大学线性代数第五版课后习题答案

线性代数习题册答案

第一章 行列式 练习 一

班级 学号 姓名

1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;

（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n（n-1）.

2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .

3．在四阶行列式中，项a12a23a34a41的符号为 负 .

0034．042= －24 . 215

5．计算下列行列式：

?1（1）2222 或

?1?2= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 ?2?1??（2）11??111= －?3＋1＋1－（－?）－（－?）―（－?） ??= －?＋3?+2=(2??)(??1)

312

1

练习 二

班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det(aij)=1，则行列式det(?aij)= －1 . (?1)3?1??1

112． 214= 2 .

491610123

?11033．已知D=,则A41?A42?A43?A44= —1 .

1110?1254用1，1，1，1替换第4行

4． 计算下列行列式：

1?a(1)

b1?bbcc 1?c10?1100?1?1?1aa= r1?r3,r2?r30

1?1c3?c101ab1?cx(2)

ab1?cb1?c?1?a?b?c

yx?yxx?yxy

yx?y

2

21?511?30?6(3)

02?1214?76

1(4)

2140?121

10130131

5．计算下列n阶行列式：

(1)Dn?xaaxaaaax （每行都加到第一行，并提公因式。）

3

(2)

21131111n?1

a1?b(3)

a2a3ananan?b

a1a1a2?ba3a2a3

4

练习 三

班级 学号 姓名

??x1?x2?x3?1?1．设线性方程组?x1??x2?x3?1有惟一解，则?满足的条件是什么？

??x?x??x?13?12

???1,??0,??1

?x1?x2?x3?x4?5?x?2x?x?4x??2?12342. 求解线性方程组?

?2x1?3x2?x3?5x4??2??3x1?x2?2x3?11x4?0

5

??x1?x2?x3?0?3.已知齐次线性方程组??x1??x2?x3?0有非零解，求?的值。

??x?x??x?03?12

???1,??0,??1

4.求三次多项式f(x)?a3x3?a2x2?a1x?a0，使得：

f(?2)?3,f(?1)?4,f(1)?6,f(2)?19。

6

自测题

1. n阶行列式D=det(aij)，则展开式中项a12a23a34

2.已知3阶行列式det(aij)=

an?1,nan1的符号为(?1)n?1.

131，则行列式det(?2aij)=(?2)???4.

2211111?22x?0的根为 1,2，-2 . 3.方程

144x21?88x3

??x?y?z?0?4. 已知齐次线性方程组??x?3y?z?0仅有零解，则?的值应为??0,??1.

??y??z?0???0

13?11?1?2?(??1)?0,

?2x15.设D?31xx21121?13，则D的展开式中x的系数为 -1 .

x11x

7

6. 计算下列行列式：

1（1）

?322?3409

2?2623?383

122222（2）Dn?223222222 n

8

第二章 矩阵及其运算

练习 一

班级 学号 姓名

?111??123?????T1.设A??11?1?,B???1?24?,求3AB?2A及AB。

?1?11??051?????

2.设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。 由题意，得：AT?A,BT?B.

3. 矩阵A和B满足什么条件时，(A?B)?A?2AB?B恒成立？

222

恒成立的条件是：AB=BA.

??1???1004.设A??123?,B??1?,求AB，BA及(BA)。

?0???

(BA)100??1?2?3????BA??123?

?000???9

5.设A???10?23，求A,A,??21?,Ak。

10

练习 二

班级 学号 姓名 1.求下列矩阵的逆矩阵： （1）??12?? ?25?

?12?3???（2）?012?

?001???

11

2.设方阵A满足A?A?2E?0，证明A及A?2E都可逆，并求A及(A?2E)?1。

2?1

?100????3.已知A??0?20?，ABA?2BA?8E，求B。

?001???

12

4. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明：

??（1）若A?0，则A?0； （2）A?A?

n?1。

??1?4???10?115. 设PAP??,其中P???,????,求A。

?11??02??1

13

练习 三

班级 学号 姓名

?34?4?31.设A???00??0000220??0?84，求A及A。 0??2?

2.求下列逆矩阵：

?1?（1）?0?0??0230000230??0? 0??4??1

?OA?（2）??，其中n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆。

?BO??1

14

自测题

一．填空题：

4??12??01?20072008?31．若A???,P???,那么PAP=??.

341012??????

22ATB-1）2．A、B为三阶矩阵，A??1则（= 8 . ，B?2，

?a2?3a?5?0?a0?3．已知（则=f(A)fx）=x?3x?5,A??,??. ?20b?3b?5???0b?2

2224．若A、B、C均为n阶矩阵，且AB?BC?CA?E，则A?B?C= 3E .

?1?11?T5．?是三维列向量，??T???11?1?，则??= 3 .

???1?11???

?T??a2?b2?c2?3

?1?52?二．用初等变换法求A???211?3?的逆矩阵.

???1?51???

?457???A?1??111?

?10?1???

15

练习 四

班级 学号 姓名

x1?x2?3x4?x5?0??x1?x2?2x3?x4?x5?0?1．求齐次线性方程组?的基础解系。

4x?2x?6x?5x?x?012345???2x1?4x2?2x3?4x4?16x5?0

?x1?3x2?3x3?2x4?x5?3?2x?6x?x?3x?2?12342．求非齐次线性方程组?的通解。

?x1?3x2?2x3?x4?x5??1??3x1?9x2?4x3?5x4?x5?5 31

3．已知?1,?2,?3是四元非齐次线性方程组Ax?b的解，R(A)?2，且

?1??1??2???????201???????1??2?,?2??3?,?3??1?,求该方程组的通解。 ?0???1??2???????12?????3?

4．设?是齐次线性方程组Ax?b的一个解，?1,?2,个基础解系，证明：（1）??,?1,?2,线行无关。

?,?n?r是对应的齐次线性方程组的一

（2）??,????1,????2,,?n?r线行无关；,????n?r 32

练习 五

班级 学号 姓名 1．试判定集合V?(x1,x2,?,xn)x1?x2??xn??1,xi?R?是否构成向量空间？

2．求向量空间R的基?1??1,2,?1,0?,?2??1,?1,1,1?,?3???1,2,1,1?,?4???1,?1,0,1?4到基?1??2,1,0,1,2??0,1,2,?4,?????2?,3???2,1,1,?2

33

1,3,1,2?的过渡矩阵和向量的

坐标变换公式。

自测题

一、选择题：

1．设向量组（1）：?1,?：?1,?2等价，则（ A ）。 ?与向量组（2）2,3（A）向量组（1）线性相关； （B）向量组（2）线性无关； （C）向量组（1）线性无关； （D）向量组（2）线性相关。 2．设n维向量组?1,?2,。 ,?m线性无关，则（ B ）

（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关； （B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关；

（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关； （D）向量组中每个向量都任意增加一个分量后仍线性无关。 3．设三阶行列式D?aij?0，则（ A ）。

（A）D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合； （B）D中每一行向量都是其余行向量的线性组合；

（C）D中至少有两行向量线性相关； （D）D中每一行向量都线性相关。 4．设A:?1,?2,。 ,?4是一组n维向量，且?1,?2,?3线性相关，则（ D ）

（A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩小于等于3。 5．设?不能由非零向量?1,?2,（A）?1,?2,

。 ,?s线性表示，则（ D ）

,?s线性相关； （B）?1,?2,34

,?s,?线性相关；

（C）?与某个?i线性相关； （D）?与任一?i都线性无关。 二、填空题：

1．设n维向量?1,?2,?3线性相关，则向量组?1??2,?2??3,?3??1的秩r= 0，1，2 。 2． 向量组?,?,?线性相关的充分必要条件为 秩<3 。

3．设?1,?2线性无关，而?1,?2,?3线性相关，则向量组?1,2?2,3?3的极大无关组为 ?1,?2 。

4．已知?1??1,3,2,4?,?2??2,6,k,8?线性相关，则k= 4 。

5． 已知向量组?,?,?线性相关，而向量组?,?,?线性无关，则向量组?,?,?的秩为 2 。

??1??1??2??3?三、已知??2??1??2?2?3，证明?1,?2,?3与?1,?2,?3等价。

?????2??3?123?3

?a???2???1??1?????????四、设有向量组A:?1??2?,?2??1?,?2??1?，又向量???b?，试问当a,b,c满

?10??5??4??c?????????足什么条件时，则：

（1）?可由?1,?2,?3线性表示，且表示式唯一； （2）?不能由?1,?2,?3线性表示；

（3）?可由?1,?2,?3线性表示，但不唯一，并求一般表达式。

35

（1）

（2）

（3）

五、已知?1,?2,,?s及?都是n维向量，且???1??2???s，证明向量组

???1,???2,,???s线性无关的充分必要条件是向量组?1,?2,,?s线性无关。

六、设n维向量组（1）：?1,?2,（2）?1,?2,,?s的秩为r1；

（3）,?s的秩为r2；

?1??1,?2??2,,?s??s的秩为r3。证明：r1?r2?r3。

36

?(2??1)x1??x2?(??1)x3???1?七、?取何值时，线性方程组?(??2)x1?(??1)x2?(??2)x3??有惟一解、无解、无

?(2??1)x?(??1)x?(2??1)x??123?穷多解？在有无穷多解时求通解。

八、已知a1,a2,a3为三维向量空间R的一个基，设

3

b1?2a1?3a2?3a3,b2?2a1?a2?2a3,b3?a1?5a2?3a3,

37

（1）证明：b1,b2,b3也是R的一个基；

3

（2）求由基b1,b2,b3到a1,a2,a3的过渡矩阵；

（3）若向量?在基a1,a2,a3下的坐标为?1,?2,0?，求?在基b1,b2,b3下的坐标。

T

第五章 相似矩阵及二次型

练习 一

班级 学号 姓名

练习 二

班级 学号 姓名

38

39

练习 三

班级 学号 姓名

练习 四

班级 学号 姓名

练习 五

班级 学号 姓名

40

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