福建省福州八中2013届高三毕业班(5月)模拟考数学文科试卷

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福州八中2012—2013学年高三毕业班模拟考

数学(文)试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

y bx a，其中b 参考公式：回归直线方程：

xy nxy

ii

i 1

n

n

x

i 1

2i

nx

,a y bx

1

Sh， 其中S为底面面积，h为高； 3

球的表面积公式：S 4 R2；

4

球的体积公式：V R3，其中R为球的半径。

3

锥体体积公式：V

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数z 1 2i（i是虚数单位），则复数z的虚部为

A． 2

B. 2

C. 2i

D. 2i

2．命题p:若x y,则|x| |y|，命题q:若A．“p或q”为真 C．p真q假

ab

，则a b．则

c2c2

B．“p且q”为真 D．p,q均为假 3．在递增等比数列{an}中，a2 2,a4 a3 4，则公比q＝

A．-1

B．1

C．2

1

D．

2

4．某程序框图如图所示，则该程序 运行后输出的值是 A．2

B．3 C．4 D．5

A．与定点F和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线

m

B．抛物线x2＝2my的焦点坐标为 02，准线方程

5.下列说法中，正确的是

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m

为y＝－2

C．准线方程为x＝－4的抛物线的标准方程为y2＝8x

D．焦准距(焦点到准线的距离)为p(p>0)的抛物线的标准方程为y2＝±2px

6.若角 的终边与单位圆交于第三象限的一点P，其横坐标为

A.

，则tan 10

1 3

B.

1 3

C. 3 D. 3

7. 如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）P-ABCD的底面边长为6cm，侧棱长为5cm，则它的侧视图的周长等于

A.17cm

B. 5cm D.14cm

C.16cm

8．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则OA OB OC OD

A．OM B．2 C．3 D．4

9．在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一个矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形的面积大于24cm2的概率是 A．

1

6

B．

1

5

C．

11

D．

34

sin2

10．在半径为a的圆桌中心上方安装一吊灯,桌面上灯光的强度y k，其中k是常2

r

数，r是灯与桌面上被照点的距离，错误！未找到引用源。是光线与桌面的夹角（如图），现为使桌边最亮，则sin 错误！未找到引用源。

A.

3 22 3

B.

3

32 2

C. D.

a

11. 已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，且满足f(1 x) f(1 x)，当x 1,1 时，

f(x) 1 x2，若函数g(x) log5x，则h(x) f(x) g(x)在区间（0,5]内的零点的个数是

A．2

B．3

C．4

D．5

x2y2

1渐近线上的一个动点P总在平面区域(x m)2 y2 16内，则 12．若双曲线

916

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实数m的取值范围是

A. [ 3,3]

C. [ 5,5]

B. ( , 3] [3, ) D. ( , 5] [5, )

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上．

π

13．函数y＝sin (2x＋)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移 个单位长度

4

而得到．

2 x x b,x 3

14．设函数f(x) x，若函数f(x)在R上为增函数，则实数b的取值范

2,x 3

围是 ．

15．若关于x的不等式m x 1 x2 x的解集为 x1 x 2 ，则实数m的值为 ．

x2y2 1上任意一点P，A1,A2是椭圆的左、右顶点，16．已知椭圆设直线PA1,PA2斜95

率分别为kPA1,kPA2，则kPA1 kPA2 ，现类比上述求解方法，可以得出以下命题：已知x2y2

双曲线2 2 1上任意一点P，A1,A2是双曲线的左、右顶点，设直线PA1,PA2斜率分别

ab

为kPA1,kPA2，则kPA1 kPA2 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题满分12分）

某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)， ， [140,150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求分数在[120,130)内的频率；

(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区

100＋110

间[100,110)的中点值为＝105)作为这组数据的平2均分，据此，估计本次考试的平均分；

(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．

18．（本题满分12分）

已知

3sin x, cos x， (cos x,cos x)， 0，函数f(x) ，且f(x)

的图像相邻两条对称轴间的距离为

． 2

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（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

（Ⅱ）若 ABC的三条边a，b，c所对的角分别为A,B,C满足2bccosA a2，求角A的取值范围．

19．（本题满分12分）

如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面AA1C1C 底面ABC，AA1 A1C AC 2，

AB BC,AB BC,O为AC的中点.

⑴ 证明:A1O 平面ABC；

⑵若E是线段A1B上一点，且满足

1

C1

VE BCC1

1

VABC A1B1C1，求A1E的长度. 12

A

B

20．（本题满分12分）

n215 数列{an}的前n项和Sn ，已知a1 ，a2 ．

an b26

（1）求数列{an}的前n项和Sn； （2）求数列{an}的通项公式； （3）设bn

21．（本题满分12分）

an

，求数列{bn}的前n项和Tn．

n2 n 1

x2y2

已知椭圆C:2 2 1(a b

0)的离心率为，且过点(0, 1)．

2ab

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足

OA OB tOP（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．

22．（本题满分14分）

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若斜率为k的两条平行直线l，m与曲线C相切并至少有两个切点，且曲线C上的所有点都在l，m之间（也可在直线l，m上），则把l，m称为曲线C的“夹线”，把l，m间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d(k).已知函数f(x) x+3cosx.

（Ⅰ）若点P横坐标为0，求f(x)图象在点P处的切线方程；

（Ⅱ）试判断y x 3和y x 3是否是f(x)的“夹线”，若是，求d(1)；若不是，请说明理由；

（Ⅲ）求证：函数F(x) x3 x的图象不存在“夹线”.

13

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数学（文）试题参考答案

1-12、BACCB DDDBD CD

b25π

13、 14、[2, ) 15、2 16、 ； 2

8a917、解：(1)分数在[120,130)内的频率为

1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3 3分 (2)估计平均分为

x＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121

6分

(3)依题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)． [120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)．

∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n； 在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；

设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件共有(m，n)，(m，a)， ，(m，d)，(n，a)， ，(n，d)，(a，b)， ，(c，d)共15种．

则事件A包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，

c)，(n，d)共9种．∴P(A)＝＝. 12分

18、解：（I）f(x)

9

1535

3sin xcos x cos xcos x

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11 1

sin2 x cos2 x sin 2 x ……….2分 2226 2

∵f(x)相邻两条对称轴的距离为

，∴f(x)最小正周期为 2

由

12

得 1. 函数f(x) sin 2x 4分

6 22

由2k

2

2x

6

2k

2

　k Z 得 k ,k

6

x k

3

∴函数f(x)的单调增区间[k

2

6

3

2

] k Z……………….6分

2

2

（II）∵2bccosA a 又由余弦定理a b c 2bccosA．

b2 c22bc1

∴4bccosA b c , ∴cosA

4bc4bc2

2

2

3

19、解：(1) AA1 A1C AC 2，且O为AC的

中点， A1O AC，又 侧面AA1C1C 底面ABC，交线

为AC，A1O 面A1AC， A1O 平面ABC 6分

11

(2) VE BCC1 VABC A1B1C1 VA1 BCC1， A1

12413因此BE BA1， 即A1E A1B，

44

又在Rt A1OB中，A1O OB,A1O ,BO 1，

3

可得A1B 2,则A1E的长度为 12分 A21114

20、解：（1）由S1 a1 ，得由S2 a1 a2 ， ；2a b23

44得 ． 2a b3

a 1 a b 2n2

∴ ，解得 ， 故Sn 4分

b 12a b 3n 1

又∵A为三角形内角，所以0 A

. …………………….12分

C1

n2(n 1)2n3 (n 1)2(n 1)n2 n 1

2（2）当n 2时，an Sn Sn 1 ． n 1nn(n 1)n nn2 n 1n2 n 11

由于a1 也适合an ． ∴通项an 8分 22

n nn n2

a111

（3）bn 2n．

n n 1n(n 1)nn 1

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∴数列{bn}的前n项和Tn b1 b2 bn 1 bn 1 1

1111111

223n 1nnn 1

1n

12分

n 1n 1

c2a2 b21c2

．即a2 2b2． 21、解：

（Ⅰ）由题知e ， 所以e 2 2

a2aa2

x222

y2 1 3分 又因为过点(0, 1)，所以b 1，a 2．故C的方程为2

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在.

设AB：y k(x 2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,y)，

y k(x 2), 2222由 x2得(1 2k)x 8kx 8k 2 0. 2

y 1. 2

1

64k4 4(2k2 1)(8k2 2) 0，k2 5分

2

8k28k2 2

x1 x2 ，x1x2

1 2k21 2k2

x1 x28k2

∵OA OB tOP，∴(x1 x2,y1 y2) t(x,y)，x ， 2

tt(1 2k)

y y21 4k

. 8分 y 1 [k(x1 x2) 4k] 2

ttt(1 2k)

(8k2)2( 4k)2

22 2， ∵点P在椭圆上，∴2

t(1 2k2)2t(1 2k2)2

222

∴16k t(1 2k)

16k21616t 4，则-2 t 2， 11分 2

1 2k2 2 2k2

∴t的最大整数值为1. 12分 22、解：（Ⅰ）由f'(x) 1 3sinx，k f'(0) 1 3sin0 1， f(0) 0+3cos0 3，所以P坐标为P(0,3)，

f(x)图象在点P处的切线方程是y 3 x 0即y x 3 3分 （Ⅱ）y x 3和y x 3是f(x)的“夹线”. 4分

由（Ⅰ）知y x 3是f(x)图象在点P处的切线，切点为（0,3）. f'(x) 1 3sinx 1， sinx 0.

当x 2 时，y 2 +3，f(2 ) 2 +3cos2 2 +3，

是函数y x 3和f(x) x+3cosx图象的另一个切点. （2 ，2 +3）

y x 3和f(x) x+3cosx的图象相切且至少有两个切点. 同理，（ ， -3），（3 ，3 -3）是y x 3和f(x) x+3cosx图象的两个切点

2

因此，两条平行直线与曲线相切并至少有两个切点。

对任意x∈R，g x f x x 3 x+3cosx 3 3cosx 0， g x f x

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x h x f x x 3 x+3cosx 3 3cosx 0， h x f

y x 3和y x 3是f(x)的“夹线”

d(1)

9分

（Ⅲ）证明：设F(x)

13

（x0,y0), x x的图象上任一点为P

3

1

F (x) x2 1， k F'(x0) x02 1,F(x0) x03 x0，

3

1

（x0,y0)处的切线方程为 y x03 x0 x02 1 (x x0) F(x)在点P

3

23 2

y x 1x x0 0 12 3即 x3 x x02 1 x x03

133 y x3 x

3

2

x x0 (x 2x0) 0 x x0或x 2x0

k F'(x0) x02 1，

k F ( 2x0) ( 2x0)2 1 4x0 1，

2

1

k k'时，当且仅当x0=0时取到，此时切线与F(x) x3 x的图象只有一个交点.

3

1

F(x) x3 x的图象和它在任一点处的切线至多只有一个切点.

3

1

函数F(x) x3 x的图象不存在“夹线” 14分

3

文章来源：福州五佳教育网(中小学快速提分，就上福州五佳教育)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/udrj.html