高等代数教案

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第六章 向量空间

引言

从本章开始转向线性代数的主体—向量空间和线性映射，它们是数学中基本又重要的概念，其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域．本章学习向量空间的基本概念和有限维向量空间的结构．

6.1 向量空间的概念

教学目的 通过教学，使学生理解向量空间的定义及子空间的概念，掌握向量空间的基本表述．

教学重点 向量空间及其子空间的定义． 教学难点 对6.1定义1的理解． 教学内容

第三章学习的n维列(行)向量张成的向量空间的基本事实有其一般性，将它们抽象，就是我们现在要学习的向量空间．

6.1.1 定义公理·例子

定义1 设F是一个数域，F中的元素用小写拉丁字母a，b，c，?表示；V是一个非空集合，V中的元素用小写希腊字母?，β，γ,?表示．如果下列条件成立：

1°在V中定义了一个加法．对于??，β?V，V中有一个唯一确定的元素与它们对应，叫做?与β的和，记作?+β．

2°有一个“纯量乘法”．对于F中每一个数k与V中每一个元素?，有V中唯一确定的元素与它们对应，叫做k与?的积，记作k?．

3°上述加法和纯量乘法满足下列算律： 1)? +β=β+?；

2)(? +β)+γ=? +(β+γ)；

3)在V中存在一个元素，记作?，它具有以下性质：对于??∈V，都有? +? =?；

~，使得?~+?=?； 4)对于??∈V，在V中存在一个元素?5)k(? +β)=k? +kβ； 6)(k+l)? =k? +l?； 7)(kl)? =k(l?)； 8)1? =?．

这里??，β，γ∈V，?k，l∈F．

那么称V是F上的一个向量空间，其中V中的元素叫做向量，F中的元素叫做纯量．

例1 在解析几何中，平面或空间中从一个定点出发的一切向量的集合关于向量

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的加法和实数与向量的乘法都作成实数域上的向量空间．前者用V2表示，后者用V3表示．

例2 数域F上所有m3n矩阵所成的集合Fm?n关于矩阵的加法和数与矩阵的乘法也作成F上的一个向量空间，叫做m×n全矩阵空间．

特别地，F上所有13n矩阵所成的集合和所有n31矩阵所成的集合分别作成F上向量空间，前者称为F上n维行空间，后者称为F上n维列空间．我们用同一个符号Fn来表示这两个向量空间(具体使用时请注意区分)．

例3 复数域C可以看成实数域R上的向量空间．

类似地，Q、R可分别看作Q上的向量空间，又任意数域F总可以看成它自身上的向量空间．

例4 数域F上所有一元多项式的集合F[x]关于多项式的加法和数与多项式的乘法作成F上的一个向量空间．

进而，n元多项式的集合F[x1，x2，?，xn]关于多项式的加法和数与多项式的乘法也作成F上的一个向量空间．

例5 由于F[x1，?，xn]中两个m次齐次多项式的和是m次齐次多项式或零多项式，F中元素与m次齐次多项式的乘积是m次齐次多项式或零多项式．因此，F[x1，?，xn]中所有m次齐次多项式添上零多次式组成的集合构成数域F上的一个向量空间(易见8条公理均成立)．

例6 由于F[x1，?，xn]中两个对称多项式的和仍是对称多项式，F中元素与对称多项式的乘积仍是对称多项式．因此F[x1，?，xn]中所有对称多项式组成的集合构成数域F上的一个向量空间．

例7 设X是任意一集合，F是任一数域，从X至F的每一个映射f叫做X上的一个(F值)函数．我们把X上的所有(F值)函数组成的集合记作FX．对于f，g∈FX，k∈F，在FX中规定：

(f+g)(x)=f(x)+g(x),? x∈X， (1) (kf)(x)=k(f(x)), ?x∈X． (2)

容易验证条件3°的1)－8)成立．因此FX是数域F上的一个向量空间，其中(1)式称为函数的加法，(2)式称为F的元素与函数的纯量乘法，FX的零元素是零函数0，即0(x)=0，?x∈X．

例8 设X是实数域R的任一子集．由例7，X上的所有(实值)函数组成的集合RX按照函数的加法以及实数与函数的纯量乘法，构成实数域R上的一个向量空间．

例9 设[a,b]是实数轴上的一个闭区间，[a,b]上的连续函数全体记作C[a,b]．从数学分析课程知道，[a,b]上的两个连续函数的和仍是连续函数，实数k与连续函数f的纯量乘积kf也是连续函数．因此，C[a,b]是实数域上的一个向量空间．

例10 类似于例9，区间[a,b]上所有n次可微函数(1阶，2阶，?，n阶导数存在的函数)组成的集合是实数域上的一个向量空间，记作C(n)[a,b]．

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例11 考虑收敛于0的实无穷序列．设{an}，{bn}是两个这样 的序列．则lim?an?bn??liman?limbn?0．设k是任意实数，则

n??n??n??n??limkan?kliman?0．容易验证，条件3°的1)－8)成立．因此，

n??所有收敛于0的实序列关于如上定义的加法和数与序列的乘法作成实数域R上的一个向量空间．

向量空间的例子是大量的，仅从上述例子足可看出，向量空间的内涵极其深刻． 注 1)可以证明，定义1中3°的算律8)不能由1)－7)推出．请同学们思考． 2)定义1中的数域F可以一般化为域F．但这依赖于抽象代数的知识． 6.1.2 简单性质

从定义出发我们来推导向量空间的一些简单性质．

由于向量的加法满足结合律(3°之2)),可以推出,任意n个向量α1,α2,?,αn相加有完全确定的意义．我们按通常的习惯把这唯一确定的和记作

?1??2????n???i．

i?1n再者，又由于加法满足交换律(3°之1))，因而在求任意n个向量的和时可以任意交换被加项的次序．

~叫做?的负向量．由此定义，可以推定义1中3°之3)的? 叫做零向量，4)的?出

命题6.1.1 在一个向量空间V中，零向量是唯一的；对于V中的每一向量?，?的负向量由α唯一确定．

~证 先证零向量的唯一性．设? 和?都是V的零向量，则??∈V都有? +?=?，~? +? =?．于是

~~? =? +?=?．

~和?都是? 的负向量．则?~+?=? ，? +?=?．于是 又设?~??~????~?(???)?(?~??)????????． ??

我们把向量?的唯一的负向量记作－?．这样，对于任意向量?，都有 ?+(－?)=(－?)+?=θ．

向量?+(－β)叫做?与β的差，记作?－β．于是，在一个向量空间中，加法的逆运算——减法可以实施，并且有

? +β=γ?? =γ－β． (3)

这就是说，在一个向量空间里，通常的移项变号法则成立．

下面来看纯量乘法，我们有 命题6.1.2 设???V，k?F，则

0? =? ，k? =?． (4) k(－?)=(－k)? =－k?． (5)

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k? =? ?k=0或? =?． (6)

证 先证(4)．0? =0? +? =0? +(0?－0α)=(0? +0?)－0?

=(0+0)?－0? = 0?－0? =?．

同理可证k? =?．所以(4)成立．

由(4)有

k? +k(－?)=k(? +(－?))=k? =?

这就是说，k(－?)是k?的负向量．所以k(－?)=－k?．同理可证(－k) ? =－k?．这就证明了(5)成立．

最后，设k? =? 但k?0，则

11?1???1???k????k??????．

kk?k?所以(6)成立． ?

6.1.3 子空间

设V是数域F上的一个向量空间，?≠W?V,??,??W,则? +β∈V．一般说来．?

+β不一定在W内．若? +β∈W，则称W关于V的加法是封闭的．同样，若??∈W，k∈F，都有k?∈W，则称W关于纯量与向量的乘法是封闭的．

定理6.1.1 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集．若W关于V的加法以及纯量与向量的乘法是封闭的，则W作成F上的一个向量空间．

证 W关于V的加法以及纯量与向量的乘法的封闭性保证了向量空间定义里的条件1°，2°成立．3°中的算律1)，2)和算律5)— 8)既然对于V中任意向量都成立，自然对于W的向量也成立．唯一需要验证的是3°中条件3)和4）．由W关于纯量与向量的乘法的封闭性和命题6.1.2，??∈W，θ=0?∈W，所以θ∈W，它自然也是W的零向量，并且－?＝(－1) ?∈W．因此，条件3)，4)也成立． ?

定义2 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集．若W关于V的加法以及纯量与向量的乘法来说是封闭的，则称W是V的一个子空间．

由定理6.1.1，V的一个子空间也是F上的一个向量空间，并且一定含有V的零向量．

例12 向量空间V总是它自身的一个子空间．另一方面，单独一个零向量所成的集合{θ} 显然关于V的加法和纯量与向量的乘法是封闭的，因而也是V的一个子空间，称为零子空间，记作0．

一个向量空间V本身和零子空间叫做V的平凡子空间，V的非平凡子空间叫做V的真子空间．

例13 在空间V2里，从原点出发的在一条固定直线上的所有向量的集合作成V2

的一个子空间．在空间V3里，从原点出发的在一条固定直线上或一张固定平面上的所有向量的集合分别作成V3的子空间．

例14 在Fn中，W???a1,a2,?,an?1,0?|a1,?,an?1?F?是Fn的一个子空间． 例15 F[x]中次数小于一个给定的自然数n的多项式全体连同零多项式一起作成F[x]的一个子空间，记作F[x]n．

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例16 闭区间[a,b]上一切可微函数的集合作成C[a,b]的一个子空间． 定理6.1.2 数域F上向量空间V的一个非空子集W是V的一个子空间，必要且只要?k，r∈F和??，β∈W，都有k? +rβ∈W．

证 若W是子空间，则由于W关于纯量与向量的乘法是封闭的知道，?k，r∈F，?，β∈W，都有k?，rβ∈W．又因为W关于V的加法是封闭的，所以k? +rβ∈W．

反过来，若?k，r∈F，?，β∈W，都有k? +rβ∈W，取k=r=1，就有? +β∈W；取r=0，就有k?∈W．这就证明了W关于V的加法以及纯量乘法的封闭性． ?．

教学小结：

课外作业：

P264~265：1.1)；2、1)、2)；3；4． 思考题：

P264~265：1.2)~4)；5．

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6.2 向量的线性相关性 教学目的 通过2学时的导学，使学生理解、掌握向量线性相关性的基本概念与替换定理，提高其数学学习的自学能力． 教学重点 线性相关、无关及极大线性无关组的概念． 教学难点 替换定理及部分线性无关性习题的证明． 教学内容 在向量空间中，向量的线性相关性极为重要，本节对之作些阐述，请同学们结合第三章§2自学． 以下谈到向量空间V，都指V是某一给定数域F上的向量空间． 6.2.1 基本概念 定义1 设α1，α2，?，αr ∈V，k1，k2，?，kr∈F．我们把β=k1α1+k2α2+?+krαr叫做向量α1，α2，?，αr 的一个线性组合，也称β可以由α1，α2，?，αr 线性表示． 同学们可以举出Fn中线性表示的许多例子．显然，在V中，零向量可以由任意一组向量α1，α2，?，αr 线性表示．考虑这样表示的分类，我们引入 定义2 设α1，α2，?，αt∈V．若存在F上的不全为零的数k1，k2，?，kt，使得 k1?1?k2?2???kt?t??， (1) 则称向量组{α1，α2，?，αt}线性相关；否则，即等式(1)仅当k1=k2=?=kt=0时才成立，则称向量组{α1，α2，?，αt}线性无关． 根据这个定义，若向量α1，α2，?，αt 中有一个是零向量，则{α1，α2，?，αt}线性相关． 单独一个非零向量α线性无关，因为由kα=? 而α≠?，必有k =0． Fn中向量线性相关性的例子，请同学们复习第三章§2及其习题． 例5 在向量空间F[x]中，对于任意非负整数n，向量组 1，x，?，xn 线性无关，因为由a0+a1x+?+anxn=0必然有a0=a1=?=an=0． 由定义容易直接推导出以下一些简单事实． 命题6.2.1 向量组{α1，α2，?，αt }中每一个向量αi都可以由这一组向量线性表示． ? 命题6.2.2 若向量组{α1，α2，?，αt }线性无关，则它的任意一个非空部分组也线性无关．其等价的提法是：若向量组{α1,α2,?,αt}有一部分向量组线性相关，则整个向量组{α1，α2，?，αt}也线性相关． ? 命题6.2.3 若向量?可以由β1，β2，?，βt 线性表示，而每一个βi又都可以高等代数 第7页

由α1，α2，?，αs线性表示，则? 可以由α1，α2，?，αs线性表示． 证 由???bi?i和?i??aij?j,i?1,?,t，得 i?1j?1ts?t? ???bi?aij?j????biaij??j． ?i?1j?1j?1?i?1?命题6.2.4 设向量组{α1，α2，?，αr }线性无关，而{α1，α2，?，αr，β}线性相关．则β一定可由α1，α2，?，αr线性表示． 证 因为α1，α2，?，αr，β线性相关，所以存在不全为零的数k1，k2，?，kr，k，使得 k1α1+k2α2+?+krαr +kβ=θ． tss假如k=0，则上面的等式变成 k1α1+k2α2+?+krαr =θ， 并且k1，k2，?，kr 中至少有一个不等于零，与α1，α2，?，αr线性无关的假设矛盾．因此k≠0，从而 ???k1kk ?1?2?2???r?r． ?kkk注 进而可证上面命题6.2.4中的?可唯一地由α1，α2，?，αr线性表示． 下面的定理说明线性相关与线性组合这两个概念之间的密切关系． 定理6.2.1 向量α1，α2，?，αr (r≥2)线性相关，必要且只要其中一个向量是其余向量的线性组合． 证 设α1，α2，?，αr线性相关，则存在不全为0的k1，k2，?，kr∈F，使得 k1α1+k2α2+?+krαr =θ， 不妨设kr≠0，则 ?r??k1kk?1?2a2???r?1?r?1． krkrkr因此，αr 可由α1，α2，?，αr?1线性表示． 反过来，设α1，α2，?，αr中某一向量，例如αr，是其余向量的线性组合： αr =k1α1+k2α2 +?+kr ?1αr?1， 则 k1α1+k2α2+?+kr?1αr?1+(－1)αr =θ． 因为αr 的系数不等于零，所以α1，α2，?，αr线性相关． ?

定义3 设{α1，α2，?，αr}和{β1，β2，?，βs }是向量空间V的两个向量组．若每一个αi可由β1，β2，?，βs线性表示，而每一个βj也可由α1，α2，?，αr 线性表示，则称这两个向量组等价． 例5 向量组 α1=(1,2,3), α2=(1,0,2) 高等代数 第8页

与向量组 β1=(3,4,8),β2=(2,2,5),β3=(0,2,1) 等价．其解法已在第三章阐述，请同学们自己思考完成． 由命题6.2.3，向量组等价的概念显然具有传递性：若{α1，α2，?，αr }与{β1，β2，?，βs }等价，而后者又与{γ1，γ2，?，γt } 等价，则{α1，α2，?，αr }与{γ1，γ2，?，γt }等价． 6.2.2 替换定理 定理6.2.2(替换定理) 设向量组 {α1，α2，?，αr } (2) 线性无关，并且每一个αi都可以由向量组 {β1，β2，?，βs } (3) 线性表示,则r ≤s；并且必要时对(3)中向量重新编号，使得用α1,α2,?，αr替换β1，β2，?，βr后，所得的向量组 {α1，α2，?，αr，β与(3)等价． r+1，?，βs } (4) 证 对(2)中向量个数r用数学归纳法证明． 当r=1时，{α1}线性无关，所以α1≠?，且1≤s ，α1可以由(3)线性表示： α1=b1β1+?+b sβs． 因为α1≠θ，所以至少有一bi≠0，不妨设b1≠0，于是 bb1?1??1?2?2???s?s． b1b1b1α1可以由{β1，β2，?，βr }线性表示，β1可以由{α1，β2，?，βs }线性表示．所以易见向量组{α1，β2，?，βs }与(3)等价． 假设r＞1，并且定理对于(2)中含有r－1个向量的情形已经成立，那么对于(2)中含有r个向量的情形．由于α1，α2，?，αr 线性无关，所以由命题6.2.2，α1，α2，?，αr?1也线性无关．于是由归纳假设，r－1≤s，并且可以认为，用α1，α2，?，αr?1替换(3)中前r－1个向量，得到一个与(3)等价的向量组 {α1，α2，?，αr?1，βr，βr+1，?，βs}． (5) 由于αr 可以由(3)线性表示，所以由命题6.2.3，它也可以由与(3)等价的向量组(5)线性表示．因此有 ?r??ki?i??bj?j． (6) i?1j?rr?1s若所有的bj 都等于零，则(6)式变为?r?r?1i?1?ki?i，因而αr可以由 α1，α2，?，αr-1 线性表示．由定理6.2.1，这与向量组(2)线性无关的假设矛盾．因高等代数 第9页

此至少有一个bj ≠0．这就证明了r－1

据此，称向量组{α1，α2，?，αm }的一个极大线性无关组所含向量的个数为该向量组的秩，记作rank{α1，α2，?，αm }． 6.2.3 C(n?1)[a,b]中向量的线性相关性 设f1(x)，f2(x)，?，fn(x)∈C(n-1)[a，b]，下面n阶行列式 f1(x)f1?(x)?f1?n?1?(x)f2(x)f2?(x)?f2?n?1?(x)????fn(x)fn?(x) ?fn?n?1?(x)叫做函数f1(x)，f2(x)，?，fn(x)的Wronsky(朗斯基)行列式，记作W(x)，或者W( f1，f2，?，fn)． 命题6.2.5 设f1(x)，f2(x)，?，fn(x)∈C(n?1)[a，b]．若Wronsky行列式W(x)在某一点x0∈[a，b]处的函数值W(x0)≠0，则函数组f1(x)，f2(x)，?，fn(x)线性无关． 证 设 k1f1(x)?k2f2(x)???knfn(x)?0 (7) 这里右端的0是零函数，因此(7)式对?x∈[a，b]都成立．对(7)两边分别求1阶，2 阶，?，n－1阶导数，得到 ?k1f1??x??k2f2??x???knfn??x??0?． (8) ???????????n?1??n?1??n?1???k1f1?x??k2f2?x????knfn?x??0在(7)、(8)中，考虑各个函数在x0处的函数值，则得 ?k1f1?x0??k2f2?x0????knfn?x0??0??k1f1??x0??k2f2??x0????knfn??x0??0． (9) ?????????????n?1??n?1??n?1???k1f1?x0??k2fn?x0????knfn?x2??0已知W(x0)≠0，因此以W(x0)所相应的矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解．从而由(9)得到k1=k2=?=kn=0．故f1(x)，f2(x)，?，fn(x)线性无关． ? 给了实数域上的向量空间R[a,b]中的函数组f1(x)，?，fn(x)，若它们是n－1次可微的，则可以先观察它们的Wronsky行列式W(x)是否在某点x0∈[a，b]处W(x0)≠0．若是，则f1(x)，?，fn(x)线性无关．若?x∈[a，b]，都有W(x)=0，则需要用定义2去判断它们是否线性无关(见下面的例5)．此外，若W(x)不易计算，则可以用定义2去判断． 例5 判断实数域上的向量空间RR中的函excosx,sinx是否线性无关． excosxsinxW?x??x． xecosx?esinxcosx解 excosx,sinx的Wronsky行列式是

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在x=0处，W?0??10?1?0．因此excosx,sinx线性无关． 11例5 判断实数域上向量空间RR中的函数组x2, x|x|是否线性无关． 解 假设k1x2+k2 x|x|=0．令x=1，得k1+k2=0．令x= －1，得k1－k2=0．因此，k1=k2=0．这表明x2, x|x|线性无关． 例5中的函数f2(x)= x|x|在(－∞，∞)上有一阶导数，因此x2, x|x| 有Wronsky行列式 x2xxW?x???0， ?x????，??． 2x2x由此可见，命题6.2.5只给出了n－1次可微函数组f1(x)，?，fn(x)线性无关的一个充分条件，它不是必要条件． 教学小结： 课外作业：

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6.3 基、维数与坐标 教学目的 通过2学时的教学，使学生理解向量空间的基、维数、坐标等基本概念，基本掌握基、维数的刻画定理及基与坐标的求解． 教学重点 向量空间的基、维数和坐标的刻画及其求解． 教学难点 向量线性无关性概念、定理对基、维数刻画的活用． 教学内容 高等代数中所说的向量空间，主要是有限维空间，这一节就来讨论这类向量空间结构的基本问题． 6.3.1 基和维数 设V是数域F上一个向量空间,α1，α2，?，αn∈V．令L(α1, ?n??，kn?F?，则L(α1，α2，?， α2，?，αn)=??ki?ik1，k2，?i?1?αn)是V的一个子空间，叫做由α1,α2,?,αn生成的子空间，其中向量α1，α2，?,αn叫做这个子空间的一组生成元． 例1 在F[x]中，由多项式1，x，?，xn-1所生成的子空间为 L(1，x，?，xn-1)={a0+a1x+?+an-1xn-1| ai∈F}， 就是F上一切次数小于n的多项式连同零多项式所成的子空间F[x]n． 设?i，?i，由命题6.2.3，子?，?ir是向量组{α1,α2,?,αn}的一个极大无关组．12空间L(α1，α2，?，αn)的每一个向量都可以由?i1，?i2，?，?ir线性表示．另一方面?i1，?i2，?，?ir的任意一个线性组合自然是L(α1，α2,?,αn)中的向量．因此我们有 命题6.3.1 设{α1，α2，?，αn}是向量空间V的一组不全为零的向量，而{?i1,?i2,?,?ir}是它的一个极大无关组．则 L(α1，α2，?，αn)=L(?i1,?i2,?,?ir)． ? 根据这个命题，若子空间L(α1，α2，?，αn)不等于零空间，则它总可以由一组线性无关的生成元生成． 一个向量空间V本身也可能由其中某n个向量生成，因此引入以下的 定义1 设{α1，α2，?，αn}是数域F上向量空间V的向量组，满足以下条件： 1)α1，α2，?，αn线性无关； 2)V中每一个向量都可以由α1，α2，?，αn线性表示， 则称{α1，α2，?，αn }是V的一个基． 例2 在空间V2里，由原点出发的任意两个不共线的向量α1，α2都构成一个基；在V3里，由原点出发的任意三个不共面的向量β1，β2，β3都构成一个基． 高等代数 第13页

例3 在数域F上的m×n矩阵空间Fm×n里，?A=(aij)mn∈Fm×n，都可以表成 A=??aijEij； i?1j?1mn且若??aijEij?0，即(aij)mn是零矩阵，则aij=0，i=1，?，m，j=1，?， i?1j?1mnn．因此,{Eiji?1，?，m；j?1，?，n}是Fm×n的一个基． 数域F上的一个向量空间若有基，当然不只有一个基．然而根据基的定义，一个向量空间的任意两个基是彼此等价的．于是由推论6.2.1，一个向量空间的任意两个基所含向量的个数是相等的．因此引入 定义2 一个向量空间V的一个基所含向量的个数叫做V的维数，记作dimV． 零空间的维数定义为0． 这样，空间V2的维数是2，V3的维数是3；Fn的维数是n；向量空间Fm×n的维数是mn． 例4 求数域F上所有n阶反对称矩阵组成的向量空间V的一个基及其维数． 解 任一n阶反对称矩阵A具有形式 a12?a1n??0???a0?a122n?． A???????????a1n?a2n?0?因此 A?a12?E12?E21??a13?E13?E31??? ?a1n?E1n?En1????an?1n?En?1n?Enn?1?． ① 由于 ?Eij?Eji???Eji?Eij???Eij?Eji?， ?，En?1n?Enn?1都是反对称矩阵．假设 所以E12?E21，E13?E31，k12?E12?E21??k13?E13?E31????kn?1n?En?1n?Enn?1??0，② ，?，n}是由于{Eiji?1,?,n；j?1Mn(F)的一个基，所以E12，E21，E13，E31，?，En?1n，Enn?1线性无关，从而由②可推出k12? ?En?1n?Enn?1?线性无关．又由①便可得出，k13???kn?1n?0．故?E12?E21?，?，E12?E21，?，En?1n?Enn?1是V的一个基，且 dimV??n?1???n?2????1?n?n?1?． 2若一个向量空间不能由有限个向量生成，则它自然也不能由有限个线性无关的向量生成．对这一情形，就说这个向量空间是无限维的． 例5 F[x]作为F上向量空间是无限维的． 事实上，假设F[x]由有限个多项式f1(x)，f2(x)，?，ft(x)生成．自然可以设这些高等代数 第14页

多项式都不为零．令n是这t个多项式的次数中最大的，则F[x]中次数大于n的多项式不可能由这t个多项式线性表示．这就导致矛盾，故F[x]是无限维的． 由此易见§1中向量空间C[a，b]也是无限维的． 命题6.3.2 在n维向量空间V中，任意n个线性无关的向量都是V的一个基． 证 设α1，?αn是V中n个线性无关的向量．任取γ∈V，只要证γ可由α1，?αn线性表示，则α1，?αn便是V的一个基．因为dimV=n，所以V有一个基?1，?2，?，?n．于是向量组α1,?αn，γ可由β1，?βn线性表出．因为n+1>n,所以由定理6.2.2推得，α1，?αn，γ线性相关．由于α1，?，αn线性无关，所以由命题6.2.4知道，γ可由α1，?αn线性表示． ? 由命题6.3.2的证明易见 命题6.3.3 n维向量空间中个数多于n的任意向量组一定线性相关． ? 定理6.3.1 在n维向量空间V中，任意一个线性无关的向量组{α1，?，αr}都可以扩充成V的一个基． 证 若r=n，则α1，?αn是V的一个基．下设r

例6 取定V3中三个不共面的向量α1，α2，α3．则V3的每一向量?可以唯一地表成 ??x1?1?x2?2?x3?3 的形式．向量?在基{α1，α2，α3}下的坐标就是(x1，x2，x3)． 例7 Fn的向量α=(a1,a2,?,an)在标准单位基?e1,e2,?,en?下的坐标就是(a1,a2,?,an)． ?，?n}下的坐标分别是(x1，设n维向量空间V的向量?，β在基{?1，?2，x2，?，xn)和(y1，y 2，?，yn)： ??x1?1?x2?2???xn?n， ??y1?1?y2?2???yn?n． 则 ?????x1?y1??1??x2?y2??????xn?yn??n． 若k∈F，则 k???kx1??1??kx2??2????kxn??n． 于是得到． {?1,?2,?,?n}是V的一个基．定理6.3.3 设V是数域F上一个n维向量空间，若?，β∈V，它们在基{?1,?2,?,?n}下的坐标分别是(x1,x2,?,xn)和(y1,y2,?,yn)，则?+β在这个基下的坐标就是(x1+y1，x2+y2，?，xn+yn)；又若k∈F．则k?在这个基下的坐标就是(kx1,kx2,?,kxn)． ? 6.3.3 子空间的维数 由定理6.2.2和定理6.3.1得到 命题6.3.4 设V是F上n维向量空间，W是V的一个子空间，则dimW≤dimV；并且W的一个基可以扩充为V的一个基． ? 命题6.3.5 同命题6.3.4所设，则W=V，当且仅当dimW=dimV． 证 必要性是显然的．反之，即dimW=dimV=n，{α1,α2,?,αn}是W的一个基，则它是V的一个线性无关向量组．于是，由命题6.3.2知道它也是V的一个基．因此，W=L(α1，?，αn)=V．? 定理6.3.4 V中向量组{α1，α2，?，αs}生成的线性子空间L(α1，α2，?，αs)的维数等于向量组{α1，α2，?，αs}的秩；向量组{α1，α2，?，αs}的一个极大线性无关组就是L(α1，α2，?，αs)的一个基． 证 设向量组{α1，α2，?，αs}的一个极大线性无关组是?j1，?j2，?，?jr，由线性表示的传递性，{α1，?，αs}中每一个向量可以由?j1,?j2,??jr线性表出，从而?j1,?j2,??jr是L(α1，α2，?，αs)的一个基．由此得出L(α1，α2，?，αs)的维数等于向量组{α1，α2，?，αs}的秩． ? 命题6.3.6 向量空间V中两个向量组{α1，α2，?，αs}与{?1,?2,?，?m}生成的子空间相同的充分且必要条件是这两个向量组等价．

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证 必要性 若L(α1，α2，?，αs)=L(?1,?2,?，?m)，则易见这两个向量组等价． 充分性 若α1，α2，?，αs与?1,?2,?，?m等价，则由线性表出的传递性，L(α1,α2,?，αs)中任一向量可由?1,?2,?,?m线性表出，因此L(α1,α2,?，α同理，有L(?1,?2,?，?m)?L(α1，α2,?，αs)．所以L(α1，?，s)?L(?1,?2,?，?m)．αs)= L(?1,?，?m)． ? 教学小结： 课外作业： P279：1.1)、2)、4)；3；4；6．

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6.4 基变换与坐标变换 教学目的 通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的几何意义，掌握坐标变换公式． 教学重点 6.4节的定理6.4.1、定理6.4.2． 教学难点 向量组之间的矩阵连接之其活用． 教学内容 ?，?n，则V中每个向量α在数域F上的n维向量空间V中，若取定一个基?1，在这个基下有唯一确定的坐标．对于不同的基，同一个向量α的坐标一般是不同的．本节讨论基的变动，以及同一个向量的坐标是如何随其变化的． 6.4.1 基变换 ?，?n是V的两个基，则 ?，?n与?1，设?1，??1?a11?1?a21?2???an1?n???2?a12?1?a22?2???an2?n． (1) ????????????n?a1n?1?a2n?2???ann?n将(1)用矩阵表示，记作 ??1，?2，?，?n????1，?2，?，?n?A，其中A=(aij)nn∈Mn(F)．(2) 请注意，(2)的写法是“形式的”，因为在这里是以一般的向量空间V的元素?1，?2，?，?n构成有序元素组(?1，?2，?，?n)，不是以数域F的元素构成有序数组，但是我们却赋予它与数域F上的有序数组一样的运算性质．对于具体的n维列(行)?，?n都是n元有序数组，因此当?1，?，?n为列向量时，有向量空间Fn，由于?1，?，?n)表示以?1，?2，?，?n为列的矩阵，序元数组(?1，?2，这时(2)正好是第一章讲的矩阵乘法形式． ?，?n)是V的两个向量组，A=(aij)nn，B=(bij)∈?，?n)与(?1，?2，设(?1，?2，Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则： ?，?n)A)B=(?1，?2，?，?n)(AB)， ((?1，?2，??n)A+(?1，?2，??n)B=(?1，?2，??n)(A+B)， (?1，?2，??n)A+(?1，?2，?，?n??n)A. ?，?n)A= (?1??1,?2??2，(?1，?2，因为上述矩阵形式写法的定义与矩阵乘法的定义在形式上一样，所以把矩阵乘法的有关运算法则的证明重复一遍，便得出上述三个规则．因此，这里将其证明略述． ??n到基?1，?2，?，?n的过渡矩阵． 公式(2)中出现的矩阵A叫做由基?1，?2，高等代数 第18页

?，??n到基?1，?2，命题6.4.1 在n维向量空间V中，基?1，?2， ?n的过渡矩阵是可逆矩阵． ??n)A,要证A可逆．?，?n)=(?1，?2，证 设(?1，?2，用反证法，假如A不可逆，则|A|=0．于是齐次线性方程组AX=0有非零解, ?c1???取一个非零解Y=???，有 ?c??n??c1?c1?1?c2?2???cn?n???1，?2，?，?n???? ?c??n??，?AY???1，?2，?，?n??AY??0． =?1，?2，?，?n线性相关，矛盾．因此A可逆． ?这表明?1，?2， ?，?n是V的一个基，?1，?，?n?V，且 命题6.4.2 设?1，?2，??n)A． ?，?n)=(?1，?2，(?1，?2，?，?n是V的一个基． 若A可逆，则?1，?2，?，?n线性无关即可．假设 证 只要证?1，?2，k1?1?k2?2???kn?n?? 则 ??k1???k1???????????1，?2，?，?n???????1，a2，?，?n??A????． ?k???k???n???n???????k1?????n是V的一个基，所以从上式得A????0．于是， 因为?1，?2，?k??n??，?n线性无关．?由A可逆知道k1?k2???kn?0．故?1， 由命题6.4.1、6.4.2立得 ?，?n是数域F上向量空间V的一个基，且 定理6.4.1 设?1，?2，??n)A， (3) ?，?n)=(?1，?2，(?1，?2，?，?n是V的一个基的充分且必要条件为A是可逆其中A=(aij)nn∈Mn(F)，则?1，?2，矩阵． ? 这一个定理所刻画的也正是可逆矩阵的几何意义． 6.4.2 坐标变换公式 ??n}下的坐标是(x1，x2，?，xn)，在基{?1，?2，?，?n}设α∈V在基{?1，?2，?，yn)，则 下的坐标是(y1，y2，高等代数 第19页

???i?1n?x1??x?xi?i?(?1，?2，?，?n)?2?， (4) ???x???n??y1??y?=?yi?i?(?1，?2，?，?n)?2?． (5) ???i?1?y??n?n把(3)代入(5)，得 ??y1???y1??????y???((?1，?2，?，?n))A)?2??(?1，?2，?，?n)?A?y2??．(6) ???????y??????y??n???n??因此，再注意到(4)，则由坐标的唯一性得到 ?x1??y1??x????2?=A?y2? ． (7) ???????x??y??n??n?因此有 ??n}定理6.4.2 设V是数域F上n(＞0)维向量空间，A是由V的基{?1，?2，??n}下的坐标?，?n}的过渡矩阵，则V中向量α在基{?1，?2，到基{?1，?2，?，xn)与在{?1，?2，?，?n}下的坐标(y1，y2，?，yn)由等式(7)联系(x1，x2，着． ? ?分例1 取V2的两个彼此正交的单位向量?1，?2，作成V2的一个基．令?1?,?2?，ε2?也是V2的一个基，且有 别是由?1和?2旋转角? 所得的向量(图6?1)，则ε1? ? ?1??ε1cos??ε2sin??ε1， ??ε??εsin??εcos?12?2? ?1 图6?1 ?，?2?}的过渡矩阵是 所以{?1，?2}到{?1?cos??sin???sin?cos??． ???，?2?}下的坐标是(x1?，x2?)，设V2的一个向量α在{?1，?2}下的坐标是(x1，x2)，在{?1则由定理6.4.2得 高等代数 第20页

?cos??x2?sin?，?x1?x1 ?x?x?sin??x?cos?．12?2这正是平面解析几何里转轴的坐标变换公式． 例2 在F3中，设 ，0，?1)，?2?(2，1，1)，?3?(1，1，1), ?1?(11，1)，?2?(?1，1，0)，?3?(1，2，1)， ?1?(0，5，3)， ??(2，求基?1，?2，?3到基?1，?2，?3的过渡矩阵T，并且求α分别在这两个基下的坐标． 解 设??为α的转置．因为 ??k2?2??k3?3? ??k1?1?k2?2?k3?3????k1?1所以 ??1，?2，?3????1，?2，?3?T?，?2?，?3?????1?，?2?，?3??T． ???1?，?2?，?3?)，B=(?1?，?2?，?3?),则从(?1?，?2?，?3?) =(?1?，?2?，?3?)T得出，于是，设A=(?1B=AT．为了求T，需要解这个矩阵方程，可按第一章的方法求解．因为 ????????1001210?11?011?????行变换??011112??????010?1?3?2?， ????001??111101?244???所以，过渡矩阵 11??0??T???1?3?2?． ?244???设α在基?1，?2，?3下的坐标为(y1，y2，y3)，则 ?y1??2????? B?y2?=?5?． ?y??3??3????y1??1?????解这个线性方程组得?y2?=?0?．因此，由坐标变换公式得到α在基?1，?2，?3?y??2??3???下的坐标为(2,－5,10)． 教学小结： 课外作业： P284~285：2；4；5.1)；6．

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6.5 子空间的运算 教学目的 通过2学时的讲授，使学生理解子空间交、和的定义与性质，基本掌握子空间直和的刻画定理及初步应用． 教学重点 维数定理（定理6.5.1）及子空间直和的刻画． 教学难点 上述教学重点的证明． 教学内容 为了进一步把握向量空间的结构，本节学习向量空间的子空间的交与和两种运算，以及子空间和的重要特况：直和． 6.5.1 交与和 命题6.5.1 设W1，W2都是数域F上向量空间V的子空间，则W1∩W2也是V的子空间，叫做W1与W2的交． 证 因为?∈W1∩W2，所以W1∩W2≠?．设α，β∈W1∩W2，则α，β∈Wi，i=1，2．因为Wi是子空间，所以α+β∈W i；kα∈Wi，?k∈F；i=1,2．于是α+β∈W1∩W2，kα∈W1∩W2，?k∈F．因此，W1∩W2是V的子空间． ? 由集合的交的定义可得出，子空间的交适合下列运算规则： 1)交换律 W1∩W2= W2∩W1； 2)结合律 (W1∩W2)∩W3= W1∩(W2∩W3)． 由结合律，我们得到多个子空间的交： W1?W2???Wt??Wi， i?1t且由归纳法易见，?Wi也是V的子空间． i?1t???Wi,?i?I?也是V的子空间． 则?Wi??i?I注 类似命题6.5.1的证明可得，设I是任一指标集，若?i∈I，Wi是V的子空间，向量空间V的两个子空间W1与W2的并集一般不是V的子空间．例如，在V3中，取W1，W2是通过原点的两个不同的平面，它们都是V3的子空间．W1∪W2对加法一般不封闭，因此W1∪W2不是V3的子空间．若我们想构造一个包含W1∪W2的子空间，则这个子空间应当包含W1中的任一向量α1与W2中的任一向量α2的和α1+α2 ．由此受到启发．我们来证明 命题6.5.2 设W1，W2是数域F上向量空间V的两个子空间，则集合 {?1??2?1?W1,?2?W2} (1) 是V的一个子空间，叫做W1和W2的和，记作W1+W2． 证 把集合(1)记作W．显然?∈W(因为? =? +? )．在W中任取两个向量α，β，高等代数 第22页

可设 ???1??2， ???1??2， 其中α1，β1∈W1，α2，β2∈W2，则 ????(?1??1)?(?2??2)． 由于W1，W2是V的子空间，所以α1+β1∈W1，α2+β2∈W2，从而α+β∈W． 类似可证任取k∈F，???1??2?W，?1?W1，?2?W2，则k??W．因此W是V的一个子空间． ? 对于W1中任一向量α1，有α1=α1+θ．因此W1?W1+W2．同理，W2?W1+W2．从而W1∪W2?W1+W2．所以W1+W2是包含W1∪W2的子空间． 设U是V的子空间，且W1∪W2?U，则对于任意αi∈Wi，i=1，2，有αi∈U．从而α1+α2∈U．由此看出W1+W2?U．这表明W1+W2是V中含W1∪W2的最小的子空间． 由命题6.5.2知道 W1+W2={?1??2?1?V1,?2?V2}． (2) 从(2)式容易看出，子空间的和适合下列运算规则： 1)交换律 W1+W2= W2+W1 2)结合律 (W1+W2)+W3=W1+(W2+W3)． 由结合律，我们可以定义t(t≥2)个子空间的和： W1?W2???Wt??Wi， ti?1用归纳法易证，?Wi仍是V的子空间，并且 i?1tW1?W2???Wt={?1??2????t?i?Wi，i?1,?,t}． (3) 命题6.5.3 设?1,?,?r与?1,?,?s是数域F上向量空间V的两个向量组，则 L??1,?,?r??L??1,?,?t??L??1,?,?r，?1，??t?． (4) 证 从(2)式得出 L??1，??r??L??1,?,?t?=?k1?1???kr?r???l1?1???lr?t?ki,lj?F ??=L??1,?,?r,?1,?,?t?． ? 在V3中，设W1是过原点O的一个平面，W2是过O的另一个平面，它们相交于一条直线L．则W1，W2，L都是V3的子空间，并且W1∩W2=L．由于V3中每个向量α可以表示成W1中一个向量与W2中一个向量的和(注意表法不唯一)，所以W1+W2=V3．由于dimW1=dimW2=2，dimL=1,dimV3=3，因此在本例中，有 dimW1?dimW2?dim?W1?W2??dim?W1?W2?． 这个公式对于任一向量空间的任意两个有限维子空间都成立，即有 定理6.5.1(维数公式) 若W1，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，高等代数 第23页

则W1∩W2与W1+W2也都是有限维的，并且 dimW1?dimW2?dim?W1?W2??dim?W1?W2?． (5) 证 因为W1是有限维的，而W1∩W2是W1的子空间，所以W1∩W2也是有限维的．设W1,W2的维数分别是n1，n2，W1∩W2的维数是m．取W1∩W2的一个基?1,?,?m，并将它分别扩充成W1的一个基?1,?,?m，?1,?，?n1?m，扩充成W2的一个基?1,?,?m，?1,?，?n2?m．据(4)式，我们有 W1+W2=L(?1,?,?m，?1,?，?n1?m)+L(?1,?,?m，?1,?，?n2?m) =L(?1,?,?m，?1,?，?n1?m，?1,?，?n2?m) (6) 于是W1+W2是有限维的．若能证明?1,?,?m，?1,?，?n1?m，?1,?,?n2?m线性无关，则它就是W1+W2的一个基，从而有dim(W1+W2) =m+(n1－m)+(n2－m)= n1+ n2－m=dim W1+dimW2－dim(W1∩W2)，即维数公式成立．于是，设 k1?1???km?m?p1?1???pn1?m?n1?m?q1?1???qn2?m?n2?m??， 则 ??k1?1???km?m?p1?1???pn1?m?n1?m ??q1?1???qn2?m?n2?m． (7) 由(7)的第一个等式知道α∈W1，由第二个等式知道α∈W2．于是α∈W1∩W2．因此α可由?1,?,?m线性表出，令 ??l1?1???lm?m． (8) 由(7)的第二式以及(8)式得 l1?1???lm?m?q1?1???qn2?m?n2?m??． 因为?1,?,?m，?1,??n2?m线性无关，所以 l1???lm?q1???qn2?m?0． 从而α=θ．再由(7)的第一式便得到 k1?1???km?m?p1?1???pn1?m?n1?m??． 因为?1,?,?m，?1,?，?n1?m线性无关，所以 k1???km?p1???pn1?m?0， 这证明了?1,?,?m，?1,?，?n1?m，?1,?,?n2?m线性无关． ? 推论6.5.1 设W1，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，则 dim(W1+W2)= dimW1+dimW2=?W1∩W2=0， 这里0表示V的零子空间． 下面举一个例子说明在Fn中如何具体求两个子空间的和与交的基及维数． 例1 设V=F4，W1=L(α1，α2，α3)，W2=L(β1，β2)，其中 α1=(1，2，1，0)，α2=(?1，1，1，1)，α3=(0，3，2，1)， β1=(2，?1，0，1)，β2=(1，?1，3，7)． 分别求W1与W2的和与交的基及维数． 解 因为 W1+W2= L(α1,α2,α3)+ L(β1,β2)= L(α1,α2,α3,β1,β2)， 高等代数 第24页

所以向量组α1,α2,α3,β1,β2的一个极大线性无关组所含向量的个数是W1+W2的维数．按照第三章的方法，把α1,α2,α3,β1,β2写成列向量，构成矩阵A，对A作一系列初等行变换，化成阶梯形矩阵： ?1?1?21A???11?01?021??1??3?1?1??0?203??0?117???0010011000?1??04? (9) 13?00??由此得出α1，α2，β1是W1+W2的一个基，故dim(W1+W2)=3．同时也知道，β2可经α1，α2，β1线性表示，其系数应当是线性方程组 x1α1+x2α2+x3β1=β2 的解，且从上述A及其化简得到的阶梯形矩阵的第1，2，4，5列可以看出，此方程组的解是(－1，4，3)．因而β2=－α1+4α2+3β1，故3β1－β2∈W1∩W2．又由维数公式易得 dim(W1∩W2)=2+2－3=1． 所以α1－4α2=(5，－2，－3，－4)是W1∩W2的一个基． 6.5.2 直和 考察推论6.5.1成立的情形，下面引入 定义1 设W1，W2是数域F上向量空间V的子空间．若和W1+ W2中每个向量α都能唯一地表示为 α=α1+α2，α1∈W1，α2∈W2， (10) 则称W1+W2为直和，记作W1?W2． 定理6.5.2 设W1，W2是数域F上向量空间V的子空间，则下列陈述彼此等价： 1)和W1+W2是直和； 2)和W1+W2中零向量的表法唯一，即若α1+α2＝θ，α1∈W1，α2∈W2，则α1=α2＝θ； 3)W1∩W2=0． 证 1) ?2) 显然． 2) ?3) 设?α∈W1∩W2，则零向量可表为 ? =α+(－α)，α∈W1，－α∈W2． 故由2)得α=?．因此W1∩W2=0． 3) ?1) 任取α∈W1+W2，假设α有两种表法： α=α1+α2，α1∈W1，α2∈W2 α=β1+β2，β1∈W1，β2∈W2 则α1－β1=β2－α2∈W1∩W2．因为W1∩W2=0，所以α1=β1，α2=β2．因此，和W1+W2是直和． ? 定理6.5.3 设W1，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，则下列陈高等代数 第25页

述彼此等价： 1)和W1+W2是直和； 2)dim(W1+W2)=dimW1+dimW2； 3)W1的一个基与W2的一个基合并起来是W1+W2的一个基． 证 由定理6.5.2和推论6.5.1立即得到1)? 2)． 3)?2)是显然的．现在证2)?3)：设?1,?,?s是W1的一个基，?1,?,?r是W2的一个基，则 W1+W2=L(?1,?,?s)+L(?1,?,?r)=L(?1,?,?s,?1,?,?r) 因为dim(W1+W2)=dimW1+dimW2=s+r，所以向量组?1,?,?s，?1,?,?r的秩等于s+r，从而是线性无关的，因此它是W1+W2的一个基． ? 推论6.5.2 设V是数域F上的有限维向量空间，U是V的一个子空间，则存在V的一个子空间W，使得 V=U?W． 证 因为V是有限维的，所以子空间U是有限维的．若U=0，则W=V．若U≠0，取U的一个基?1,?,?s，把它扩充成V的一个基 ?1,?,?s,?s?1,?,?n． 令W=L(?s?1,?,an)，则 U+W=L(?1,?,?s)+L(?s?1,?,an)=L(?1,?,?s,?s?1,?,?n)=V 由于U的一个基与W的一个基合并起来是U+W的一个基，因此和U+W是直和．故V=U?W． ? 定义2 设V是数域F上的向量空间，U是V的一个子空间，若存在V的一个子空间W，使得V=U?W，则称W是U在V里的补空间．这时U也称为W在V里的补空间． 从推论6.5.2知道，若V是有限维的，则它的每一个子空间都有补空间．注意，一个子空间的补空间未必唯一．例如，在V3中，设W是过原点O的一个平面，则任意一条经过点O但不在W上的直线都是W的补空间． 显然，子空间U在V里的补空间的概念与子集U在V里的补集的概念是不同的概念，请不要混淆． 例2 设V=Mn(F)，其中F是数域．用W1表示F上所有n阶对称矩阵组成的子空间，用W2表示所有n阶反对称矩阵组成的子空间，证明V=W1?W2． 证 先证V=W1+W2．W1+W2?V是显然的．注意到?A∈V=Mn(F)，有 A?A?A?A?． A??22A?A?A?A?易验证?W1，?W2．因此A∈W1+W2．故V?W1+W2．因此V= W1+W2． 22又任取B∈W1∩W2，则B′=B，并且B′＝－B．于是B= －B，从而2B=0．故B=0．于是W1∩W2=0．所以V= W1?W2．?

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子空间直和的概念可以推广到s(s≥2)个子空间的情形． 定义3 设W1，W2，?，Ws 都是数域F上向量空间V的子空间，若和W1+W2+?+Ws 中每个向量α可唯一地表示成 ???1??2????S,?i?Wi?i?1,2,?,s?， 则称这个和为直和，记作W1?W2???Ws或?Wi. i?1s定理6.5.4 设W1，W2，?，Ws是数域F上向量空间V的子空间，则下列命题彼此等价： 1)和W1，W2，?，Ws是直和； 2)和?Wi中零向量的表法唯一； i?1s3)Wi∩?Wj?0，i=1,2,?,s． j?i证 1)? 2) 显然． 2)?3) 任取α∈Wi∩?Wj，则－α∈Wi且α∈?Wj．于 j?ij?i是α=??j，其中αj∈Wj．因此零向量可以表成 j?i?=(－α)+α=(－α)+??j j?i故由2)得－α=?，所以α=?．于是Wi∩?Wj=0． j?i3) ?1) 任取α∈?Wi，假设α有两种表法： i?1sα=α1+α2+…+αs，αi∈Wi (i =1，2，?，s)， α=β1+β2+?+βs，βi∈Wi (i=1，2，?，s)． 任取i∈{1，2，?，s}，由上两式可得 j?i?i??i????j??j??Wi??Wj j?i因为Wi∩?Wj=0，所以βi－αi=θ，即βi=αi，i=1,2,?,s． ? j?i定理6.5.5 设W1，W2，?，Ws是数域F上向量空间V的有限维子空间，则下列命题互相等价： 1)和?Wi是直和； i?1s2)dim(W1+W2+?+Ws)= ?dimWi； i?1si?1s3)Wi的一个基，i=1，2，?，s，合并起来是?Wi的一个基． 高等代数 第27页

证 1)?2) 因为和?Wi是直和，据定理6.5.4得，Wi∩?Wj i?1sj?i=0，i=1，2，?，s．于是 dim(?Wi)=dim(W1+?Wj)=dimW1+dim(?Wj) i?1sj?1j?1注意到Wi∩j?i，1?Wj?Wi∩?Wj=0．因此对s用归纳法，则得 j?idim(?Wj)=?dimWj， j?1sj?1s从而得到 dim(?Wi)=?dimWi． i?1i?12)?3) 类似于定理6.5.3 证明中的2) ?3)． 3)?1) 易证和?Wi中零向量的表法唯一,从而?Wi是直和. ? i?1i?1ss

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6.6 解 题 探 索 教学目的 通过教学，引导学生进行单元复习，提高其抽象数学的证题能力及自学能力． 教学重点 熟化本章教学重点：基、维数及直和． 教学难点 证题能力的提高． 教学内容 本节从三个侧面加深同学们对向量空间概念及其结构的理解，并探索解决向量空间问题的方法与技巧． 6.6.1 基与维数 关于有限维向量空间的基与维数，综合起来有以下基本结论． 设V是数域F上向量空间，?1，?，?n?V，则下列陈述彼此等价： 1){?1，?2，?，?n}是V的一个基； 2)?1，?2，?，?n线性无关，但?1，?，?n，?线性相关，??? V； 3)??? V都可经?1，?2，?，?n唯一地线性表示； 4)V=L(?1，?，?n)，且? 经?1，?，?n线性表示的表式唯一； 5)dimV=n，且?1，?，?n线性无关； 6)dimV=n，且V=L(?1，?，?n)； 7)V=L(?1)?L(?2)???L(?n)． 下面我们再来讨论基与维数的三个例子． 例1 任给正整数m(≥n)．证明，在Fn中存在m个向量，其中任取n个向量构成它的一个基． 证 取?1?(1,2,22,?,2n?1),?2?(1,22,(22)2,?,(22)n?1), ?,?m?(1, 2m,(2m)2,?,(2m)n?1)．设 12k1(2k1)2?(2k1)n?112k2(2k2)2?(2k2)n?1Dn?， ????12kn(2kn)2?(2kn)n?1?，?kn线性无关，因这里1≤k1r+1，则 ?a11?rank???ar?11?a?r?21a12ar?12ar?22??a1r??ar?1r?ar?2ra1r?1????≤r+1． ar?1r?1?ar?2r?1??不妨设前t行是行向量组的极大无关组,则(ar+21,ar+22,?,ar+2r+1)= k1(a11,?a1r+1) +?+kt(at1 ,?, atr+1)．所以，由?1,?,?s是W的基知道αr+2－k1α1－?－k1αt 高等代数 第29页

r??1???0，?，?，?)≠0，矛盾，故s≤r+1． ? =(0，例3 设f(x1，?，xn)是秩n的实二次型．证明：在Rn中有1(n?|s|)维 2?x1???子空间W1存在，使得?????W1，有f(x1，?，xn)=0，这里s是这个二次型 ?x??n?的符号差． 证 设f(X)=X?AX，则存在矩阵C，|C|≠0，使 ?Ip??，s?p?q, C?AC????Iq???222于是f (X)=? (Y)=y1???y2p?yp?1??yp?q，这里X=CY．不妨设p≥q，取 ?1????0?????0?Y1????1??0??????0?????0????1???0??????p????，Y??0?2?0???1???q????0??????0????0?????????????1??p?p??????????，??，Y??0??， q?0?????????????q????q??0????1??????则? (Yi)=0，i=1,2,?,q．又Y1，?，Yq线性无关，令W0=L(Y1，?，Yq)，则它 1(n－|s|)维子空间，且?Y∈W0，有? (Y)=0．因为X=CY，取X1=CY1，? 21Xq=CYq．让W1= L(X1，?，Xq)，则dimW1=q=(n－|s |)，且?X∈W1，有f (X)= ? 2是q=(Y)=0． ? 6.6.2 子空间的运算 直和 例4 若n维向量空间V的两个子空间的和的维数减1等于它们交的维数，则它们的和等于其中的一个子空间，它们的交等于另一个子空间． 证 设这两个子空间为W1，W2．则 dimW1+dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2) ① 下面分两种情况讨论： 1)当dimW1=dim( W1∩W2)时，则由①易见结论成立． 2)当dimW1>dim(W1∩W2)时，由假设则 dim(W1∩W2)+1 =dim (W1+ W2)＞dimW2≥dim(W1∩W2)． 令dim(W1∩W2)=m，由上式知 m+1>dimW2≥m ② 高等代数 第30页

但维数是整数，从而由②式，只能有 dimW2=m=dim(W1∩W2)． ③ 所以，W2= W1∩W2．于是，由①知道W1=W1+W2． ? 例5 证明，有限维向量空间的任意真子空间均可表示为若干个n－1维子空间的交． 证 设V为n维空间，W为其任一真子空间． 若dimW=n－1，则结论正确．设dimW≤n－2．令?1,?,?r为W的基，将它扩充成V的基：?1,?2?,?r，?r?1,?,?n．取 W1=L(?1,?2?,?r，?r?1,?,?n?1),W2=L(?1,?2?,?r，?r?1??n,?,?n?1)， ?，?n?1??n)． ?????，Wn-r=L(?1,?2?,?r，?r?1，n?r显然W??Wi，又????Wi有 i?1i?1n?r??k1?1?k2?2???kr?1?r?1???kn?1?n?1 ?t1?1?t2?2???tr?r?tr?1(?r?1??n)???tn?1?n?1 n?r故tr+1=0，所以kr+1=0．同样得到kr+2=?=kn－1=0，所以α∈W，因而W= ?Wi．?i?1例6 设M∈Mn(F)， f(x)，g(x)∈F[x]，且(f(x)，g(x))=1，A=f (M)，B=g (M)，证明，N(AB)=N(A)?N(B)． 证 先证N(AB)=N(A)+N(B)． 由于f(M)g(M)=g(M)f(M)，即AB=BA，从而有AX=0?BAX=0?ABX=0，所以N(A)? N(AB)．同理有N(B)? N(AB)．故N(A)+N(B) ? N(AB)． 又由(f (x)，g(x))=1知道存在多项式u(x)，v(x)，使u (x)f (x)+v (x)g (x)=1，于是 u(M)f (M) +v(M)g(M)=In． ④ 因此，?α∈N(AB)，α=u(M)f (M)α+v (M)g (M)α=α1+α2，其中α2=u (M) f (M)α,α1=v (M)g (M)α．又ABα=0，即f(M)g(M)α=0．于是g(M)α2=u(M) f(M)g(M)α=0．所以Bα2=0，α2∈N(B)．同理有α1∈N(A)．于是N(AB) ? N(A)+N(B)．故N(AB)= N(A)+N(B)． 又设?α∈N(A)∩N(B)，则Aα=0，Bα=0．所以f (M)α=0，g (M)α=0，代入④式得，α=u(M) f (M)α+v (M)g (M)α=0．从而N(A)∩N(B)=0，故N(AB)= N(A) ?N(B)． ? 例7 设V是n维实(复)向量空间，L1，?，Ls 是V的子空间，且适合Li?Li+1，i=1，2?s，Ls+1=V．证明，存在s个子空间K1，?，Ks，使得 1) Li+1=Li?Ki，i=1，2?s ； 2)V=L1?K1???Ks． 证 因为L1?L2，所以存在线性无关向量组α11，?,α1t1，使α11，?，α1t1?L1，且L2=L1?L(α11，?，α1t1)．令K1=L(α11，?，α1t1)，则L2=L1?K1． 同样作出K2，有L3=L2?K2，?，Ls+1=Ls?Ks．所以V=L1?K1???Ks．? 6.6.3 子空间复盖 例8 设W1，W2是V的真子空间，则存在α?V，使α?W1，α?W2． 证 因W1是真子空间，所以存在β1?W1，若β1?W2，则结论得证．若β1∈W2．同样因W2为真子空间，则存在β2?W2，若β2?W1，则命题得证．若β2∈W1，则易见β1+β2?W1，β1+β

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2 ?W2． ?例9 设W1，?，Ws是V的真子空间，则存在α?V，使α?W1∪?∪Ws． 证：对s进行归纳．当s = 1，2时，结论正确． 假设s－1情形结论正确，我们来证明s时正确．事实上，由假设存在β1，使β1?W1∪?∪Ws－1．若β1∈Ws．同样存在β2，使β2?W2∪?∪Ws．若β2?W1，则命题得证．若β2∈W1，作?k=β1+k??k1??1?k1?2,?????k? 122?k2β2，k为正整数，显然?k?W1∪Ws，当k1≠k2时，若?k1,?k2∈Wi，2≤i≤s－1，有 由于1k1?0，得到β1，β2∈Wi，矛盾．因为k=1,2,?,n,?,可得到无限个 1k2αk,由于Wi中至多含一个?k．又Wi的个数有限，故存在αk (其实无限多个)，使αk?W1∪?∪Ws． ? 进而还可证明： 1)设W1，?，Ws是有限维空间V的真子空间，则存在V的一个基，使得其中的每一个向量均不在W1，?，Ws中． 2)设V是不可数数域F上的n维向量空间．则存在V的可数个真子空间不能复盖它．

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第七章 线性映射 线性变换 引言 保持向量空间运算的映射十分重要，本章将对之作基础性的讨论，并把重点放在有限维情形．因此，同学们也将学习代数表示的思想，学习无论在理论上，还是在应用上都颇有价值的特征值的基础知识． 7.1 线性映射的概念 教学目的 通过2学时讲授，使学生理解线性映射（线性变换）的定义、向量空间的同构及线性映射的值域与核等概念，基本掌握线性映射的存在、唯一性命题及向量空间同构的刻画定理． 教学重点 线性映射（变换）及向量空间同构的概念． 教学难点 值域与核概念的理解及向量空间同构的证明． 教学内容 本节阐述线性映射的概念，由之得到向量空间之间的重要关系：同构的概念． 7.1.1 定义与例子 设F是一个数域，V和W都是F上向量空间． 定义1 设?是V到W的一个映射．??，?∈V，k∈F．若下列条件成立： 1)? (?+?)=? (?)+? (?)； 2)? (k?)=k? (?)， 则称?是V到W的一个线性映射． V到自身的线性映射叫做V的线性变换． ?111?323例1 设??=(x1，x2)∈R，定义? (?)=(x1,x2)??0?11???R则?是R到R??2的一个映射．我们来证明，?是一个线性映射． 1)设?? =(x1，x2)，?=(y1，y2) ∈R 2，k∈R，则 ????????((x1?y1,x2?y2)) ?(x1?y1,(x1?y1)?(x2?y2),(x1?y1)?(x2?y2)) ?(x1,x1?x2,x1?x2)?(y1,y1?y2,y1?y2)??(?)??(?), 2)?(k?)??((kx1,kx2))?(kx1,kx1?kx2,kx1?kx2)?k?(?)． 因此，?是R2到R3的一个线性映射． 高等代数 第33页

?x1???例2 设A∈Fmxn,????x2??Fn,规定?(?)?A?,则?(?)?Fm. ???x???n? 根据矩阵运算的性质，?k∈F，?，?∈Fn，都有 ?(???)?A(???)?A??A???(?)??(?)； ?(k?)?A(k?)?k(A?)?k?(?)． 所以?是Fn到Fm的一个线性映射． 例3 设V和W是数域F上向量空间．???V，令?对应W的零向量?．易见这是V到W的一个线性映射，叫做零映射． 例4 取定F的一个数k，??∈V，规定?(?)?k?．易证?是V的一个线性变换，叫做V的一个位似(或纯量变换)． 特别地，取k=1，则??∈V，都有? (?)=?，这时?就是V的恒等变换1v，即V的单位变换．若取k=0，则?就是V的零变换． 例5 取定F的一个n维行向量(a1，a2,?,an)．对于??= (x1,x2, ?,xn)∈Fn，规定?(?)?a1x1?a2x2???anxn?F．易证，?是Fn到F的一个线性映射．这样线性映射叫做F上的一个n元线性函数或Fn上的一个线性型． 例6 几何空间V3到经过原点O的平面W上的正投影?是V3上的一个线性变换(如图7－1所示)．因为设α0是平面W的单位法向量，由解析几何推得 ?(?)???(?,?0)?0，???V． 其中(?,?0)是?与?0的内积．于是，直接验证知道σ保持向量加法 和纯量乘法． 例7 求导数是C(1)(a，b)到 ，R (ab) 的一个线性映射，用D或 δ表示，即 图7?1 D(f(x))?f?(x)． 例8 向量空间C [a，b]到自身上的一个映射 J(f(x))??af(t)dt x是C[a，b]上的一个线性变换． 下面对定义1作两点说明．首先，定义1里的条件1)，2)与下面的条件等价： 3)?(k??r?)?k?(?)?r?(?)，其中?k，r∈F，??，?∈V． 事实上，若映射?：V?W满足条件1)与2)，则?k，r∈F与??，?∈V，有 ?(k??r?)??(k?)??(r?)?k?(?)?r?(?)． 反之，设3)成立．取k=r=1，就得到条件1)；取r=0，就得到条件2)． 高等代数 第34页

在条件2)里，取k=0，就得到?(?)??，即线性映射将零向量映成零向量． 由3)，对n作数学归纳法，易得 ?(k1?1???kn?n)?k1?(?1)???kn?(?n)，?ki?F，?i?V，i?1，?，n． 其次考虑线性映射的存在性，我们来证明三个命题． 命题7.1.1 设V和W都是数域F上的向量空间，且V是有限维的，?和τ都是V到W的线性映射．在V中取一个基?1,?,?n．若?和τ对这个基的作用相同，即 ?(?i)??(?i)，i?1,?,n， 则? =τ． 证 任取V的一个向量??k1?1???kn?n，因为 ?(?)?k1?(?1)???kn?(?n)?k1?(?1)???kn?(?n)??(?)， 所以? =τ． ? 命题7.1.1表明，V到W的一个线性映射完全被它对V的一个基的作用所决定．现在要问：给了数域F上的任意两个向量空间V和W，是否存在V到W的线性映射？此回答是肯定的，特别是当V是有限维时，则有 命题7.1.2 设V和W都是数域F上的向量空间，且?1,?,?n是V的一个基，在W中任意取定n个向量?1,?,?n(它们中可以相同)，则存在V到W的唯一的线性映射σ，使得 ?,n． ?(?i)??i，i?1，证 存在性 任取??k1?1???kn?n∈V．规定 ?(?)?k1?1?k2?2???kn?n． (1) 由于?1,?,?n是V的一个基，所以(1)定义了V到W的一个映射．又????ki?i， i?1n???ri?i?V，?a?F，有 i?1n?(???)??(?(ki?ri)?i)??(ki?ri)?i??ki?i??ri?i??(?)??(?); i?1i?1i?1i?1nnnn?(a?)??(?(aki)?i)??(aki)?i?ai?1i?1nn?k?ii?1nl?a?(?)． 2，?，n． 因此?是V到W的一个线性映射，并且由(1)易见? (?i)=?i, i?1，?的唯一性由命题7.1.1立得． ? 命题7.1.3 设V是数域F上的任一向量空间．若存在V的子空间U，W，使得V=U?W，则存在V上唯一的一个线性变换?U,使得 ??，当??U；?U(?)?? （2） 0，当??W．?这个线性变换?U称为平行于W在U上的投影(射影)． 高等代数 第35页

证 任取??V，设???1??2,?1?U,?2?W，令 ?U(?)??1， 则?U是V到V的一个映射(因为α写成???1??2的表法唯一)，并且对???1??2,?1?U,?2?W，则 ?U(???)??U((?1??1)?(?2??2))??1??1??U(?)??U(?)， ?U(k?)??U(k?1?k?2)?k?1?k?U(?)，?k?F．因此,?U是V上的一个线性变换.又若??U,则?U(?)??U(???)??;若??W，则?U(?)??U(???)??．存在性得证． 唯一性 设V上的线性变换τ满足(2)．任取α∈V，设???1??2,?1?U, ?2?W，则 ?(?)??(?1??2)??(?1)??(?2)??1????1??U(?)． 因此，???U． ? 类似地，定义?W(?)??2，则?W也是线性变换，称它为平行于U在W上的投影． 7.1.2 值域与核 考虑线性映射导出的子空间，其中基本又重要的有值域与核，下面先介绍它们的概念． 设?是向量空间V到W的一个线性映射．若V??V，则??(?)??V??是W的一个子集，叫做V?在?之下的像，记作σ(V?)．另一方面，设W??W，则???V?(?)?W??是V的一个子集，叫做W?在?之下的原像．对此，我们有 命题7.1.4 设V和W都是数域F上的向量空间，而?：V?W是一个线性映射，则V的任意子空间在?之下的象是W的一个子空间；而W的任意子空间在?之下的原像是V的一个子空间． 证 设V?是V的一个子空间．若?，?∈?(V?)，则有?，?∈V?，使???(?)，???(?)．因为?是线性映射，所以对于?k，l∈F，有 ?k??l??k?(?)?l?(?)??(k??l?)． 但V?是V的子空间，有k??l??V?，因而k??l???(V?)，这就证明了? (V?)是W的一个子空间． 现在设W?是W的一个子空间．令V?是W?在?之下的原象．显然??V?．若?，?∈V?，则?(?),?(?)?W?．因而对于?k，l∈F，都有 ?(k??l?)?k?(?)?l?(?)?W?， 故k??l??V?．因此，V?是V的一个子空间． ? 特别地，向量空间V在?之下的象是W的一个子空间，叫做σ的值域，记作Im?，即

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Im???(V)． (3) 另一方面，W的零子空间0在?之下的原象是V的一个子空间，叫做?的核，记作Ker?，即 Ker??{??V?(?)??}． (4) 定理7.1.1 设V和W都是数域F上的向量空间，而?：V?W是一个线性映射，则 1)?是满射?Im??W； 2)?是单射?Ker??0． 证 结论1)是显然的，我们只证结论2)． 若?是单射, 则Ker?只能含有唯一的零向量. 反过来设Ker? =0.若?,??V，且?(?)??(?),则?(???)??(?)??(?)??.于是???? Ker? =0，故?－?=? ，即???．因此，?是单射． ? 7.1.3 向量空间的同构 考虑既单且满的线性映射，我们引入 定义2 设?是向量空间V到W的一个线性映射．若?是双射，则称?是V到W?的一个同构映射，记作?：V?W或V?W． 若V与W间存在一个同构映射，则说向量空间V与W同构，记作V?W． 命题7.1.5 设V，W是数域F上的两个向量空间，?是V到W的一个同构映射，?1,?2,?,?n是V的任一个向量组，则?1,?2,?,?n线性无关的充分且必要条件是?(?1),?(?2),?,?(?n)线性无关． 证 必要性 若?1,?2,?,?n线性无关，设 k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?? 则?(k1?1?k2?2???kn?n)=?．由于?是单的，有k1?1?k2?2?? ?kn?n=?，但?1,?2,?,?n线性无关，所以k1?k2???kn=0，故?(?1),?(?2),?,?(?n)线性无关． 充分性 设k1?1?k2?2???kn?n=?，则 k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)??． 由条件有?(?1),?(?2),?,?(?n)线性无关，因而k1?k2???kn=0，故?1,?2,?,?n线性无关． ? 定理7.1.2 数域F上两个有限维向量空间同构的充分且必要条件是它们的维数相同． 证 设V与W是数域F上的有限维向量空间．若dimV=dimW=n， 可设?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n分别为V与W的基．对于???ki?i， 定义?(?)??ki?i，则由命题7.1.2的证明知道?是V到W的一个 i?1ni?1n线性映射，且有 高等代数 第37页

1)设???ki?i，????ki??i，则 i?1i?1nn?????ki?ki?(i=1，2，?，n)??ki?i??ki??i??(?)??(??)； i?1i?1nn2)????li?i?W，取???li?i?V，则?(?)=β． i?1i?1nn因此，?是一个双射，故V?W． 反之，设? :V?W，dimV=n，?1,?2,?,?n为V的一个基，则由命题7.1.5知?(?1),?(?2),?,?(?n)是W的一个线性无关向量组．又因为?是满的，所以对任意的??W，存在??V，使得?(?)??．又 可设???ki?i，于是 i?1n????(?)?k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)． 因此，W=L(?(?1), ?(?2),?,?(?n))．故，?(?1),?(?2),?,?(?n)是W一个基，从而dimW=n． ? 推论7.1.1 设V是数域F上n维向量空间，则V?F． ? n

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7.2 线性映射的运算 教学目的 通过教学，使学生基本掌握线性映射的运算及其基本性质，理解EndV所成的代数． 教学重点 线性映射（变换）所成的代数． 教学难点 对线性变换环的理解． 教学内容 由已知线性映射导出新的线性映射，基本的方法是对其进行运算，本节就来讨论这个问题． 7.2.1 基本运算及其代数系统 设V,U,W都是数域F上的向量空间，我们把V到U的所有线性映射组成的集合记作Hom(V，U)．类似地，Hom(U，W)表示U到W的所有线性映射组成的集合． 设??Hom(V，U)，?? Hom(U，W)，由于映射有乘法(合成)运算，因此线性映射也有乘法运算，其乘积??是V到W的映射，且有 命题7.2.1 设??Hom(V,U),??Hom(U,W),则???Hom(V,W). 证 设?,β∈V，k∈F，则 (??)(???)??(?(???))??(?(?)??(?))??(?(?))??(?(?)) ?(??)(?)?(??)(?)， (??)(k?)??(?(k?))??(k(?(?)))?k(?(?(?))?k((??)(?))． 因此??是线性映射． ? 由于映射的乘法满足结合律，因此线性映射的乘法也满足结合律．注意到映射的乘法不满足交换律，此对线性映射也成立，即其乘法不满足交换律．又设??Hom(V,U)，易见 ?1V??， 1U???． (1) 命题7.2.2 设??Hom(V，U) ．若?是可逆的，则其逆映射??1? Hom(U，V)． 证 因为?可逆，所以有U至V的映射??1，使得 ???1?1U, ??1??1V． 于是??，?∈U，?k∈F，有 ??1(???)???1[(???1)(?)?(???1)(?)]???1[?(??1(?))??(??1(?))] ???1[?(??1(?)???1(?))]?(??1?)(??1(?)???1(?))???1(?)???1(?)．类似可证??1(k?)?k??1(?)，因此??1?Hom(U,V)． ? 因为V到U的映射?可逆的充分且必要条件为?是双射，所以?是V到U的可逆的线性映射，当且仅当?是V到U的同构映射． 由于数域F上两个有限维向量空间V和U同构的充分且必要条件是它们的维数相同，因此V到U有可逆线性映射存在的充分且必要条件是dimV =dimU. 高等代数 第39页

特别地，有限维向量空间V一定存在可逆的线性变换．?是V的可逆线性变换，当且仅当?是V到自身的一个同构映射(称为V的一个自同构)． 再注意到V的自同构也存在．因此，由命题7.2.1、命题7.2.2得到，数域F上向量空间之间的同构关系满足下列三个性质： 1)反身性 V?V； 2)对称性 若V?W，则W?V； 3)传递性 若V?W，W?U，则V?U． 由于线性空间有加法运算，因此可以定义线性映射的加法运算． 设?，??Hom(V,U)，定义它们的和? +?为 (???)(?)??(?)??(?)， ???V． (2) 容易证明?+?∈Hom(V，U)．因为 (???)(???)??(???)??(???)??(?)??(?)??(?)??(?) ?(?(?)??(?))?(?(?)??(?))?(???)(?)?(???)(?)．类似可得(???)(k?)?k(???)(?)．这证明了? +?∈Hom(V，U)． 容易验证，线性映射的加法满足交换律，结合律；且零映射0具有性质： 0????, ?? ∈Hom(V，U)； (3) 并且? ?Hom(V，U)，可以定义它的负映射－?为： (??)(?)???(?)， ???V． (4) 容易验证－? ?Hom(V，U)，且 ?????0． (5) 这时，线性映射的减法定义为??????(??)． 线性映射的乘法对于加法满足左右分配律，即设?，?∈Hom(V，U)，?∈Hom(U，W)，?∈Hom(M，V)，则 ?(???)??????， (6) (???)???????． (7) 左分配律的证明 设??∈V，则 (?(???))(?)??((???)(?))??(?(?)??(?))??(?(?))??(?(?)) ?(??)(?)?(??)(?)?(?????)(?)．所以?(???)??????．右分配律的证明请同学们完成． 利用线性映射的乘法和纯量变换(位似)可以定义线性映射的纯量乘法． 设?∈Hom(V,U)，k∈F,定义k与?的纯量乘积k?为(k?)(?)?k(?(?))．直接验证k?∈Hom(V，U)，且它是§1例4所述的V的位似与?的乘积． 容易验证，线性映射的纯量乘法满足以下规则： 1???， (9) (kl)??k(l?)， (10) (k?l)??k??l?， (11) 高等代数 第40页

k(???)?k??k?， (12) k(??)?(k?)???(k?)， (13) 其中k，l∈F，?，?∈Hom(V，U)，?∈Hom(W，V)． 从以上讨论看出，Hom(V，U)有加法和纯量乘法两种运算，并且满足向量空间八条公理，因此Hom(V，U)是数域F上的一个向量空间． 特别地，Hom(V，V)有加法、纯量乘法、乘法三种运算．一方面，Hom(V，V)是数域F上的一个向量空间；另一方面，Hom(V，V)对于加法、乘法两种运算成为一个有单位元的环；并且乘法与纯量乘法满足(13)．因此，注意到 定义1 设非空集合A定义了加法运算，乘法运算，以及与数域F的纯量乘法运算．若A对于加法和乘法成为一个环，A对于加法和纯量乘法成为数域F上的一个向量空间，并且对?k∈F，a，b∈A有 k(ab)?(ka)b?a(kb)， (14) 则称A是数域F上的一个代数．若A作为数域F上的向量空间是有限维(无限维)的，则称代数A是有限维(无限维)的；并把F上向量空间A的维数称为代数A的维数． 因此，Hom(V，V)是数域F上的一个代数．Hom(V，V)也常记作EndV． 7.2.2 线性变换的多项式 由于线性变换的乘法满足结合律，因此?n∈N*，可以定义向量空间V的线性变换?的n次幂： n个???????????， (15) n并且约定 ?0?1V． (16) 于是易证指数法则成立： ?n?m??n?m， (?m)n??mn， m，n≥0 (17) 当线性变换?可逆时，定义?的负整数指数幂为 ??n?(??1)n． (18) 这时，指数法则可以推广到负整数指数幂的情形．请注意，一般说来，(??)n??n?n． 设?∈EndV，m是非负整数，如下表达式 am?m?am?1?m?1???a01V,ai?F,i?0,1,?,m (19) 叫做线性变换?的多项式，记成f(?)，其中f(x)??aixi?F[x]，它仍是V上的一个i?0m线性变换．V上线性变换?的所有多项式组成的集合记作F[?]．显然，F[?]是EndV的一个非空子集．

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