；

(3) 写出一维势箱中运动粒子的波函数 。 (4) 由上述波函数求力学量px的平均值、 px2的本征值谱。

1073 在0-a间运动的一维势箱中粒子，证明它在a/4≤x≤a/2区域内出现的概率 P=

12sin(n?/2) [ 1 + ]。 当n→∞时， 概率P怎样变？ 4n?1074 设一维势箱的长度为l， 求处在n=2状态下的粒子， 出现在左端1/3箱内的概率。 1075 双原子分子的振动， 可近似看作是质量为?=

m1m2的一维谐振子， 其势能为V=kx2/2， 它的薛定

m1?m2谔方程是_____________________________。 1076 试证明一维势箱中粒子的波函数?n=

n?x2?x的本征函数。 sin()不是动量算符paa 另外， 一维箱中粒子的能量算符是否可以与动量算符交换？

1077 试证明三维势箱中粒子的平均位置为(a/2， b/2， c/2)。

1079以?=exp[-?x2]为变分函数， 式中?为变分参数， 试用变分法求一维谐振子的基态能量和波函数。

已知

??0x2nexp??x2dx???1?3? ??（?2n?1)? n?12n?12a1080 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与

Cu的K?线(波长为154 pm的单色X射线)产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为___________________J。 1081 把苯分子看成边长为350 pm的二维四方势箱， 将6个?电子分配到最低可进入的能级， 计算能使电子

上升到第一激发态的辐射的波长， 把此结果和HMO法得到的值加以比较(?实验值为-75×103J·mol-1)。 1082 写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的、质量为m的粒子的薛定谔方程，求其解。 1083 一个以 1.5×106m·s-1速率运动的电子，其相应的波长是多少？(电子质量为 9.1×10-31 kg) 1084 微观体系的零点能是指____________________的能量。 1085 若用波函数?来定义电子云，则电子云即为___________________。 1086

dd 和 i 哪个是自轭算符----------------------------------- ( ) dxdx1087 电子的运动状态是不是一定要用量子力学来描述？--------------- ( )

1088 测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准，对吗？---------------( ) 1089 求函数 f=eimφ对算符 i

d 的本征值。 dφ1090 若电子在半径为r的圆周上运动，圆的周长必须等于电子波半波长的整数倍。

(1)若将苯分子视为一个半径为r的圆，请给出苯分子中π电子运动所表现的波长； (2) 试证明在?轨道上运动的电子的动能 ：

n2h2 Ek= (n为量子数) 2232?mr

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结构化学

(3)当n=0时被认为是能量最低的?轨道，设分子内?电子的势能只与r有关(此时所有C原子上电子波的

振辐及符号皆相同)，试说明6个?电子分别填充在哪些轨道上 (4)试求苯分子的最低紫外吸收光谱的波长 (5)联苯分子 的最低能量吸收和苯分子相比，如何变化？为什么？

1091 一个100 W 的钠蒸气灯发射波长为590nm的黄光，计算每秒钟所发射的光子数目。

1092 一个在一维势箱中运动的电子，其最低跃迁频率是 2.0×1014s-1，求一维势箱的长度。 1093 一电子在长为600pm的一维势箱中由能级n=5跃迁到n=4，所发射光子的波长是多少？ 1094 求证: xe?1/2x是否是算符(-1095 求波函数?＝eikx2d +x2)的本征函数？若是，本征值是多少？ dx所描述的粒子的动量平均值，运动区域为-∞≤x≤∞。

1096 求波函数?=cos kx所描述的粒子的动量平均值，运动区间为-∞≤x≤∞。 1097 将原子轨道?=e?r/a0归一化。 已知

??0xn e?axdx?n! n?1a1098 用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV，计算电子加速后运动时的波长。 1099 金属锌的临阈频率为8.065×1014s-1，用波长为300nm的紫外光照射锌板，计算该锌板发射出的光电子

的最大速率。

1100 已经适应黑暗的人眼感觉510nm的光的绝对阈值在眼角膜表面处为11003.5×10-17J。它对应的光子数

是：--------------------------------------------------------------------（ ） (A) 9×104 (B) 90 (C) 270 (D) 27×108 1101 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ---------------------------------（ ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大

1102 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：-----------------------------------（ ） (A) de Br?glie (B) A. Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schr?dinger 1103 计算下列各种情况下的de Br?glie波长。 (1) 在电子显微镜中，被加速到1000kV的电子； (2) 在300Ｋ时，从核反应堆发射的热中子(取平均能量为kT/2) (3) 以速率为1.0m·s-1运动的氩原子(摩尔质量39.948g·mol-1)

(4) 以速率为10-10m·s-1运动的质量为1g的蜗牛。 (1eV=1.60×10-19J， k=1.38×10-23J·K-1)

1104 计算能量为100eV的光子、自由电子、质量为300g小球的波长。 (1eV=1.60×10-19J， me=9.109×10-31kg)

1105 钠D线(波长为589.0nm和589.6nm)和60Co的?射线(能量分别为1.17MeV和1.34MeV)的光子质量各为

多少？

1106 已知Ni的功函数为5.0eV。 (1)计算Ni的临阈频率和波长； (2)波长为400nm的紫外光能否使金属Ni产生光电效应？ 1107 已知K的功函数是2.2eV， (1)计算K的临阈频率和波长； (2)波长为400nm的紫外光能否使金属K产生光电效应？ (3)若能产生光电效应，计算发射电子的最大动能。

~应为：--------------------------------（ ）1108 微粒在间隔为1eV的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数v

(A) 4032cm-1 (B) 8065cm-1 (C) 16130cm-1 (D) 2016cm-1 (1eV=1.602×10-19J) 1109 欲使中子的德布罗意波长达到154pm，则它们的动能和动量各应是多少？ 1110 计算下列粒子的德布罗意波长，并说明这些粒子是否能被观察到波动性。 (1)弹丸的质量为10g， 直径为1cm ，运动速率为106m·s-1

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结构化学

(2)电子质量为9.10×10-28g，直径为2.80×10-13cm，运动速率为106m·s-1 (3)氢原子质量为1.6×10-24g，直径约为7×10-9cm，运动速率为103m·s-1，若加速到106m·s-1，结果如何？ 1111 金属钠的逸出功为2.3eV，波长为589.0nm的黄光能否从金属钠上打出电子？在金属钠上发生光电效应

的临阈频率是多少？临阈波长是多少？

1112 试计算具有下列波长的光子能量和动量:

(1)0.1m(微波) (2)500nm(可见光) (3)20?m(红外线) (4)500pm(X射线) (5)300nm(紫外光) 1113 计算氦原子在其平均速率运动的德布罗意波长，温度分别为300K，1K和10-6K。 1114 普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值是：------------------------（ ）

(A) 6.02×10-23尔格 (B) 6.625×10-30尔格·秒 (C) 6.626×10-34焦耳·秒 (D) 1.38×10-16尔格·秒 1116 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：---------------------（ ）

(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 1117 根据测不准关系，说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱粒子的零点能效应。

1118 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：-------------------------（ ） (Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理

1119 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：--------------------------------------（ ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得 (C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设 1120 自旋相同的两个电子在空间同一点出现的概率为_________。

1121 试求?=(?2/?)1/4exp(-?2x2/2)在?等于什么值时是线性谐振子的本征函数，其本征值是多少？

1122 对于一个在特定的一维箱中的电子，观察到的最低跃迁频率为4.0×1014s-1，求箱子的长度。 1123 氢分子在一维势箱中运动，势箱长度l=100nm，计算量子数为n时的de Broglie波长以及n=1和n=2时

氢分子在箱中49nm到51nm之间出现的概率，确定这两个状态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置。 1124 求解一维势箱中粒子的薛定谔方程

h2d2?28?mdx2?（x）=E?(x)

1125 质量为m的粒子在边长为l的立方势箱中运动，计算其第四个能级和第六个能级的能量和简并度。 1126 在以下共轭体系中将?电子运动简化为一维势箱模型，势箱长度约为1.30nm，估算?电子跃迁时所吸收的 波长，并与实验值510nm比较。

1127 维生素A的结构如下: CH3CH3CH3CH3 CH2OH

它在332nm处有一强吸收峰，也是长波方向第一个峰，试估算一维势箱的长度l。

1128 一维势箱中一粒子的波函数?n(x)=(2/l)1/2sin(n?x/l)是下列哪些算符的本征函数，并求出相应的本征值。

(h/2?)2d2?? （Ｄ）H= ?x （Ｂ） p?x2 （Ｃ） x（A）p

2mdx2

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结构化学

1/2

1/2

d21129 试证明实函数?2 (?)=(1/?)cos2?和?2’(?)=(2/?)sin2?cos?都是?方程[ + 4] ? (?)=0的解。 2d??的本征函数，相应的本征值是多少？ 1130 证明函数x+iy，x-iy和z都是角动量算符Mz

1131 波函数具有节面正是微粒运动的波动性的表现。若把一维势箱粒子的运动看作是在直线上的驻波，请由

驻波条件导出一维箱中粒子的能级公式，并解释为什么波函数的节面愈多其对应的能级愈高。 1132 设氢分子振动振幅为1×10-9cm，速率为103m·s-1，转动范围约1×10-8cm，其动量约为振动的1/10左

右，试由测不准关系估计分子的振动和转动能量是否量子化。 1133 ①丁二烯 和 ②维生素A分别为无色和橘黄色，如何用自由电子模型定性解释。 ② CH 2OH

已知丁二烯碳碳键长为1.35×10-10nm(平均值)，维生素A中共轭体系的总长度为1.05nm(实验值)。 1134 电子具有波动性，为什么电子显像管中电子却能正确地进行扫描？ (假设显像管中电子的加速电压为

1000V)

1135 照射到1m2地球表面的太阳光子数很少超过每小时1mol，如果吸收光的波长?=400nm，试问太阳能发

电机每小时每平方米从太阳获得最大能量是多少？如转化率为20%，试问对一个1000MW的电站需要多大的采光面积？

1136 根据测不准关系，试说明具有动能为50eV的电子通过周期为10-6m的光栅能否产生衍射现象？ 1137 CO2激光器给出一功率为1kW、波长为10.6?m的红外光束，它每秒发射的光子是多少？若输出的光子

全被1dm3水所吸收，它将水温从 20°C升高到沸点需多少时间？ 1138 欲使电子射线与中子束产生的衍射环纹与Cu K?线(波长154pm的单色X射线)产生的衍射环纹相同，电子

与中子的动能应各为多少？

1139 氯化钠晶体中有一些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，可将这些电子看成是束缚于边长为0.1？nm

的方箱中。试计算室温下被这些电子吸收的电磁波的最大波长，并指出它在什么样的电磁波范围。 1140 已知有2n个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的?分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为

k2h2 Ek= k=1，2，…，2n 228mr(2n?1)其中，m是电子质量，r是相邻碳原子之间的距离，k是能级序号。试证明它的电子光谱第一吸收带(即电子基态到第一激发态的激发跃迁)波长?与n成线性关系。假定一个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度为l，而此台阶位于l/2～l之间，

1142 ?0和?1是线性谐振子的基态和第一激发态正交归一化的能量本征函数，令A?0(x)+B?1(x)是某瞬时

振子波函数，A，B是实数，证明波函数的平均值一般不为零。A和B取何值时，x的平均值最大和最小。 1144 (1) 计算动能为1eV的电子穿透高度为2eV、宽度为1nm的势垒的概率；

(2) 此种电子克服1eV势垒的经典概率为5×10-12，比较两种概率可得出什么结论？

?具有下列形式: 1146 已知算符Add2?2算符的具体表达式。 (1) (2) +x ，试求A2dxdx?是厄米算符，试证明A?－也是厄米算符(式中，是a的平均值，为实数)。 1147 已知A1149 证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。

1150 证明厄米算符的本征值是实数。

1151 试证明本征函数的线性组合不一定是原算符的本征函数，并讨论在什么条下才能是原算符的本征函数。

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结构化学

?属于本征值qn的本征函数，证明: =∑｜cn｜2 qn 1152 设?=∑cn?n，其中?n是算符Q?n属于本征值qin的本征函数。 ?的本征函数，相应的本征值为qi，试证明?i是算符Q1153 设?i是Q1154 下列算符是否可以对易:

? 和 y? (2) (1) x????? (4) p? ?x=· 和x?x 和y 和 (3) p?x?xi?y?和B?2也是厄米算符。 ?+B?是厄米算符，证明(A?)和A1155 已知A?nF?n?1 ?为两个线性算符，已知F?－G?F?n－G?和G?G?=1，证明: F?G?=nG1156 若F1157 对于立方箱中的粒子，考虑E < 15h2/(8ml2)的能量范围。

(1)在此范围内有多少个态？ (2)在此范围内有多少个能级？ 1158 为了研究原子或分子的电离能，常用激发态He原子发射的波长为58.4nm的光子： He(1s12p1)─→He(1s2)

(1)计算58.4nm光的频率(单位:cm-1)； (2)光子的能量以ｅＶ为单位是多少？以Ｊ为单位是多少？

(3)氩原子的电离能是15.759eV，用58.4nm波长的光子打在氩原子上，逸出电子的动能是多大？ 1159 由测不准关系??E=h/2? ，求线宽为：(1)0.1cm-1， (2)1cm-1， (3)100MHz的态的寿命。 1160 链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长波方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模

型估算该分子的长度。

?2， M?z三个算符中哪个的本征函数？ ?，M1161 说明下列各函数是H ?2pz，

?2px 和?2p1

1162 “波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。”是否正确，为什么？

-31

1163 一子弹运动速率为300 m·s-1，假设其位置的不确定度为4.4×10 m ，速率不确定度为0.01%×300 m·s-1 ，根据测不准关系式，求该子弹的质量。 1164 一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为

2n?x，a为势箱的长度，试问当粒子处于n=1或n=2sinaa的状态时，在0 ～a/4区间发现粒子的概率是否一样大，若不一样，n取几时更大一些，请通过计算说明。

2cosθd2d?)的本征函数，若是，本征值是多少？ 1165 5cosθ?3cosθ是否是算符F???(2?dθsinθdθ31166 对在边长为L的三维立方箱中的11个电子，请画出其基态电子排布图，并指出多重态数目。

1167 对在二维方势箱中的9个电子，画出其基态电子排布图。

1168 下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的？若不是归一化的，请给出归一化系数。（原子轨道是已归一化的）

a.

?1,?2,?3ψ1?12??1??2? b. ψ2?1??1?2?2??3? 4-r2a01169 将在三维空间中运动的粒子的波函数ψ?e 积分公式

归一化。

??0xne?axdx?n!an?1，a?0,n??1

1170 将在区间[-a，a]运动的粒子的波函数ψ?K（K为常数）归一化。

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