精品2018年考研数学资料中值定理总结

中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。 1、 所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法

例 1 设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)?f(1)?f?(0)?02f?(?) 试证至少存在一点??(a,b)使得f??(?)?1??分析：把要证的式子中的 ? 换成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0 由这个式可知要构造的函数中必含有f?(x)，从xf??(x) 找突破口 因为[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式变一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 这时要构造的函数就看出来了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函数法

(1)

例 2 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上连续 求证：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法 现在把与f 有关的放一边，与g 有关的放另一边，同样把 ? 换成 x 两边积分f?(x)g(x)dx ?g(x) ?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?f(x)

?f(x)e??g(x)dx?C 现在设C?0，于是要构造的函数就很明显了 F(x)?f(x)e??g(x)dx③一阶线性齐次方程解法的变形法

对于所证式为f??pf?0型，（其中p为常数或x 的函数）可引进函数u (x)?e?，则可构造新函数F(x)?f?e?pdxpdx例：设f(x)在[a,b]有连续的导数，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0f(?)?f(a)b?af(?)?f(a)分析：把所证式整理一下可得：f?(?)??0b?a1 ?[f(?)?f(a)]??[f(?)?f(a)]?0，这样就变成了f??pf?0型b?a 求证：存在??(a,b)，使得f?(?)??－dx－ 引进函数u (x)?eb?a＝eb?a （令C=0），于是就可以设F(x)?eb?a[f(x)?f(a)]f(b)?f(a) 注：此题在证明时会用到f?(c)??0?f(b)?f(a) 这个结论

b?a2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日

1xx例 3 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导bf(b)?af(a) 证明至少存在一点??(a,b)使得?f(?)??f?(?)b?a分析：很容易就找到要证的式子的特点，那么可以试一下，不妨设 F(x)?xf(x),用拉格朗日定理验证一下bf(b)?af(a) F?(?)?f(?)??f?(?)?b?a②柯西定理

例 4 设0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可导，证明在(x1,x2)至少存在一点c，使得 1x1e?ex2e1e2?f(c)?f?(c)f(x1)f(x2)e1f(x2)?e2f(x1)ex1x2xxxx分析：先整理一下要证的式子?e 这题就没上面那道那么容易看出来了xx?f(c)?f?(c)

x1?x2 发现e1f(x2)?e2f(x1)是交叉的，变换一下，分子分母同除一下ef(x2)f(x1) ex2?eex11x2e③k值法

?1x1于是这个式子一下变得没有悬念了 用柯西定理设好两个函数就很容易证明了仍是上题分析：对于数四，如果对柯西定理掌握的不是很好上面那题该怎么办呢？ 在老陈的书里讲了一个方法叫做k 值法 第一步是要把含变量与常量的式子分写在等号两边 以此题为例已经是规范的形式了，现在就看常量的这个式子 设

e1f(x2)?e2f(x1)ex1x2xx?e 很容易看出这是一个对称式，也是说互换x1x2还是一样的 记得回带k，用罗尔定理证明即可。?k 整理得e?x1[f(x1)?k]?e?x2[f(x2)?k] 那么进入第二步，设F(x)?e?x[f(x)?k]，验证可知F(x1)?F(x2)④泰勒公式法

老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。 3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理

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