2014届上海市徐汇、金山、松江区高三二模数学（文）试题及答案

2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科（文科） 2014.4

一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．已知集合A??x|??x?2??0?，B??x|x2?2x?3?0,x?R?，则A?B?____________． x?5?2．直线x?3y?1?0的倾斜角的大小为____________． 3．函数y?cos?2x?4．函数y?x??????的单调递减区间是____________． 4?2?x?0?的值域为____________． x5．设复数z满足i?z?1???3?2i，则z＝____________．

6．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生. 7．函数f?x??sinx?cosxcos???x?2sinxcosx?sinx?1的最小正周期T=____________．

8．已知函数f(x)?arcsin(2x?1)，则f()?____________． 60?9．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90,AA1?2,AC?BC?1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是____________．

?x?y?5?2x?y?6?10.已知实数x、y满足不等式组?，则z?3x?4y的最大值是

?x?0??y?0____________．

1????411．若?1?2??n?N,n?1?的展开式中x的系数为an，

?x?则lim?n?111????n??aan?2a3??=____________． ?

?a11 a12 a13???2，3；j?1，2，3)，从中任取三个数，?a21 a22 a23? 12．如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i?1，?a a a?33??3132则这三个数位于不同行不同列的概率是____________． (结果用分数表示)

13．对于集合A?{a1,a2,???,a10}，定义集合S?{xx?ai?aj,1?i?j?10}，记集合S中的元素个数为S(A)．若a1,a2,???,a10是公差大于零的等差数列，则S(A)=____________． 14．如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量

????????????AP?mAB?nAF(m,n为实数），则m?n的最大值为____________．

二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．命题p：a?1；命题q：关于x的实系数方程x?22x?a?0有虚数解,则p是q的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知直线l?平面?，直线m?平面?，给出下列命题,其中正确的是-----------( ) ①?//??l?m ②????l//m ③l//m???? ④l?m??//? A．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③

17．在?ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且?A?2?B，则A．

2sinB等于----（ ） sin3Bcbab B． C． D．

bcca218．函数y?1?(x?2)图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公．．．

比的数是------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A．

331 B． C． D．3

322

三． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）

如图所示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆.试求这个几何体的体积与侧面积.

正视图 侧视图

·

俯视图

20．（本题满分14分）

如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知?ABC?120，?ADC?150，，AC?3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位BD?1（千米）

登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰． （即从B点出发到达C点）

C

00D

A

B

21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

已知椭圆x?2y?a(a?0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆C的方程；

222?????????11?（2）已知直线y?k(x?1)与椭圆C交于A、B两点，若点M?,0?，求证MA?MB为定值.

?4?

22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）

定义：对于函数f?x?，若存在非零常数M,T，使函数f?x?对于定义域内的任意实数x，都有

f?x?T??f?x??M，则称函数f?x?是广义周期函数，其中称T为函数f?x?的广义周期，M称

为周距．

（1）证明函数f?x??x???1?的值；

（2）试判断函数f?x??kx?b?Asin??x???（k、A、?、?为常数，k?0,A?0,??0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由； （3）设函数y?g?x?是周期T?2的周期函数，当函数f?x???2x?g?x?在?1,3?上的值域为

x并求出它的相应周距M?x?Z?是以2为广义周期的广义周期函数，

??3,3?时，求f?x?在??9,9?上的最大值和最小值．

23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题５分，第（3）小题9分） 一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n?5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f?2,1??f?1,1??f?1,2?；f?i,j?为数表中第i行的第j个数．

（1） 求第2行和第3行的通项公式f?2,j?和f?3,j?；

（2） 证明：数表中除最后2行以外每一行的数都依次成等差数列； （3） 求f?i,1?关于i（i?1,2,?,n）的表达式．

f?1,1?f?1,2??f?1,n?1?f?3,1??f?3,n?2???f?n,1?f?1,n?f?2,1?f?2,2??f?2,n?1?

2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科（文科）参考答案及评分标准

2014.4

二． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) １．??5,?1? ２．

?3??5??22,?? 3．?k??,k???k?Z? 4．???88?6??5．1?3i 6．40 7．? 8．?10．20 11．2 12．

61 9．

641 13．17 14．5 14二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．B 16．Ｃ 17．Ｄ 18．Ｂ

四． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）

解：根据几何体的三视图知，

原几何体是以半径为1的圆为底面且高为3的圆锥． 由于该圆锥的母线长为2，---------------（4分） 则它的侧面积S侧??rl?2?，-----------（8分）

13体积V??r2h??．------------------------（12分）

33 20．（本题满分14分）

解：由?ADC?150知?ADB?30， 解：由?ADC?150知?ADB?30， 由正弦定理得

00001AD，所以，AD?3．---------------------------------------（4分） ?sin300sin12002220在?ADC中，由余弦定理得：AC?AD?DC?2AD?DCcos150， 即3?2?3?2?DC2?2?3?DCcos1500，即DC2?3?DC?6?0，

解得DC??3?33?1.372（千米）， -----------------------------------------------（10分） 2

?BC?2.372（千米），--------------------------------------------------------------------（12分）

由于2.372?2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．---（14分） 21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，

a2a2a222222则b?，由c?a?b得c?a?， ?2222由

1?b?2c?4 解得a2?8,b2?4, 2x2y2??1. --------------------------------------------（6分） 则椭圆方程为84?y?k(x?1)（2）由?2得 2x?2y?8?(2k2?1)x2?4k2x?2k2?8?0, ----------------------------------------------------------------（8分）

设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得：

4k22k2?8x1?x2?2,x1x2?2,

2k?12k?1????????1111?MA?MB?(x1?,y1)?(x2?,y2)

44111212?x1x2?(x1?x2)??k(x1?1)(x2?1)

41611121=(k2?1)x1x2?(?k2)(x1?x2)?k2?

4162k2?8114k212122?(?k)?k?=(k?1)

4162k2?12k2?12?16k2?81217???, =216162k?1????????7所以MA?MB为定值?. ------------------------------------------（14分）

16 22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）

解：（1）?f?x??x???1?x?x?Z?，

x?2?f?x?2??f?x????x?2????1?? 所以函数f?x??x???1?x???x???1?x??2（非零常数）

????x?Z?是广义周期函数，它的周距为2；-----（4分）

（2）函数f?x??kx?b?Asin??x???（k、A、?、?为常数，k?0,A?0,??0）

是广义周期函数， 且T?2??,M?2k??.证明如下：?f?x???2???f?x? ???2???k?x?????2???b?Asin?x?????????2k?????kx?b?Asin?x????? ?????????（非零常数）. -------------------------------------------------------------------------------------（ 8分）

（3）?f?x?2??f?x???2?x?2??g?x?2??2x?g?x???4，

所以f?x?是广义周期函数，且T?2,M??4. ------------------------------------------（10分） 设x1,x2??1,3?满足f?x1???3,f?x2??3， 由f?x?2??f?x??4得：

f?x1?6??f?x1?4??4?f?x1?2??4?4?f?x1??4?4?4??3?12??15，

又?f?x?2??f?x??4?f?x?知道f?x?在区间??9,9?上的最小值是x在?7,9?上获得的，而

x1?6??7,9?，所以f?x?在??9,9?上的最小值为?15．--------------------（ 13分）

由f?x?2??f?x??4得f?x?2??f?x??4得：

f?x2?10??f?x2?8??4?f?x2?6??4?4???f?x2??20?23，

又?f?x?2??f?x??4?f?x?知道f?x?在区间??9,9?上的最大值是x在??9,?7?上获得的，而

x2?10???9,?7?，所以f?x?在??9,9?上的最大值为23．-----------（16分）

23．（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分） 解：（1）f?2,j??f?1,j??f?1,j?1??2f?1,j??4?8j?4?j?1,2,?,n?1?，

f?3,j??f?2,j??f?2,j?1??2f?2,j??8?2?8j?4??8?16j?16?j?1,2,?,n?2?，

---------------------------------------------------------------------------------------------------------（4分） （2）由已知，第一行是等差数列，

假设第i?1?i?n?3?行是以di为公差的等差数列，则由

f?i?1,j?1??f?i?1,j????f?i,j?1??f?i,j?2??????f?i,j??f?i,j?1???

?f?i,j?2??f?i,j??2di（常数）

知第i?1?1?i?n?3?行的数也依次成等差数列，且其公差为2di.

综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列．---------------------------（9分）

（3）由于dd2?，所以di?1i?11?4,i?2di?1?i?i?4?2?2，---------------------（11分）

所以f(i,1)?f(i?1,1)?f(i?1,2)?2f(i?1,1)?di?1，

由d2i得f?i,1??2f(i?1,1)?2ii?1?，----------------------------------------------（13分）

于是

f?i,1?f?i?1,1??i,1??2i?2i?1?1，即

f2i?f?i?1,12i?1?1，----------------------------（15分）又因为

f?1,1??4?f?212?2，所以，数列?i,1???2i?是以2为首项，1为公差的等差数列，?f?i,1?2i?2??i?1??i?1，所以f?i,1???i?1??2i（i?1,2,?,n）．----------（18分）

所以，

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