合肥工业大学合工大模拟第一套

合工大模拟第一套

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） (1) 设

?113f(x)??x?f(x)dx，则?4f(x)dx＝ 2001?x(2) 设微分方程

dy114?p(x)y?f(x)有两个特解y1??x2，y2??x2?2，则方程的通解为 dx44x?2fy22(3) 设f(x?y,)?x?y，则＝

?x?yx(2?tanx)10?(2?sinx)10(4) lim＝

x?0sinx(5) 设A是3阶正交阵，|A|?0，B是3阶矩阵，且|B?A|＝－4。则|E?AB|＝ T?a(x?b)e?x，x?0(6) 设随机变量X的密度函数f(x)??，在x?1处取得最大值，则P?X?1?＝

x?0? 0，二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所

选项前的字母填在题后的括号内。） (7) 设偶函数f(x)二阶可导，且f??(0)?0，则点x?0（ ）

（A）不一定是f(x)的极值点 （C）是f(x)的极小值点

（B）不是f(x)的极值点 （D）是f(x)的极大值点

(8) 设f(0)?2，f?(x)在[0,4]上的图形如下，其中三块面积S1＝3，S2＝4，S3＝2，则f(x)在[0,4]上的最大

值与最小值为（ ） y y?f?(x)

S2 O S1 1 3

（A）3，－4

4 S3 x （B）5，－1 （C）5，－4 （D）3,－1

?(?1)n1?(9) 对于??pn3?pn?1?n???，下列结论正确的是（ ） ?

（B）p?1时，极数收敛 （D）1?p?2，极数绝对收敛

2（A）p?0时，级数收敛

（C）0?p?2时，级数绝对收敛 (10) 设平面区域D:x?y?1，记I1?（ ）

22322?(x??(x?y)d?,I2???cosxsinyd?,I1???(eDDD?y2)?1)d?，则有

1

（A）I1?I2?I3 （B）I3?I1?I2 （C）I1?I3?I2 （D）I2?I3?I1

(11) 设?1,?2,?3是三元线性方程组Ax??的三个线性无关的解，则正确的结论是（ ）

（A）?1??2,?2??3,?3??1是Ax?0的基础解系 （B）k(?1?2?2??3)是Ax?0的通解

（C）k1?1?k2?2?k3?3（其中k1?k2?k3?0）是Ax?0的通解 （D）?1,?2??3是Ax?0的基础解系

(12) n(n?1)阶方阵A的各行元素之和为0，则A的伴随阵A?0，则r(A)＝（ ）

（A）1

（B）n

（C）n－1

（D）n－2

*(13) 设A，B为两个随机事件，且0

?1(14) 设X??1??32??0,Y??12???3??21?1，P(X?Y?2)?，则有（ ） 1??32?（A）P(X?Y)?1121 （B）P(X?Y)? （C）P(X?Y?1)? （D）P(X?Y?1)? 3632三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） (15) （本题满分12分）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有2阶连续导数

1）写出f(x)在

a?b处的一阶泰勒展开式； 22(b?a)?a?b??f(a)?f??(?)； 2）证明至少???(a,b)使f(b)?2f??4?2?(b?a)?a?b????(a,b)f(b)?f(a)?f??(?) ?03）若f??，则至少，使?4?2?(16) （本题满分11分） 初始质量为m0g，在空气中自由落下的雨点均匀地蒸发着，设每秒蒸发Ag，空气的

阻力与雨点的速度成正比，试求雨点的运动速度与时间的关系。

(17) （本题满分11分） 求一个可微函数P(x,y)适合P(0,1)?1，并使曲线积分：

2 2

23I1??(3xy2?x3)dx?P(x,y)dy及I2??P(x,y)dx?(3xy?x)dy都与积分路径无关。

LL(18) （本题满分12分） 设曲线y?为自然数。

x1x与直线和在第一象限内围成的面积为I(n)，其中ny?y?(n?1)4x3n42n?11）求证I(n)?2； 2n(n?1)2）求级数

?I(n)的和。

n?1??z?x2?2y2(19) （本题满分12分）求空间曲线?:?的最大和最小的z坐标值。 22?z?6?2x?y?1111??11?1?1??， (20) （本题满分9分）设A???1?11?1????1?1?11?1）求A(n?2,3,?)；

n2）若方阵B满足A?AB?A?E，求B

2(21) （本题满分9分）A为n阶实矩阵，证明：

1）A与AT有相同的特征值；

2）A与AT同一特征值是否有相同的特征向量，举例说明； 3）证明A与A不同的特征值所对应的特征向量正交。

(22) （本题满分9分）设随机变量X与Y独立且同分布，其密度函数均为f(x)，当x?(0,1)时，xf?(x)?2f(x)；

当x?(0,1)时，f(x)?0。求

T1）f(x)； 2）分布函数F(x)； 3）E(F(x))；4）P?XY???1?? 2?(23) （本题满分9分）在总体X?N(20,4)中，分别抽取容量为72的两独立样本，其样本均值分别为X,Y，

样本方差分别为SX,SY，则

1）求P?|X?Y|??；(?(1)?0.8413)；

22?72?(X?20)?(Y?20)??2SX?SY222??1?3?2）问Z?服从何分布？

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