第一章随机事件及其概率习题

第一章 随机事件及其概率习题

一 、填空题：

1.设A，B，C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示（1）A和B都发生，而C不发生为 ，（2）A、B、C至少有两个发生的事件为 。

2.设A，B为两个互不相容的事件，P(A)=0.2, P(B)=0.4, P(A+B)= 。 3.设A，B，C为三个相互独立的事件，已知P(A)=a, P(B)=b, P(C)=c,则A，B，C至少有一个发生的概率为 。

4.把一枚硬币抛四次，则无反面的概率为 ，有反面的概率为 。

5.电话号码由0，1，??9中的8数字排列而成，则电话号码后四位数字全都不相同的概率表示为 。

6.设公寓中的每一个房间都有4名学生，任意挑选一个房间，则这4人生日无重复的概率表示为 （一年以365天计算）。 7. 设A，B为两个事件，P(A)=0.4, ,P(B)=0.8,P(AB)=0.5,则P(B|A)= 。 8.设A，B，C构成一个随机试验的样本空间的一个划分，且P(A)?0.5,P(B)?0.7,则P(C)= ,P(AB)= 。

9.设A，B为两个相互独立的事件，P(A)=0.4，P(A+B)=0.7，则P(B)= 。 10.3个人独立地猜一谜语，他们能够猜出的概率都是为 。

1，则此谜语被猜出的概率3二 、选择题 ：

1. 设A与B是两随机事件，则AB表示（ ）

（A）A与B都不发生 （B）A与B同时发生

（C）A与B中至少有一个发生 （D）A与B中至少有一个不发生 2.设A与B是两随机事件，则(A?B)(A?B)表示（ ） （A）必然事件 （B）不可能事件

（C）A与B恰好有一个发生 （D）A与B不同时发生

1

3.设P(A)?a,P(B)?b,P(A?B)?c，则P(AB)为 （A）a?b（B）c?b（C）a(1?b)（D）a(1?c)

4.若A，B是两个互不相容的事件，P（A）>0，P（B）>0，则一定有（ ） （A）P（A）=1—P（B） （B） P（A|B）=0 （C） P（A|B）=1 （D）P（A|B）=0

5. 每次试验失败的概率为p (0

3331 （A）3(1?p) (B)(1?p)(C) 1?p (D)C3 (1?p)p

三、计算：

1.掷两颗质地均匀的骰子，求出现的两个点数之和等于5的概率。 2. 若10个产品中有7个正品，3个次品

（1） 不放回地每次从中任取一个，共取3次，求取到3个次品的概率。 （2） 每次从中任取一个，有放回地取3次，求取到3个次品的概率。 3 . 设A，B是两个事件，已知P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|A)=0.4, 求 （1）P（AB） (2)P(AB) (3) P(A+B)

4. 有五张票，其中两张是电影票，3人依次抽签得票，求每个人抽到电影票的概率分别为多少？

5.有五张票，其中三张是电影票，5个人依次抽签得票，如果第一人抽的结果尚未公开，由第2人抽得的结果去猜第1人是否抽的电影票。问：若第2人抽到了电影票，则第1人抽到电影票的概率为多少？

6.加工某一零件共需经过四道工序，设第一，二，三，四道工序出次品的概率分别是0.02，0.03，0.05，0.04，各道工序互不影响，求加工出的零件的次品率？

7.电路由电池A与2个并联电池的电池B及C串联而成，设电池A、B、C损坏的概率分别是0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率？

8.车间有甲、乙、丙3台机床生产同一种产品，且知它们的次品率依次是0.2，0.3，0.1，而生产的产品数量比为：甲：乙：丙=2：3：5，现从产品中任取一个，（1）求它是次品的概率？（2）若发现取出的产品是次品，求次品是来自机床乙的概率？ 9.三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，第二箱装有3个黑球3个白球，第三箱装有3个黑球5个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球。问（1）取出球是白球的概率？（2）若取出的球为白球，则该球属于第二箱的概率？ 10.设三次独立试验中，若A出现的概率均相等且至少出现1次的概率为次试验中，事件A出现的概率？

19，求在一27 2

11.甲、乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8，每人投三次。求（1）两人进球数相等的概率？（2）甲比乙进球数多的概率？ 12.三人向同一目标射击，击中目标的概率分别为

432,, 。求（1）目标被击中的概543率；（2）恰有一人击中目标的概率；（3）恰有两人击中目标的概率；（4）无人击中目标的概率。

四、证明题：

若已知事件A与B相互独立，证明事件A与B相互独立

五 附加题：

1. 从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？（至少用两种方法求解）

2.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为发生A不发生的概率相等，求P（A）

1，A发生B不发生的概率与B9第二章 随机变量及其分布

一、填空题：

1. 设随机变量?的分布律为P(??K)?a（K=1,2, ?N）,则常数a? 。 N 2. 盒内有5个零件，其中2件次品，从中任取3件，用?表示取出的次品数，则?的概率分布为 。 3. 设随机变量?~B(2,P)，若P(??1)?5，则P? 。 9??2??P???3?，则 4. 设?服从参数为?的泊松分布且已知P?P???1?? 。

5. 设随机变量?的分布律为 ? 0 1 则?的分布函数

3

P

为 。

12 336.设F(x)是离散型随机变量的分布函数，若P(??b)?______，则

P(a???b)?F(b)?F(a)成立。

x??2? 7. 设连续型随机变量?的概率密度为f(x)??ke??0x?0

x?0 则 k? ，P(1???2)? ，P(??2)? ，

P(??2)? 。

8. 设随机变量?的概率密度为f(x)?ke?(x?1)28（???x???），则k? 。

9. 设随机变量?在[1，6]上服从均匀分布，则P(??3)? 。 10. 设随机变量?~N(0,1),??2??1 , 则 ?服从 。

二、选择题：

1. P(??xk)?（ ）。

（A）xk非负 （B）xk为整数 （C）0?pk?2 （D）pk?2 2. 若函数y?f(x)是一随机变量?的概率密度，则（ ）一定成立。 （A）f(x)的定义域为[0，1] （B）f(x)的值域为[0，1]

2(k?1,2?)为一随机变量?的概率分布的必要条件是pk（??，?） (C) f(x)非负 (D) f(x)在内连续

3. 设随机变量?的概率密度为f(x)?12?4

e?(x?3)24（???x???），

则??（ ）~N(0,1)

（A）

??3??3??3??3 (B) (C) (D) 22224. 如果F(x)是（ ），则F(x)一定不可以是连续型随机变量的分布函数。 （A）非负函数（B）连续函数（C）有界函数（D）单调减少函数

5. 下列函数中，（ ）可以作为连续型随机变量的分布函数。

?ex(A)F(x)= ??1x?0x?0?e?x （B）G(x)= ??1x?0 x?0?0(C)?(x)? ?x?1?ex?0 (D) H(x)= x?0?0??x?1?ex?0 x?06. 设随机变量?~N(1,1),概率密度为?(x)，则（ ）.

（A）P(??0)?P(??0)?0.5 （B）?(x)??(?x), x?(??,??) （C）P(??1)?P(??1)?0.5 （D）F(x)?F(?x), x?(??,??)

三、计算题：

1.掷两颗骰子，用?表示点数之和，求?的概率分布。

2.抛掷一枚硬币，直到出现“正面朝上”为止，求抛掷次数的分布律。 3.已知随机变量?只能取 ?1，0，1，2，相应的概率为求c的值，并计算P(??1)。 4.设?~B(2,p) , ?~B(4,p) ,且P(??1)?1357，，，， 2c4c8c16c5 ， 求 P(??1) 。 95. 某地每年夏季遭受台风袭击的次数服从参数为4的泊松分布， （1）求台风袭击次数小于1的概率；（2）求台风袭击次数大于1的概率。

?0?36. 设连续型随机变量?的分布函数为F(x)=?Ax?1?

5

x?00?x?2x?2

求（1）系数A；（2）P?0???1?，P?1.5???2?，P?2???3?

?kex??17. 设连续型随机变量?的概率密度为f(x)=??4??0x?00?x?2x?2

求（1）系数k；（2）?的分布函 (3)P???1?, P???1?, P?1???2?

?Ax0?x?1?8. 设连续型随机变量?的概率密度为f(x)??2?x1?x?2?0其他?求（1）系数A； (2)?的分布函数F(x) ；

9. 设随机变量?在区间[1，6]上服从均匀分布，求方程x2??x?1?0有实根的概率。 10. 设随机变量?~N(1,0.62)，求：（1）P?（2）P?0.2???1.8? ??0?；11. 已知?~N(2,?2)，且P(1???3)?0.6826 ，求 P(??1?2)。

12. 某种型号的电灯泡使用时间（单位：小时）为一随机变量?，其概率密度为

x?1?5000?f(x)??5000e?0?x?0 x?0求3个这种型号的电灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率。 13. 已知离散型随机变量?的分布律为? -3 -1 0 1 3 5

P 111121 126312992求：（1）?1?2??1的分布律； （2）?2??的分布律。 14. 设?的概率密度为f?(x)???2x0?x?1??求??e的概率密度??(y)。

其他?0x?0，求?的函数??? x?0?e?x 15. 设连续型随机变量?的概率密度为f(x)???0

6

的概率密度??(y)。 四、附加题：

?0??a1.设离散型随机变量?的分布函数为F(x)??2?3?a?a?b?且p(??2)?x??1?1?x?11?x?2x?2 ，

1，求 a, b, 以及?的分布律。 2~N(?,?2)，而且已知P(??0.5)?0.0793，

2.设随机变量?P(??1.5)?0.7611，求 ?与?。

第三章 多维随机变量及其分布

一、 填空题：

1. 设（X,Y）的分布律为

则P?X? Y X 0 1 0 1 0.56 0.24 0.14 0.06 ??11?1?? ,Y??? ，P?X?1?? ，P?X??? 。

22?2???(1?e?2x)(1?e?3y), 2.F(x,y)??0,?x?0,y?0则分布密度函数

其它f(x,y)? . 。

7

??Csin(x?y), 3.已知（X,Y）~f(x,y)???0,?C? 。

4. 设（X,Y）的分布律为

（X,Y） P

0?x,y?其它?4 则

(1,1) (I,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) 1111 ? ? 69183 X与Y独立，则?? ，?? 。

二、选择题：

?1,0?x?1,0?y?1 1. 设随机变量（X,Y）的密度函数为f(x,y)?? 则概率

0,其它?。 P?X?0.5,Y?0.6?为（ ）

A. 0.5 B. 0.3 C.

7 D. 0.4 82. 设随机变量X与Y相互独立，其概率分布为

X 0 1 Y 0 1 P

1212 P 33335 D. P?X?Y??0 9 则下列式子正确的是（ ）。

A. X?Y B. P?X?Y??1 C. P?X?Y??223. 设随机变量X与Y相互独立,且X~N(?1,?1)，Y~N(?2,?2)，则Z?X?Y

仍具正态分布，且有（ ）。

A. Z~N(?1,?1??2) B. Z~N(?1??2,?1?2)

C. Z~N(?1??2,?1?2) D. Z~N(?1??2,?1??2)

4. 设X与Y是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为FX(x)、FY(y)，则

222222 8

Z?max(X,Y)的分布函数为（ ）。

A. FZ(z)?max?FX(z),FY(z)? B. FZ(z)?maxFX(z),FY(z) C. FZ(z)?FX(z)FY(z) D. 都不是

??三、计算题：

1． 设箱内有6个零件，其中一、二、三等品各为1、2、3个，从中任意取出3

件，用X和Y分别表示取出的一等品和二等品数，试求(X,Y)的联合概率及边缘概率分布。

2． 将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现H的次数，以Y表示3次中出现

H的次数，求(X,Y)的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律。

3． 二维随机变量(X,Y)共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1）, (2,-1) ,

(2,0) ,(2,2) , (3,1) , (3,2) , 并且(X,Y)取得它们的概率相同，求(X,Y)的联合分布。

?Ce?(x?y),4．设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)??0,?试求：（1）常数C；（2）P(0?X?1,0?Y?1)

x?0,y?0

其它5． 随机变量(X,Y)的分布密度f(x,y)??求（1）X与Y的边缘分布密度； （2）问X与Y是否独立。 6

．

设

二

维

随

机

变

量

?3x,?0,0?x?1,0?y?x

其它(X,Y)的密度函数为

?21?x?xy,f(x,y)??3?0,?0?x?1,0?y?2其它，（1）求关于X和关于Y的边缘密

度函数，并判断X和Y是否相互独立？（2）求P?X?Y?1?

9

7． 离散型随机变量(X,Y)有如下概率分布： X Y 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 1 0 0.1 0.2 2 0 0 0.1

(1) 求边缘概率分布；

(2) 求Y?2时X的条件分布； (3) 检验随机变量X与Y是否独立。

8． 已知二维随机变量服从D＝(x,y)0?x?y?1上的均匀分布，求

??11??P?0?X?,0?Y??。

22??

9． 设X和Y是两个相互独立的二维随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Yy?1?2?的概率密度为fY(y)??2e,??0,y?0，（1）求X和Y的联合概率密度；（2）

y?0求P?X?Y?1?。

10． 设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为

Y X 1 3 0 0.3 0.1 1 0.2 0.1 2 0.1 K (1) 求常数k；（2）求X＋Y的概率分布；（3）求max?X,Y?的概率分布

四、证明题：

二维随机变量(X,Y)在单位圆上服从均匀分布，证明：随机变量X，Y不相互独立。

五、附加题：

?xe?y,0?x?y???设随机变量 (X,Y)联合密度函数为f(x,y)??

其它?0,

10

求Z?X?Y的密度函数。

第四章 随机变量的数字特征

一、填空题：

1. 设随机变量?~B(n,p) ,且E??0.5，D??0.45，则n= , p= 。

2. 设随机变量?表示10次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为0.4，则E(?)= 。 3. 已知随机变量?的概率密度为?(x)?21?e?x2?2x?1（???x???），则

E(?)? ，D(?)? 。

4. 设随机变量?~U(a,b)，且E(?)?2，D(?)?

5. 设随机变量?,有E??10 ，D??25 ，已知 E(a??b)?0 ，D(a??b)?1 则 a= , b= , 或 a= , b= 。

6. 已知离散型随机变量?服从参数为2的普哇松分布，则随机变量??3??2的数学期望E?? 。

7. 设随机变量?1~U[0,6]，?2~N(0,2)，且?1与?2相互独立，则

21，则a? ，b? 。 3D(?1?2?2)? 。

8. 设随机变量?1,?2,?,?n独立，并且服从同一分布。数学期望为a , 方差为?，

2 11

1n令 ????i ，则 E?? ，D?? 。

ni?19. 已知随机变量?与?的方差分别为D??49 ， D??64 ， 相关系数

????0.8，则D(???)? ，D(???)? 。

10. 若随机变量?的方差为D(?)?0.004，利用切比雪夫不等式知

P???E??0.2?? 。

二、选择题：

1. 设随机变量?的函数为??a??b，（a , b为常数），且E?，D?均存在，则必有（ ）。

A. E??aE? B. D??aD? C. E??aE??b D. D??aD??b

2. 设随机变量?的方差D?存在，则D(a??b)?（ ）（a , b为常数）。

A. aD??b B. a2D? C. a2D??b D. aD?

3. 如果随机变量?~N(?,?2)，且E??3，D??1，则P(?1???1)?（ ）.

A. 2?(1)?1 B.?(2)??(4) C.?(?4)??(?2) D.?(4)??(2)

4. 若随机变量?服从指数分布，且D??0.25，则?的数学期望E??（ ）.

A.

11 B. 2 C. D. 4 24?0,?35. 设随机变量?的分布函数为F(x)??x,?1,?A.

x?00?x?1 ，则E(?)?（ ）. x?14??1???0xdx B.

4?3xdx C. ?xdx??21100xdx D.

???03x2dx

12

6. 设随机变量?的期望E?为一非负值，且E(?22?1)?2 ，D(?2?1)?1，则 2E??（ ）。

A. 0 B. 1 C. 2 D.

8

7． 随机变量?与?相互独立，且D(?)?4，D(?)?2，则

D(3??2??5)?（ ）。

A. 8 B. 16 C. 28 D. 44

8. 如果?与?满足D(???)?D(???)，则必有（ ）。

A. ?与?独立 B. ?与?不相关 C. D??0 D. D??D??0 9. 设随机变量?与?的相关系数为????1，则（ ）。

A. ?与?相互独立 B. ?与?必不相关 C.P??a??b??c?1 D. P??a??b?1

?2???三、计算题：

1. 设随机变量?的分布律为

求E(?)，E(?), E(3??5) ，

22? pk -2 0.4 0 0.3 2 0.3 D(2??1)

2．三枚硬币，用?表示出现正面的个数，试求???的数学期望E(?)。

3. 某公共汽车站每隔10分钟有一辆车经过，某一乘客到达车站的时间是任意的，该乘客的候车时间（单位：分钟）是一个随机变量?，求?的数学期望与标准差。

3 13

?Ax2,4. 设随机变量的密度函数为?(x)???0,求:（1）常数A ; (2) P???x?1，

其它??1??; (3) E(?),D(?) 2?5. 设随机变量?~?(?),且已知E[(??1)(??2)]?1，求?。

6. 设?为一个随机变量。已知E??1 ，D()?1 ，求 E(??1)2 。

?27. 设随机变量?服从指数分布，且方差D??3，写出?的概率密度，并计算

P(1???3)。

8. 已知随机变量?服从参数为1的指数分布，求随机变量望。

9. 设圆的半径?服从[0，1]内的均匀分布，求其面积?的数学期望。

????e?2?的数学期

1??2x?2,0?x?10. 设随机变量?与?的概率密度均为?(x)???，

?其它?0,若E(c??2?)?1? ，求常数c。

11. 设三台仪器出现故障的概率分别为P1，P2，P3，求出现故障的仪器数的数学期望和方差。

12. 掷10颗骰子，假定每颗骰子出现1至6点都是等可能的，求10颗骰子的点数和

的数学期望与方差。 13. 设D??4 ，D??1 ，????0.6 求 D(3??2?) 。

14. 设二维随机变量（?,?）的联合概率分布为 ? ? 0 1

25 3651

360 5 361 36?,?)；求：（1）E(?)，E(?)；（2）E(??) ；（3）cov(（4）???。

14

?10?x?20?y?2?(x?y)5. 设随机变量(?,?)的密度为?(x,y)??8 ， ，

其他?0??,?)。 求E?，E?，cov(四、证明题：

设随机变量(?,?)的联合分布律为

? ? -1 0 1

-1 1/8 1/8 1/8

0 1/8 0 1/8

1 1/8 1/8 1/8

试证?与?既不相关也不独立。

五、附加题：

x?1?cos,0?x??1. 设随机变量?的概率密度为?(x)??2 ，对?独立地重复观2?其它?0,察4次，用?表示观察值大于

?的次数，求?2的数学期望。 32. 设二维随机变量（?,?）在区域D:0?x?1，y?x内服从均匀分布，求关于?的边缘概率密度函数及随机变量??2??1的方差D(?)。

3. 设A , B 是两个随机事件，随机变量????1,若A出现，

?1，若A不出现?????1,若B出现，试证?与?不相关的充要条件是事件A , B 相互独立。

?1，若B不出现? 15

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