2.5.2等比数列前n项和的性质

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数

列

等比数列的前n项和的性质

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复习回顾 引入新课1、等比数列前n项和公式: q 1 , na1 na1 S n a1 a1 q n 或 Sn a1 a n q q 1。 1-q 1-q 2、数学思想：整体代入法 。 3、两个求和方法： (1)拆项分组求和法； (2)错位相减求和法；

q 1 , q 1。

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课前练习1、数列 1 ,a,a , ,a , 的前n项和为( D )2 n 1

1 an A. 1 a

1 a n 1 B. 1 a

1 a n 1 C. 1 a

D.以上均不正确

2、若等比数列{a n }的前n项和为S n , 则数列{ S n }中( D )A.任意一项都不为0 C.至多有有限项为0B.必有一项为0

D.可以有无数项为0n

3、若等比数列{a n }的前n项和S n 2 1 ,数列{bn }满足： bn a n ,则{bn }的前那n项和Tn 2

1 n (4 1) 。 3

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合作探究 形成规律探究一：a1 n a1 a1 a1 q n Sn q Sn 1-q 1-q 1-q这个形式和等比 数列等价吗？

a1 令A 0 则：S n Aq n - A 1-q

等比数列前n项和的性质一：

数列{a n }是等比数列 类似结论： 相反 数列{a n }是等比数列 数 S n Aan B( AB 0, A 1)

S n Aq n - A( A 0)

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例题讲解1、若等比数列{a n }的前n项和S n 4 n a,求a的值。提示：

S n Aq n - A( A 0)

系数和常数互为相反数

a 1

变式练习1、若等比数列{a n }的前n项和S n 3 n 1 2a,求a的值。1 1 1 n 化简到：S n 3 2a 2a 0 a 3 3 6

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探究二：我们知道，等差数列有这样的性质：如果 a n 为等差数列，则S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 也成等差数列。

新的等差数列首项为S k,公差为k 2 d。那么，在等比数列重，也有类似的性质吗？

等比数列前n项和的性质二：怎么 证明 ？

如果 a n 为等比数列，则S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 也成等比数列。

新等比数列首项为S k,公比为q 。k

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例题讲解2、等比数列{a n }的前n项和为S n,若S m 10,S 2 m 30, 求S 3m的值。解 S m,S 2 m - S m,S 3m - S 2 m 成等比数列 ：

( S 2 m - S m ) S m ( S 3m - S 2 m )2

即： (30 - 10) 2 10 ( S 3m - 30)解得：S 3m 70

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例题讲解

S10 31 3、等比数列{a n }的前n项和为S n,a1 1, 若 , S 5 32 S15 求 的值。 S10:

S10 31 解 S 32 5

设S10 31k , S 5 32k (k 0)

S 5,S10 - S 5,S15 - S10 成等比数列

( S10 - S 5 ) 2 S 5 ( S15 - S10 ) 993 2 k 即： (31k - 32k ) 32k ( S15 - 31k ) 解得：S15 32

S15 993 S10 992

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变式训练2、等比数列{a n }的前n项和为S n,若S10 20, S 20 80,则S 30 260

。

3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X、Y、Z,则下列等式中恒成立的是(

D) A.X+Z=2Y C.Y2=XZ B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X) 210

4、书上第58页，第2题。

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等比数列前n项和的性质三：若等比数列 a n 共有2n项，则：

S偶 S奇

q

怎么 证明 ？

等比数列前n项和的性质四：如果 a n 为公比为q的等比数列，对 m、p N 有：

S m p S m q S pm

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例题讲解1 4、若等比数列{a n }的公比为 ，且a1 a3 a99 60, 3 则{a n }的前100项和为 80 。解 ：令X a1 a3 a99 60 Y a 2 a 4 a100 则S100 X Y

Y 1 由等比数列前n项和性质知： q X 3

Y 20

即：S100 X Y 80

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变式训练5、已知一个等比数列其首项是1,项数是偶数，所有奇 数项和是85,所有偶数项和是170,求此数列的项数？ 提示：

q

S偶 S奇

170 2 85

S n S 偶 S 奇 170 85 255由等比数列前n项和公式得：1 2 255 1-2n

n 8

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5、在等比数列{a n }中，a1 a n 66,a 2 a n 1 128, 前n项和S n 126,求n及公比q。解 ：

a1 a n a 2 a n 1 128又有a1 a n 66两式联立解得：

a1 2 a1 64 或 a n 64 a n 2 显然，q 1。

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(1)当a1 2,a n 64时有：

2 - 64q Sn 126 1 q

a1 a n q Sn 1-q

解得：q 2又a n a1 qn 1

得：64 2 2

n 1

解得：n 6(2)当a1 64,a n 2时, 同理可得：1 综上所述：n 6,q 或2。 2

1 q ,n 6 2

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6、已知等比数列{a n }前n项和为S n,若a 2 a3 2a1, 5 且a 4 与2a 7的等差中项为 ，求S 5。 4

S 5 31S 3 7,求S 5。

7、已知正项等比数列{a n }前n项和为S n,若a 2 a 4 1 ,

31 S5 4

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8、已知数列{a n }的前n项和S n 满足：S n 4a n 2, 求数列{a n }的通项公式。

2 4 n 1 an ( ) 3 3

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小结：等差数列前n项和的性质： ① 数列{ a n }是等比数列 S n Aq n - A( A 0)② a n 为等比数列 S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 也成等比数列。且新等比数列首项为S k,公比为q k 。

③ 若等比数列 a n 共有2n项，则：

S偶 S奇

q

如果 a 为公比为 q 的等比数列 ， 对 m 、 p N 有： ④ n

S m p S m q S pm

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课后作业

课本第62页，习题2.5 B组，第2题、第5题。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/udf1.html