量子力学课后答案4.5到7.8题

xi wang

和L 的矩阵分别为 2和L 的共同表象中，算符L L4.5 设已知在Zxy

0 i0 010

2

Lx i0 i 101 Ly 22 0i 0 010

求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx和Ly对角化。

x的久期方程为 解：L

0

2

0 3 2 0

22 0

2

1 0， 2 ， 3 的本征值为0， ， ∴Lx Lx的本征方程

a1 010 a1

101 a2 a2

2 a

010 a3 3

a1 2和L 共同表象中的矩阵 的本征函数L 其中 a2 设为LZx

a3

当 1 0时，有

10 a1 0 0

101 a2 0 2 010 a3 0 a 0 2 a a，a2 0 13 0 a3 a12 0 2 a a

1

∴ 0 0

a1

由归一化条件

a1 2 **

(a,0, a)0 1 0 2a1 011

a 1

1

取 a1

2

xi wang

1 2

的本征值0 。 对应于L 0 0x

1

2

当 2 时，有

a1 010 a1

101 a2 a2

2 a 010 a3 3

2a 2 a a2 2a1

1 1

(a1 a3) a2 a2 2a3 2

a a1

a3 31

a2 2 a 1

∴ 2a1

a1

由归一化条件

1

a1

2*** 1 (a1,2a1,a1) 2a1 4a1

a1 1 取 a1

2 1

2 1

的本征值 ∴归一化的 对应于Lx

2

1

2

当 2 时，有

010 a1 a1

101 a2 a2

2 a

3 010 a3

1 a1 2 a a2 2a1

1 1 (a1 a3) a2 a2 2a3

2 a a

1 1 a3 3

a2 2

a1

∴ 2a1

a1

由归一化条件

a1 2***

1 (a1, 2a1,a1) 2a1 4a1

a1

1

取 a1

2

xi wang

1 2 1 的本征值 ∴归一化的 对应于Lx

2 1

2

表象的变换矩阵为 2和L 的共同表象变到L 由以上结果可知，从LZx 111

22 2

11

S 0 22

11 1 22 2

∴对角化的矩阵为L x SLxS

1 11 1

0 22 010 2 2

111 11010 L x 2 22 22 010 11 1 1 1 2 2 222

111

222 000

11 11

10

2 22 22 1 111 11 22 22 2

0 000 00

20 0 0 0

2 00 2 00

按照与上同样的方法可得

的本征值为0， ， L y

的归一化的本征函数为 L y

1 1

1 22 2

i i 0 0

22 1

1 1 2

22

2和 的共同表象变到L 表象的变换矩阵为 从L LZy

2 1 2 121

1 111 222 2 ii 1 S 0 S 2 22

111 1 2 22 2 利用S可使Ly对角化

0 ii2

2

1

2 1 2 1 2

000

L 0 y SLyS 0

00

xi wang

4.6. 求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为

J t

i

( * * ) ∴ J 2 i J ( * * ) 而

2

i

( 2 * * 2 ) 2

1 * *T ) ( T

i

T *) i ( *T ∴

t * ( ) T *) i ( *T

t

写成矩阵形式为

T i ( ) T t

( T )* * 0i ( ) T t

第五章 微扰理论

5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态 能量的一级修正。 解：这种分布只对r r0的区域有影响，对r r0的区域无影响。据题意知 U(r) U(r) H0

其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，即

2ze

U（ r）

4 0r

U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r r0区域， Ze2 U(r ) 4 r

在r r0区域，U(r)可由下式得出，

U(r) eEdr

r

Ze43Ze 1 r r, (r r0)233 4

34 r r4 r 0000 E

Ze (r r0) 2

4 0r

r0

U(r) eEdr eEdr rr0

Ze2r0Ze2 1 rdr dr 32

4 0r0

r

4 0

r0

r

Ze2Ze2Ze222 (r0 r) (3r02 r2) (r r0) 33

4 0r08 0r08 0r0

xi wang

Ze2Ze222

(3r0 r) (r r0) 3 H U(r) U0(r) 8 0r04 0r

0 (r r0)

H (0) 2 U(r)，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态 由于r0很小，所以H0

2

Z r Z3

a0(0)1/2

1 (3)e）

a0 (1)(0)* 1(0)d E1 1H

2Z 2 r

Z3r0Ze2Zea022

[ (3r0 r) ]e4 r2dr 3 3

4 0r a008 0r0

2Z

ra0 ∴r a0，故e 1。

r0Z4e2Z4e2r0(1)224

∴ E1 (3r0r r)dr rdr 33030

2 0a0r0 0a0

r05Z4e2Z4e225

(r0 ) r 3330

52 0a0r02 0a0

Z4e2

r2 30 10 0a0

42

2Zes2

r0 3

5a0

5.2 转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场在 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态

能量的二级修正。

解：取 的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为

2 12 L D cos H D L 2I2I (0) 1L 2, D cos ，则 H 取H 2I

(0) H H H 视为微扰，用微扰法求得此问题。 H由于电场较小，又把 (0)

的本征值为E(()) 1 ( 1) 2 H 2I

(0) 本征函数为 Y m( , )

0） (0)的基态能量为 HE（ 0，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 0

2 H (2) 0

(0) E0 (0)

E0 E

*(0) (0) 0 H 0d Y * H m( D cos )Y00sin d d

*

D Y m(cos Y00)sin d d 4 1

D Y * Ysin d d m10 34

D *

Y 0 Y10sin d d

D 1

2

E

(2)

'

H 0

2

(0)E0 E (0)

'

D2 2 2I

13 ( 1) 2

2

1

D2 2I 2

3

xi wang

i p11* 3/2 F d ()e 其中Fmk mk 32 a0

取电子电离后的动量方向为Z方向，

取 、p所在平面为xoz面，则有

r xx yy zz ( sin )(rsin cos ) ( cos )(rcos rsin sin cos cos rcos

i

p rcos 13/21e

Fmk ()e ( rsin 32i 2a0

13/21e

Fmk ()

32i2 a 0 i 2 p rcos

e ( rsin sin cos rcos cos )e r/a0r2sin drd d

000

的作用，微扰矩阵元为5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：E01及E02，现在受到微扰H

H a，H11 H22 b；a、b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 H12 21

解：由微扰公式得

(1)

E n Hnn

2

Hmn(2)'

En (0)(0)

E Emnm

(1)(1)

b b 得 E01 H11E02 H22

2 Ha2 )m1(2'

E01

E01 E0mE01 E02m

2

Ha2m1(2)'

E02

E02 E0mE02 E01m

∴ 能量的二级修正值为

2a

E1 E01 b

E E0102

a2

E2 E02 b

E02 E01

xi wang

5.4设在t 0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为 sin t， 及 均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。

解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为

4

es min hvmin E E1 22

es413.6 1.6 10 19

3.3 1015Hz vmin 342

6.62 102 h

②t 0时，氢原子处于基态，其波函数为

1 k e r/a0

3a0

i 13/2 p r

在t 时刻， m ( )e

2

e ri t

(t) e rsin t (e e i t) 微扰 H

2i

i t

F(e e i t)

e r 其中 F 2i

在t时刻跃迁到电离态的几率为

2 a(t) Wk m m

1t ei mkt dt Hmk am(t) i 0

tF i( )t

ei( mk )t )dt mk(emk

i 0 Fmkei( mk )t 1ei( mk )t 1

[ ]

mk mk 对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， Fmkei( mk )t 1

a m(t)

mk

2

F(ei( mk )t 1)(ei( mk )t 1)2mk Wk m am(t) 22 ( ) mk

4Fmk2sin21( mk )t 2( mk )2

i

p11 *F)3/2e 其中Fmkm kd (32 a0

取电子电离后的动量方向为Z方向， 取 、 p所在平面为xoz面，则有

r xx yy zz

( sin )(rsin cos ) ( cos )(rcos rsin sin cos cos rcos

Fmk (

12

)3/2

ee32i a0

1

i

p rcos

( rsin

xi wang

2 i

2 p rcos e ( rsin sin cos rcos cos )e r/a0r2sin drd d 000 i

2 p rcos 11e3/2

()e ( cos r3cos sin )e r/a0drd d

32i000a02

i p rcos 13/21e cos r/a

)2 r3e0dr[e cos sin d (0032i2 a0

iiii p rp r p rp r e cos 2 3 r/a0

re[(e e) 22(e e)]dr

03 iprpri2 2a0

e cos 16p1

23ia i2 2a00(1 p)3

2

a0 2

7/2

16pe cos (a )0

2223

(a0p )

2

4Fmksin21( mk )tW ∴ k m22

( mk )

21222275

sin128pe cos a 0( mk )t 222262

(a0p )( mk )

i

2 p rcos 11e3/2

()e ( cos r3cos sin )e r/a0drd d

32i000a02

i p rcos 13/21e cos 3 r/a0

)2 redr[ecos sin d (0032i2 a0

iiii2 p rp r p rp r e cos 3 r/a0 re[(e e ) 22(e e )]dr

3iprpri2 2a0 0

e cos 16p1

23ia i2 2a00(1 p)3

2

a0 2

7/2

16pe cos (a )0

2223

(a0p )

2

4Fmksin21( mk )tW ∴ k m22

( mk )

2222275

sin128pe cos a 02( mk )t 222262

(a0p )( mk )

Fmk (

1

)3/2

e32ia0

1

xi wang

5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即

当t 0 0,

t/

当t 0( 为大于零的参数) 0e,

求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。

解：对于2p态， 1，m可取0, 1三值，其相应的状态为 211 21 1 210

氢原子处在2p态的几率也就是从 100跃迁到 210 、 211 、 21 1的几率之和。 1t

ei mkt dt Hmk 由 am(t) i 0

* d (H e (t)rcos ) ,100 210H H 210100

*

RYe (t)rcos RYd (取方向为Z轴方向) 21101000

2 3* e (t)R21rR10drY10Y00cos sin d d 0

2 *1 e (t)fY10Y10sin d d 00

3

1 e (t)f 256*3

a0 f R21(r)R10(r)rdr

0 3

13/2213/2 4 2a0r () ()redr

02a0a0a0

114！ 255256 a a0 05 6a4

360

* d 1e (t)f H H210100 210,100

e (t)2562 a0 e (t)a0

2433

*

H211,100 e (t) 211rcos 100d

2 3* e (t)RrRdrYcos Y00sin d d 211011 000

2 3*1Y11Y10sin d d e (t)R21rR10dr000 3

= 0

* 1,100 21 H21 1H 100d

2 *

3

e (t)RrRdrY1 1cos Y00sin d d 2110 000

2 * 13

Y1 1Y10sin d d e (t)R21rR10dr

000 = 0

xi wang

由上述结果可知，W100 211 0， W100 21 1 0 ∴ W1s 2p W100 210 W100 211 W100 21 1

2

1ti 21t

,100edt W100 210 2H210

0

2t21282i 21t t / 2

2()(ea0 0)eedt

0 243

2t

i 21t

e 1

21282222

)ea0 0 2(

1 2432

221

时， 当t 212822221

)ea0 0 1s 2p 2(

1 2432

21 2

es43 es43 es211 其中 21 (E2 E1) (1 ) 33 48 a02 8

5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。

3

4es2 mk 2

解： r Amk mk

3 c3

由选择定则 1，知2s 1s是禁戒的

故只需计算2p 1s的几率

E E1

21 2

es413 es4

3(1 ) 3 22 2428 2

而 r21 x21 y21 z21

2p有三个状态，即 210, 211, 21 1 (1)先计算z的矩阵元 z rcos

*3*

(z)21m,100 R21(r)R10(r)rdr 1mcos Y00d

1 fY1*Y00d m

1 f m0

3

1

f (z)210,100

(z)211,100 0 (z) 21 1,100 0

xi wang

(2)计算x的矩阵元

x rsin cos (x)21m,100

r

sin (ei e i ) 2

1 *

R21(r)R10(r)r3dr Y1*sin (ei e i )Y00d m 20

12

f Y1*m( Y11 Y1 1)d 23

1) x)210,100 0 ( 1

f (x)211,100

6 1

f (x)21 1,100

6

1

rsin (ei e i ) (3)计算y的矩阵元 y rsin sin 2i

1 *3*i i

R(r)R(r)rdr Ysin (e e) Y00d ( y)21m,100 21101m 0 2i

1f 2( ) m1m 1

2i3

1 f( m1 m 1)

i

(y)210,100 0

i (y)211,100 f

i

(y)21 1,100 f

6

2 f2f212 1s (2 2 f) f2 r2p

663

(4)计算f

256*3

R21(r)R10(r)rdr fa0

6

3

13/2213/2 4 2a0r

) ()redr (

0 2a0aa00

114！ 255256272

a0 a0 a04 45

333a06

15222

f 9a0

3

3

4es2 21 2 r A2p 1s 21 33 c

4es23 es432152

() 9a0 33

3 c8 3 28 3e14 22s

7 103( )

3 c es2

28 e109 1

7 6s3 1.91 10s

3 c

1

5.23 10 10s 0.52 10 9s A21

xi wang

5.7 计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 解： J2p 1s N2pA2p 1s 21

28 e103 es4s

N2p 736 2 3c 8

25 2e14

N2p 6 8s3 21 10.2eV

3 c

e1025

N2p 6 3s42

3c a0

9

N 3.1 10W 2p

9

若 N2p 10，则 J21 3.1W

5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则

22 解： Amk rmk xmk

*

xmk mx kdx

1kk 1x [ k 1] 由 kk 1

22

*

m ndx mn

1kk 1

m,k 1 m,k 1] xmk [

22 m k 1时， xmk 0 即选择定则为 m m k 1

x y z i 7.1.证明：

x y y x 2i z 及 证：由对易关系

x y y x 0 ， 得 反对易关系

x y i z

z，得 上式两边乘

x y z i z2 ∵ z2 1

x y z i ∴

第七章 自旋与全同粒子

xi wang

7.2 求在自旋态 1

(Sz)中，S x和S y

的测不准关系：

( S2x)( Sy)2 ?

解：在

S z表象中 1(S2z)、S x、S y

的矩阵表示分别为

1 01 0 i 1( Sz) 0 S x 2 10 S y

2 i0 ∴ 在 1(Sz)态中

2

SS 01 x 1x 1 (1 0)2 10 1 0

0 22

S2 01 x 1S 2

01 1 2x 1 (1 0)

2 10 2 10 0 4 ( S2S2

2 2x) x Sx 4 S 0 i 1 y 1S y 1 (1 0)2

i0 0

0 S2 0 i 0 i 1 y S 2

2y (1 0)

2 i0 2 i0 0 4 2 ( S2 S2

2y)y Sy 4 ( S)2( S2

4

xy)

16 讨论：由S x、S y的对易关系 [S x，S y] i S z 要求(

S)2( S)2 2

S2z

xy

4

在

1(Sz)态中，Sz

22

∴ ( S 422

x)( Sy)

16 可见①式符合上式的要求。

①

xi wang

的久期方程为 解：Sx

2 0 2 ( )2 0 22

2 的本征值为 。 ∴ Sx 2

a1

设对应于本征值的本征函数为 1/2 b 2 1

01 a1 a1 ，得 10 b 2 b 由本征方程 Sx1/21/22 11 2

b1 a1

a b b1 a1

1 1

a** 1 (a,a)11 1由归一化条件 1/2 1/2 1，得 a 1

112

即 2a1 1 ∴ a1 b1 22

1 1

对应于本征值的本征函数为 1/2 1 22

a2

的本征函数为 1/2 设对应于本征值 b2 2

b2 a2 a 2 1/2 由本征方程 S b2 a2 x 1/2 a b 2 2 2 b2 由归一化条件，得

a ** 2 (a2, a2) 1 a2

112

即 2a2 1 ∴ a2 b 2 22

1 1

对应于本征值 的本征函数为 1/2 1 22

的本征值为 。其相应的本征函数分别为 同理可求得Sy

2

7.3.求S及Sxy 2 10 2 i的本征函数。

01 0

i

的本征值和所属0

1

1 1 i2

1

1 1 i2

xi wang

7.4 求自旋角动量(cos ,cos ,cos )方向的投影

S cos S cos S cos Snxyz

本征值和所属的本征函数。

有哪些可能值？这些可 在这些本征态中，测量Sz

的平均值是多少？ 能值各以多大的几率出现？Sz

表象，S 的矩阵元为 解：在Szn 01 0 i 10 Scos cos cos n2 10 2 i0 2 0 1 cos cos icos

S n2 cos icos cos

其相应的久期方程

cos (cos icos ) 22 0

(cos icos ) cos 22 22

2222

cos (cos cos ) 0即 44 22

(利用cos2 cos2 cos2 1) 0

4

的本征值为 。 所以Sn

2

a 设对应于S 的本征函数的矩阵表示为 (S) n ，2 b

则

cos cos icos a a cos 2 cos icos b 2 b

a(cos icos ) bcos b cos icos

b

1 cos

由归一化条件，得

2

n

1

xi wang

a 22

1 1 1 (a,b) a b b

*

*

22 2

cos icos 22a 1a a 11 cos 1 cos

co sco s ico s

取 a ，得 b 22(1 co s) 1 cos

1 1(S

n)

cos icos

2

2(1 cos )

cos 1 cos icos 0 (Sn) 2 2(1 cos ) 0 1 cos cos icos 11 22(1 cos)22

的可能值为 可见， S z

22

1 cos cos2 cos2 1 cos

相应的几率为 22(1 cos )2

1 cos 1 cos z cos

22222

同理可求得 对应于Sn 的本征函数为

2

1 cos

2 (S) 1n cos icos

2(1 cos )

的可能值为 在此态中， Sz

22

1 cos 1 cos

相应的几率为

22

z cos

2

1

R21(r)Y11( , )

7.5设氢的状态是 2

3 R(r)Y( , ) 2110

2

的平均值； 和自旋角动量z分量S ①求轨道角动量z分量L zz

e e

L S ②求总磁矩 M

2

的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。

xi wang

解：ψ可改写成

②

1 0 1 R21(r)Y11( , ) 0 2R21(r)Y10( , ) 1 2

13 R21(r)Y11( , ) 1(Sz) R21(r)Y10( , ) 1(Sz)

22 22

的可能值为 0 从 ψ的表达式中可看出Lz

13

相应的几率为

44

z

4

的可能值为 Sz

22

132

相应的几率Ci为

44

1 3 2

z CiSzi

24244

eee e z z ( ) z 2 2 4 4

e 1

MB

2 44

7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

j，则体系可能的状态为 1i1i2i3 2j1j2j3 1 [ i(q1) i(q2) j(q3) i(q1) i(q3) j 3

3

i(q2) i(q3) j(q1)]

1

[j(q1)j(q2)i(q3) j(q1)j(q3)i(q2) 4

解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为 i，

(q) (q) (q)

(q) (q) (q)

(q2)

j(q2) j(q3) i(q1)]

xi wang

(1)(2)(3)

7.7 证明 S和 A组成的正交归一系。 , S, S

(1) (1)解： S S [ 1/2(S1z) 1/2(S2z)] [ 1/2(S1z) 1/2(S2z)]

1 /2(S2z) 1 /2(S1z) 1/2(S1z) 1/2(S2z) 1 /2(S2z) 1/2(S2z ) = 1 (1) (2) S S [ 1/2(S1z) 1/2(S2z)] [ 1/2(S1z) 1/2(S2z)]

(1) (3) S S

1 /2(S2z) 1 /2(S1z) 1/2(S1z) 1/2(S2 z) = 0

1 [ 1/2(S1z) 1/2(S2z)]

2

[ 1/2(S1z) 1/2(S2z) 1/2(S1z) 1/2(S2z)]2

1 /2(S2z) 1 /2(S1z) 1/2(S1z) 1/2(S2z)]1 [ 1 /2(S2z) 1/2(S2z) 0 ] = 0 2

1

1

[ 1 /2(S2z) 1 /2(S1z) 1/2(S1z) 1/2(S2z)

同理可证其它的正交归一关系。

(3) (3)

S S [ 1/2(S1z) 1/2(S2z) 1/2(S1z) 1/2(S2z)]

2

[ 1/2(S1z) 1/2(S2z) 1/2(S1z) 1/2(S2z)]

1

[ 1/2(S1z) 1/2(S2z)] [ 1/2(S1z) 1/2(S2z)]

2 1

[ 1/2(S1z) 1/2(S2z)] [ 1/2(S2z) 1/2(S1z)]

2 1

[ 1/2(S2z) 1/2(S1z)] [ 1/2(S1z) 1/2(S1z)]

2 1

[ 1/2(S2z) 1/2(S1z)] [ 1/2(S2z) 1/2(S1z)]

2 11

0 0 1

22

1

7.8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r) 2r2。

2

如果电子之间的库仑能和U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另

一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。

解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程

2 (r) U(r) (r) E (r)2

2 2 2 21 (2 2 2) (r) 2r2 (r) E (r)2 x y z2

xi wang

考虑到 r2 x2 y2 z2，令 2

2 2 21 (2 2 2)XYZ 2(x2 y2 z2)XYZ EXYZ2 2 y z x 21 2X1 21 2Y122( x) ( 2y2)22

2 X x22 Y x2

21 2Z122

( z)

E 2

2 Z x2 21 2X122 ( x) Ex

2 2 X x2

22

1 Y122 ( y) Ey

2

2 Y x2

xy 21 2Z122

z) Ez

( 2 Z x22

1

2x2

Xn(x) Nne2Hn( x) 1

2y2

Ym(y) Nme2Hm( y)

1

2z2

Z (z) N e2H ( z)

1

2r2

(r) NNNe2H( x)H( y)H( z)

Enm (n m 3) 其中 Nn ， 1/2n 2n!

对于基态n m 0，H0 1 1

2r2 0 000(r) ()3/2e2

对于沿χ方向的第一激发态n 1，m 0，

H（1x) 2 x

1 2r22 5/2

E E E Ez

1 100(r)

2 3/4

xe

2

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