SV模型综述

SV模型综述

引言

波动性建模是金融市场近几十年来的热点问题。在波动率模型中，有两类模型的应用最为广泛：自回归条件异方差模型(ARCH)和随机波动模型(SV)。前者将波动率视为过去信息集的确定函数，即波动率是滞后平方观测值和前期方差的函数；后者则认为波动率由潜在的不可观测的随机过程所决定，即在波动率方程中引入一个新的随机变量，该变量可能服从马尔科夫过程，随机游走或其他。

SV中新的随机变量的引入，使得无论是从长期波动性的预测能力来看，还是从波动率序列的稳定性，抑或对资产定价理论的应用来看，它都是优于ARCH类模型的。但是，也正是因为SV模型中包含着潜在变量，涉及的似然函数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求解。基于贝叶斯的MCMC模拟为SV模型的估计提供了切实可行的方法。计量的大多数模型可以通过Eviews等常见软件得以估计和检验，而基于贝叶斯的MCMC方法则要求助于新的软件包WINBUGS。

波动性的类型

理论上界定和推证了随机波动是收益率的方差,就需要在实证上获得收益率的数据来建模、检验和诠释。在成熟的金融市场上，存在三类可获得数据的波动性:

一是历史波动(historical volatility),就是目标资产在研究视线窗内客观的历史数据表现出的波动特征。这是普遍和基础数据，也是早期研究的重点，适用于AR、ARMA、ARCH、GARCH、SV;

二是隐含波动(implied volatility),在金融期权的定价模型中,波动率的估计和预测值是一个重要的影响变量。反过来，从实际交易中获得期权的价格数据,可以倒算推导出暗含在期权价格、持有期限、执行价格等条件下波动率的值,这就是隐含波动。（用BS公式根据当期价格，到期价格反解）这一过程,常常通过Black-Scholes公式求解,或通过二叉数模型来实现;

三是现实波动(realisedvolatility),又称高频数据(high frequency data)波动,是指由于信息技术手段的提高,可获得金融市场一天内(intraday)的交易数据,如5 min、10 min而呈现出的波动。（RV）高频数据的使用极大地提高了在不依赖直接模型条件下直接观测潜在波动的可能,也从实践上支撑并推动了SV模型、连续波动性研究,同时为随机波动研究在金融市场的微观结构方面的应用提供了保障。

波动性的特征

在金融理论研究和实际应用中，考虑到正态分布的普遍性和易处理性，最初人们经常假设资产的收益率服从正态分布。但是后来Malldelbrot、Fama n61等在实证研究中发现：资产收益率的实际分布往往呈现出超常峰态，其峰度值一般介于4到50之间，远远超过正态分布的标准指标。同时与正态分布(或指数分布)

相比，在分布的尾部有更多的观测值或尾部区域有更大的面积，亦即收益率发生大变化的可能性要比用正态分布预测的可能性大。正态分布的尾部是按指数形式衰减到零，而资产

收益率的实际分布的尾部通常是按幂函数的形式衰减到零。在金融统计学中把这种尾部比正态分布预言的更厚，围绕均值的峰部比正态分布预言的更高的分布称为尖峰厚尾分布。金融资产收益率尖峰厚尾的特点导致了其波动具有一些典型的特征。

①聚集性

Malldelbrot、 Fama等人在实证研究发现：资产收益率大的波动后面往往跟随着大的波动，小的波动后面往往跟随着小的波动。Malldelbrot将这种现象称为波动的聚集性。事实上资产收益率波动的聚集性与资产收益率的厚尾性是紧密相关的。而后者是一种静态解释，ARCH模型描述的则是动态的(条件)波动行为与(无条件)厚尾之间的关系。SV模型在本质上也是为描述波动聚集性而建立的。

②杠杆效应

Black在对股市的研究中发现了所谓的“杠杆效应”，即股价运动与波动呈现出负相关的关系。Black、Christien对这种现象提出了一种解释，认为下降的股价将提高资产负债比(即所谓的财务杠杆)，因此提高了公司的风险，从而导致未来波动的上升。在八十年代，French等、Canlpbeli和Henstscheln1又提出了波动反馈效应(Volatility Feedback Effect)，认为在股市上，当前波动与未来收益是正相关的。

③长记忆性

有效市场假说(EMH)认为，资产价格应该遵循一个鞅模式，它包含两层含义：一是以历史价格信息为条件的资产价格变化的期望是零；二是资产各期的价格变化之间是不相关的。然而，越来越多的实证研究发现，资产价格或收益率序列的各个观测值之间并非不相关。相反，在相隔较远的两个观测值之间仍会表现出某种相关性，并且在对收益率的波动序列的研究中，也发现了类似的特征。这种相关性的一个体现就是波动序列的自相关函数呈现出一种缓慢的衰减模式，如以双曲线形式衰减到零，这种现象被称之为长记忆性。如果一个波动序列具有长记忆性，则说明该序列的观测值之间是不独立的，用过去的波动值可以预测将来的波动值。

④隐含波动的微笑现象

隐含波动是指期权价格中所隐含的波动。在期权定价公式中，如Black．Scholes模型，给出了期权价格与标的资产价格、期权的执行价格、到期时间、无风险利率及波动之间的关系。如果这些变量已知，就可以利用期权定价公式来计算期权的价格。这些变量中，只有波动不能直接观察到，必须进行估计。由于期权价格是可以获得的，所以通过反解期权定价公式，可以得到波动与期权价格及其他变量之间的解析函数关系。尽管有时得不到明确的解析表达式，但仍可以通过数值算法计算出波动，这样得到的波动就是隐含波动。同一个标的资产可能会有几个不同执行价格和不同到期日的期权，那么这几个期权的定价就会不同，从而计算得到不同的波动。也就是说，对同一个标的资产得到不同的隐含波动。这种隐含波动与执行价格、到期时间之间的关系通常被称为波动的“微笑”现象。这一名称得名于图形中显示出来的U型曲线。

SV模型

Tay lor( 1982) , Tauchen & Pitt s( 1983) 先后应用随机波动原理到金融时间序列分析中, 形成SV模型 。

基本的随机波动模型为：

其中yt表示均值去除后的收益，εt、υt分别为收益序列和波动序列的扰动，δ 反映波动率的持续性。基本SV 是在一些严格的假设下提出的，它包含着以下假设：首先，收益的扰动εt 服从正态分布，进而收益序列也服从正态分布；其次，εt 与υt之间不相关。

1986年Taylor在其发表的文章中将h简化为一个一阶自回归(AR(1))过程，得到一种离散时间的SV模型：

yt??t?tlog?t2????log?t2?1?vt

但是，这些理想的假设与现实往往不符合，于是，有学者从各个方面提出对上述基本模型的扩展。

带厚尾的随机波动模型：

Jacquier、Nicholas 等（2004）扩展了SV 模型，将服从t 分布的收益残差序列引入进来，即εt~t（ω）。εt服从自由度为ω 的t分布，其他参数不变：εt~t（ω），υt ~N（0，ζυ2），εt 与υt不相关。t 分布的引入能解释收益率的厚尾特征，却无法解释收益率自身的非对称性。

Cappuccio、Lubian（2004）提出了基于另外一种厚尾分布的偏GED 随机波动模型（偏GED- SV），不仅对收益序列的厚尾性，还能对它的非对称性进行刻画。在收益残差序列用t 分布或GED 分布来测度其尖峰厚尾性时，与实际中典型的金融时间序列相比，其峰度还是偏低。Bovas、Ranjini 等（2006）还提出一种刻画尖峰厚尾性的伽马随机波动模型（Γ- SV），其形式为：

ht 是伽马随机变量，其密度函数为：

非对称的随机波动模型

有学者发现在牛市和熊市中，收益的条件均值明显依赖于前期的涨跌，方差对过去收益的反映也是非对称的，在坏消息影响下的方差比好消息情况下趋于更大，即所谓的杠杆效应。基本SV 模型中假设收益和波动过程的误差项是两个相互独立的过程，因此没有考虑到金融市场尤其是股票市场上的杠杆效应。Jacquier、Nicholas、Polson、Rossi（2003）利用MCMC 方法分析了ASV，即收益冲击εt 和波动冲击υt之间存在相关关系，从而对杠杆效应进行了分析，模型以及其他参数关系不变：

。这些方法大致上可以分成三类：第一类方法以传统的参数估计方法为基础，用近似的方法或者模拟的方法构造模型的似然函数和无条件矩。前者包括伪极大似然估计(QML)、广义矩估计(GMM)等，后者包括模拟极大似然估计(SML)、非线性滤波极大似然法(NFML)等；第二类方法通过引入一个辅助模型(如GARCH模型)或半参数方法间接地估计SV模型，包括有效矩估计法(EMM)和间接推断法等；第三类方法是基于贝叶斯原理的参数后验分布的分析，但是因为高维积分的原因，参数的后验均值和标准差的计算极为困难。随着马尔科夫蒙特卡罗(MCMC)模拟技术的发展和计算机能力的提高，后验分布计算上的困难得以克服，使得这种方法得到越来越广泛的应用。

下面简要讨论SV模型的各种参数估计方法。

①矩类估计方法

最简单的矩类方法就是传统的矩估计方法，Taylor汹1使用这种方法对SV模型进行了参数估计。后来Melino和Tumbull哺1提出使用GMM估计ARSV(1)模型。GMM方法的核心思想是使相应的样本矩收敛于其总体矩，从而估计出未知参数。在这种方法中需要引入一个权重矩阵以解决使不同的矩条件都尽可能得到满足的问题。Andersen和Sorensen‘11指出，权重矩阵的估计精度对GMM估计量的精度有重要影响，并且提出了一种改进的GMM。矩类估计方法的最大优点就是简单，易于计算，得到的估计量具有一致性和渐近正态性，因此在SV模型中得到了广泛的应用。但是，它也有很多不足的地方：首先，这类方法的估计量的有限样本特性较差

并且只能估计出ARSV(1)模型中的未知参数秒，而不能像其他方法那样同时得到隐含波动h的估计值。其次，尽管在ARSV(1)模型中存在着大量的矩条件，但在参数估计时只能猜测应用哪些具体的矩条件，从而影响估计的精度。 @)QML方法

ARSV(1)模型参数估计的QML方法是由Ruiz等1321 Harvey等¨31提出的。这种方法的思路是：首先，将模型(2．12)转化成如下的线性状态空间的形式，】og◇；)=啊+iog(G0t=l，?，T (2．14a) h，=口+卢易，一l+r／，，1=1，?，丁(2·14b)其中，log(e?)服从自由度为1的对数z2

分布，其均值和方差分别为--1．27和7／\／2。然后，假设log(s?)服从正态分布，则可以对模型(2-14)应用Kalman滤波，得到伪似然函数

l。g￡(1。g◇m))：一了Tl092zr-吾壹logf一昙壹孚(2-15)

其中，p，表示log(y；)的一步预测的误差，f为其相应的方差。使式(2．15)极

大化，利用数值计算方法就可以得到参数秒的估计值。然而，认为log仁?)服从

正态分布的假设在某砦情况下可能是非常不合适的，这种近似效果的好坏取决9于参数的真实值并且随

着波动方程(2-14b)中扰动项77，的方差盯；的减小而变坏。同时，在将模型(2-12)转化为线

性状态空间形式的过程中，如果Y，的值接近于零，则log(y,2)为一个很大的负数。

特别是当y，等于零时，则无法定义

log(y,z)。为了解决这个问题，Fuller‘181提出了如下的修正方法

小log¨嚣2)一寿

(2-16)

其中，S2是Y，的样本方差，f是一个很小的常数。许多文献中，假定f等于O．02。另外，使用传统数值方法优化式(2-1 5)得到的模型参数0的估计值的精度往往不是很高。为了改善QML方法的估计精度，张世英、苏卫东‘3\将禁忌遗传算法引入到对式(2．15)的优化中，从而得到模型参数0的估计值。模拟实验表明，基于禁忌遗传算法的QML方法的估计效果与GMM相当，接近于MCMC方法。使用QML方法估计出ARSV模型的参数后，可以使用基于Kalmam滤波的算法进一步得到隐含波动h，的平滑估计，但是这样得到的估计量是最小线性均方估计量(}、d^皿SE)而不是最小均方估计量(MMSE)。QML方法的最大特点是灵活、应用广泛，可以直接应用于“厚尾”SV模型和具有“杠杆效应\的SV模型，而且这种方法得到的估计量具有一致性和渐近正态性。

(查)MCMC方法

ARSV(1)模型参数估计的MCMC方法是由Shephard阳’、Jacquier等n钉

分别独立提出的。这种方法将模型中的未知参数秒=k，厉盯。2)与隐含的波动变

量h=(办l，．一，h丁)一起看作是未知变量万=(臼，h)，根据Bayes理论得到后验分布 石(万l Y)。继而构造一个平稳分布为万(万I Y)的马尔可夫链并从中抽取出大量样

本来估计出模型的未知参数。

在构造稳分布为万(万I y)的马尔可夫链时最常使用的是Gibbs抽样算法，这

种算法中的关键步骤是从厂伪l Y，0)中抽取出h，由于h是包含r个分量的向量，

所以这一步算法比较复杂。单元素Gibbs抽样算法将h的丁个分量分解，逐个

从厂(办，I h一，弘口)中抽取出h，。但是由于h，是高度自相关的，所以算法的收敛速

度很慢而且效率不高。Kim等n\提出了一种一次性抽取整个h的算法，大致的 思路是：首先，同QML方法一样，将模型(2．12)转化成线性状态空间形式的 模型(2．14)并用条件正态线性状态空间模型近似模型(2．14)：然后，利用 Kalman滤波和the Simulation Signal Smoother乜¨方法抽取h的样本：最后，再 对抽取的样本进行“重新加权”来纠正近似带来的误差。这种算法具有MC误

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第二章sv模型及其参数估计方法综述

差低的特点，但比较复杂，特别是在抽取h时利用了The Simulation Signal Smoother方法，使得计算量比较大。刘凤芹、吴喜之“¨在Kim等算法的基础 上提出了一种基于“前向滤波，后向抽样\的抽取h的方法。模拟试验表明， 这种算法在保持Kim等算法优点的同时，大大降低了计算量。 MCMC方法的最大优势在于可以同时得到模型参数0的估计值和隐含波动 h的平滑估计。另外，当模拟的抽样足够多时，所得的估计量的渐近分布与极 大似然估计量的分布相同。这种方法的最大缺点时算法较为复杂，需要较多的 计算。

目前，MCMC方法已经由Chib等‘91、Meyer等n嵋扩展到用于“厚尾”Sv 模型和具有“杠杆效应”的SV模型。 @SML方法

SML方法最初是由Danielsson和Richard n21提出的用于动态模型的参数估 计方法，后来Danieisson n¨将其用于ARSV(1)模型。这种方法对式(2．13) 中的积分用重要抽样函数(important sampling function)的方法来计算，并对其

关于参数0=(口，∥，仃：}求最大化，得到参数的估计值。最初SML方法无法实现

隐含波动h的平滑估计，后来Liesenfield和Richard乜们解决了这一问题。 SML方法得到的估计量与极大似然方法得到的估计量具有相同的渐近分 布。这种方法的缺陷是，由于采用了间接的方法计算了ARSV模型的似然函数， 因此无法衡量所得到的近似值的准确性。 ⑤EMM方法

EMM方法是由Bansal‘31，Gallant和Tanchen“”提出的一种适用于含有动 态潜在变量模型的参数估计方法。这种方法以Duffle和Singleton¨31提出的模 拟矩方法为基础并加以扩展，既具有极大似然估计法的有效性又具有GMM方

法的灵活性。这种方法主要分为两步。第一步，选择一个近似于原模型的辅助 模型，并用极大似然方法估计出辅助模型的参数：第二步，由极大似然方法得 到的参数估计量产生模拟数据，以辅助模型刻度向量(score vector)为矩条件 进行模拟矩估计。Anderson等“1的模拟试验表明，在小样本估计中，EMM比 GMM效率更高，但不如MCMC方法；对于大样本情况，EMM和MCMC方法 具有同样的效率。

EMM得到的估计量具有一致性和渐近正态性。主要缺陷是EMM需要很大 的计算量。 (9NFML方法

ARSV(1)模型参数估计的NFML方法是由Watanabe|疗1提出的。这种方

第二章SV模型及其参数估计方法综述

法使用ARSV模型中对数波动的条件密度函数和观测到的数据序列{y，)，用非

线性滤波方法得到精确的似然函数，进而得到模型参数O的估计值，并且同样 可以得到隐含波动h的平滑估计。但是同QML方法一样，这样得到的估计量是

最小线性均方估计量(MMI．SE)而不是最小均方估计量(MMSE)。

NFML方法的优点是它建立在精确的似然函数基础上，计算所花费的时间 也较少，并且克服了QML方法对模型线性状态空间形式的限制。主要缺点是 估计精度依赖于节点位置的选取，如果节点未知选取不当，会导致不佳的估计 效果，并且这种算法的收敛性较差。 ⑦经验特征函数方法

张世英、孟利峰“们借助经验特征函数方法对ARSV(1)模型和具有“杠 杆效应”的SV模型进行了参数估计。经验特征函数方法的基本原理是利用特 征函数和分布函数之间存在的一一对应的关系，由模型获得的特征函数去匹配 由观测数据得到的经验特征函数，进而得到参数的估计值。

经验特征函数方法得到的估计量具有一致性和渐近正态性。但由于这种方 法在估计的参数中去除了隐含波动变量h，因此不能直接得到这些变量的估计 值。

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