高三数学文科解析几何讲义--双曲线

双曲线的方程及性质

双曲线 标准方程 x2y2??1（a?0,b?0） a2b2y2x2??1（a?0,b?0） a2b2 y P y F2 O 简图 F1 OF 2 x x P F1 焦点坐标 顶点 范围 F1??c,0?，F2?c,0? A1??a,0?，A2?a,0? x≥a，y?R F1?0,?c?，F2?0,c? A1?0,?a?，A2?0,a? y≥a，x?R 实轴: 线段A1A2=2a 虚轴: 线段B1B2=2b 准线 渐近线方程 焦半径 a2x?? c by??xa PF1???ex0?a?， a2y?? c ay??xb PF1???ey0?a?， 几何P?x0,y0??C 性质 对称性 离心率 PF2???ex0?a? PF2???ey0?a? P在左支上用“?”， ， P在下支上用“?”P在右支上用“?” P在上支上用“?” 关于x,y轴均对称，关于原点中心对称； ce???1,??? ac?a2?b2 2a,b,c的关系 焦点三角形△PF1F2的面积：S△PF1F2?b?cot?2（?F1PF2??，b为虚半轴长） a2两准线间距离： cb2焦准距： c2b2通径（过焦点与长轴垂直的弦）： a一．双曲线定义： ⑴第一定义：平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数2a?F1F2的动点P的轨迹叫

双曲线,其中两个定点F1,F2叫双曲线的焦点.

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双曲线的方程及性质 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为双曲线 ; 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹不存在;

当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为 以F1,F2为端点的两条射线

⑵双曲线的第二定义:平面内到定点F与定直线L (定点F不在定直线L上)的距离之比是常数

e(e>1)的点的轨迹为双曲线 2222

【例】⑴一动圆与圆(x+3)+y＝1外切又与圆(x-3)+y＝9内切，求动圆圆心轨迹方程.

⑵设动点P到定点F1(-5，0)的距离与它到定点F2(5，0)的距离的差等于6，则P点轨迹方程是( )

x2y2y2x2x2y2y2x2A.-=1 B.-=1 C.-=1(x≥3) D.-=1(x≤-3)

916916916916x22

⑶如果双曲线-y=1的两个焦点为F1、F2，A是双曲线上一点，且｜AF1｜=5，那么｜AF2｜

9等于( ) A.5+10 B.5+210 C.8 D.11

二．双曲线方程及性质：见上表

x2y2【例1】⑴若方程+=1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )

2?mm?3A.-3＜m＜2或m＞3 B.m＜-3或m＞3 C.-2＜m＜3

D.-3＜m＜3或m＞3

x2y2 ⑵求双曲线方程：①与双曲线??1有共同的渐近线，且过点?3,23

916x2y2②与双曲线??1有公共焦点，且过点32,2

164x2y2??1的长轴端点为焦点，且过点P42,3 ③以椭圆

259?15?④经过点?,3?，且一条渐近线方程为4x?3y?0

?4???????⑤双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点4,?10

??x22

【例2】⑴设F1和F2为曲线-y=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2

4的面积.

⑵已知l1、l2是过点P(-2，0)的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y-x=1各有两

个交点，分别为A1、B1和A2、B2.

2

2

①求l1的斜率k1的取值范围. ②若｜A1B1｜=5｜A2B2｜；求l1、l2的方程. ⑶若双曲线y2-x2=1上的点P与其焦点F1、F2的连线互相垂直，求P点的坐标

x22

⑷F1、F2为双曲线－y＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2

4的面积是( ) A．2 B．4 C．8 D．16

xyx2y2⑸椭圆＝1有相同焦点，则a的值是______ ?2＝1与双曲线2?4a2ax2y2⑹已知F1、F2是双曲线＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值?169第 2 页 共 3 页

22双曲线的方程及性质

是______．

22

⑺已知曲线C：x－y＝1及直线l：y＝kx－1．①若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；②若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值

x2y2y2x2三．共轭双曲线（与2?2?1共渐近线的双曲线）方程2－2??（??0）．

baba四．最值问题

y2【例】设P是双曲线x??1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A?3,1?，

31①求PA?PF的最小值；②求PA?PF的最小值.

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