浙江省十二校新高考研究联盟2012届第一次联考数学（理）试题

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浙江省十二校新高考研究联盟2012届第一次联考

数学（理科）试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 棱柱的体积公式 P?A?B??P?A??P?B? V?Sh

如果事件A，B相互独立，那么 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 P?A?B??P?A??P?B? 棱锥的体积公式

1如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?Sh

3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高

kkPn?k??Cnp?1?k?n?k,?k?0,1,2,?,n? 棱台的体积公式

1球的表面积公式 S?4?R2 V?hS1?S1S2?S2

34球的体积公式 V??R3 其中S1,S2分别表示棱台的上底、下底面积，

3 其中R表示球的半径 h表示棱台的高

??第I卷(选择题 共50分)

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。）

?12?x,x?0，1．已知函数f(x)??则f[f(?4)]? ( )

1x?(),x?0，?211A．?4 B．4 C．? D．

44a?1“2?0”2．设a?R.则 是“a?1”成立的 ( ) a?a?1A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件

3．设m,n是两条异面直线，下列命题中正确的是 ( ) A．过m且与n平行的平面有且只有一个 B．过m且与n垂直的平面有且只有一个 C．m与n所成的角的范围是?0，??

D．过空间一点P与m、n均平行的的平面有且只有一个

4． 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出四个函数： f1?x??2log2x，f2?x??log2?x?2?，f3(x)?（log2x），

2f4(x)?log2?2x?. 则“同形”函数是

( )

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A．f1?x?与f2?x?

C．f1?x?与f4?x? D．f2?x?与f4?x? A．62

C．254

B．126 D．510

B．f2?x?与f3?x?

( )

开始 5．右面的程序框图输出的数值为

n?1,S?0 6．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为?，则E?为 ( ) A．1 B．1.5 C．2

D．2.5

n?6? 是 否 输出S x2y27．P是双曲线??1的右支上一点，点M,N分别是

916圆(x?5)?y?4和(x?5)?y?1上的动点，则

2222S?S?2n 结束 n?n?1 PM?PN的最小值为 ( )

A． 1 B． 2 C． 3 D．4 8．函数 f(x)?(第5题) ｙ A?(??0,|?|?)的部分图象

sin(?x??)2?２ ? 12如图所示，则f(?)? （ ） A．4 B．23 C．2 D．3 9．已知集合

O 5?12x (第8题)

???4x?3y?12???M??(x,y)?,x,y?R?,N??(x,y)(x?a)2?(y?b)2?r2,a,b?R,r?0?????4x?3y?12?? 若存在a,b?R，使得N?M，则r的最大值是 ( ) A．3 B．2.5 C. 2.4 D. 2

10. 已知函数f(x)?x?px?q与函数y?f(f(f(x)))有一个相同的零点，则f(0)与

2

f(1)

A．均为正值 B．均为负值 C. 一正一负 D. 至少有一个等于0

( )

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本题共7道小题，每题4分，共28分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）

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11．复数z?3?i的模是_______. 2?i2 1 正视图

1 （第12题）

1 俯视图

侧视图

12．已知一个几何体的三视图及其长度如图所示，则该几何体

的体积为 . 13．正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为?，侧棱与底

面所成的角为?，则

tan?? . tan?14．二项式(x?123x常数项的值为 . )10的展开式中，

15．如果一个平面与一个圆柱的轴成?（0????90?）角，

且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆. 当??30?时，椭圆的离心率是 .

216．设函数f(x)?x?ax?a?3,g(x)?x?a.若不存在．．．x0?R，使得f(x0)?0与

g(x0)?0同时成立，则实数a的取值范围是 .

17．已知三点A(1,y1),B(2,y2),C(3,y3)不共线，其中yi??4,5,6,7,8,9?(i?1,2,3). 若对于

三、解答题（本大题共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 18．（本题满分14分）设函数f(x)?cos(2x??ABC的内心I，存在实数?，使得IA?IC???IB，则这样的三角形共有 个.

4?)?2cos2x. 33,b?c?2.求a2（Ⅰ）求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值是x的集合； （Ⅱ）已知?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(B?C)?的最小值.

19．（本题满分14分）已知数列?an?，?bn?满足：a1?3，当n?2时，an?1?an?4n；

对于任意的正整数n，b1?2b2?L?2n?1bn?nan．设?bn?的前n项和为Sn. （Ⅰ）计算a2,a3，并求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求满足13?Sn?14的n的集合.

20．（本题满分14分） 如图，在正三棱柱ABC—DEF中，

PAB?2,AD?1.P是CF的沿长线上一点，FP?t.过

A,B,P三点的平面交FD于M，交FE于N. （Ⅰ）求证：MN∥平面CDE；

NDEFM第 3 页 共 13 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com CA B20题

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（Ⅱ）当平面PAB?平面CDE时，求t的值.

21．（本题满分15分）如图，已知点A(?2,0)，点P是⊙B：(x?2)?y?36上任意一

点，线段AP的垂直平分线交BP于点Q，点Q的轨迹记为曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）已知⊙O：x2?y2?r2（r?0）的切线l总与曲

线C有两个交点M、N，并且其中一条切线满足

22?MON?900，求证：对于任意一条切线l总有?MON?900.

21题

22．（本题满分15分）已知函数f(x)?alnx?(x?1)2?ax（常数a?R）. （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设a?0.如果对于f(x)的图象上两点P，存1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))(x1?x2)在x0?(x1,x2)，使得f(x)的图象在x?x0处的切线m∥P，求证：1P2x0?

x1?x2. 2浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考

数学（理科）答题卷

题号 一 二 18 19 20 三 21 22 1～10 11～17 总分 第 4 页 共 13 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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得分 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合要求的。 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填在下面横线上。

11、 12、 13、 14、

15、 16、 17、 三、解答题：本大题有5小题，共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 18、（本小题满分14分）

19、（本小题满分14分）

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20、（本小题满分14分）

FNDBEP

21、（本小题满分15分）

CMA20题

21题

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22、（本小题满分15分）

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浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考试题

数学（理科）答案及评分标准

一、选择题：BCADB BCACD 二、填空题：11

2 12

1051 13 2 14 23215

三、解答题c

3 16 ??3,6? 17 30 24?4?4?)?2cos2x?(cos2xcos?sin2xsin)?(1?cos2x) 33318（Ⅰ）f(x)?cos(2x? ?13?cos2x?sin2x?1?cos(2x?)?1????????3 223f(x)的最大值为2????????4分

要使f(x)取最大值， cos(2x?故x的集合为?xx?k???3)?1,2x??3?2k?(k?Z)

????,k?Z? ????????6分 6?注：未写“k?Z”扣1分；结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分.

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（Ⅱ）由题意，f(B?C)?cos[2(B?C)?化简得cos(2A??3]?1?3?1，即cos(2??2A?)?. 2321????????8分

32??5????QA??0，??，?2A??(?,)，只有2A??，A?.???????

333333)?222?10分

a?b?c?2bccos在?ABC中，由余弦定理，

由b?c?2知bc?(?3?(b?c)2?3bc?????12分

b?c2)?1，即a2?1，当b?c?1时a取最小值1.?????214分

注：不讨论角的范围扣1分.

19（Ⅰ）在an?1?an?4n中，取n?2，得a1?a2?8，又，a1?3，故a2?5.同样取n?3可得a3?7.????????2分

由an?1?an?4n及an?1?an?4(n?1)两式相减可得：所以数列?an?an?1?an?1?4，的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而a2?a1?2，故?an?是公差为2的等差数列，?an?2n?1.????????5分

注：猜想an?2n?1而未能证明的扣2分；用数学归纳法证明不扣分. （Ⅱ）在b1?2b2+L?2n?1bn?nan中令n?1得b1?a1?3.????????6分

又b1?2b2?L?2nbn?1?(n?1)an?1，与b1?2b2?L?2n?1bn?nan两式相减可得：

2nbn?1?(n?1)an?1?nan?(n?1)(2n?3)?n(2n?1)?4n?3，bn?1?即当n?2时，bn?4n?3，n24n?1 2n?14n?1??????9分 2n?1经检验，b1?3也符合该式，所以，?bn?的通项公式为bn?11Sn?3?7??L?(4n?1)?()n?1.

2211111Sn?3??7?()2?L?(4n?5)?()n?1?(4n?1)?()n. 2222211121n?11n相减可得：Sn?3?4[?()?L?()]?(4n?1)?()

222224n?7利用等比数列求和公式并化简得：Sn?14?????????11分

2n?1可见，?n?N?，Sn?14????????12分

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经计算，S5?14?n2731?13,S6?14??13，注意到 1632nP故S?b?的各项为正，

单调递增，所以满足13?Sn?14的

.????????14分 n的集合为?nn?6,n?N?20（Ⅰ）因为AB∥DE，AB在平面FDE外，所以AB∥平面

FDE；????2分

MN是平面PAB与平面FDE的交线，所以AB∥MN，故MN∥DE；????4分

而MN在平面CDE外，所以MN∥平面CDE.??6分 注：不写“AB在平面FDE外”等条件的应酌情扣分；向量

NHFMDBGCAE方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分.

（Ⅱ）解法一：取AB中点G、DE中点H则由GH∥PC知P,C,G,H在同一平面上，

并且由PA?PB知PG?AB.而与（Ⅰ）同理可证AB平行于平面PAB与平面CDE的交线，因此，PG也垂直于该交线，但平面PAB?平面CDE，所以PG?平面CDE，?PG?CH????10分 于是，?CGH∽?PCG

?即

PCCG?????12分 CGGH1?t3?,t?2.????14分 13注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相

关的定理.

（Ⅱ）解法二：如图，取AB中点G、DE中点H.

以G为原点，GB为x轴、GC为y轴、GH为z轴建立空间直角坐标系.

zP则在平面PAB中,B(1,0,0),P(0,3,1?t)， 向量GB?(1,0,0),GP?(0,3,1?t).

FNHMDByCGAEx设平面PAB的法向量n,?(x1,y1,z1)，则由

??n1?GB?0?x1?1?0即? ???n1?GP?0?y1?3?z1(1?t)?0得n1?(0,1?t,?3)????????9分

在平面CDE中,H(0,0,1),C(0,3,0)，向量CH?(0,?3,1),HE?GB?(1,0,0).

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设平面CDE的法向量n2?(x2,y2,z2)，由?得n2?(0,1,3)????????12分

?y2?(?3)?z2?0?x2?1?0

?平面PAB?平面CDE，?n1?n2?0，即1?t?3?0,?t?2.????????

14分

注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分. 21、（I）由题意，|QA|?|QB|?|QP|?|QB|?6， ∴Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且a?3,c?2,

x2y2??1.??????5分 ∴曲线C的轨迹方程是95

（II）先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线l：y?kx?m，则

图1

由l与⊙O相切得

|m|1?k2?r 即m2?r2(1?k2)

①?????7分

?y?kx?m?222由?x2y2，消去y得，(5?9k)x?18kmx?9(m?5)?0,

?1??5?9设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则由韦达定理得

18km9(m2?5)x1?x2??，x1x2?????????9分

5?9k25?9k2OM?ON?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?(1?k2)x1x2?km(x1?x2)?m2

9(1?k2)(m2?5)18k2m2???m2 225?9k5?9k14m2?45(1?k2)?②????????10分 25?9k

图2

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14m2?45(1?k2)?0 由于其中一条切线满足?MON?90，对此OM?ON?5?9k2045????????????????12分 14452(1?k2)，进而于是，对于任意一条切线l，总有m?14222结合①式m?r(1?k)可得r?214m2?45(1?k2)?0 OM?ON?5?9k2故总有?MON?90. ????????????????14分

0最后考虑两种特殊情况：（1）当满足?MON?90的那条切线斜率不存在时，切线方程为

05r20x??r.代入椭圆方程可得交点的纵坐标y??5?，因?MON?90，故

9455r220，得到r?，同上可得：任意一条切线l均满足?MON?90；（2）r?5?149455r2当满足?MON?90的那条切线斜率存在时，r?，r?5?，对于斜率不

14902存在的切线x??r也有?MON?90.

综上所述，命题成立. ????????????????15分

22、（I）f(x)的定义域为(0,??)

0f'(x)?a(1?x)(2x?a)?2(x?1)?a?…………………………..………..…….2分 xx（1，??）①a?0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为

（?②?2?a?0时，f(x)的增区间为（0，??）③a??2时，f(x)减区间为

aa，1）（1，??），减区间为(0,?), 22（1，?④a??2时，f(x)的增区间为

（II）由题意

aa）（?，??），减区间为(0,1),…………6分 22第 12 页 共 13 页 金太阳新课标资源网

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f'(x0)?kPP?12f(x2)?f(x1)x2?x1

[alnx2?(x2?1)2?ax2]?[alnx1?(x1?1)2?ax1] ?x2?x1x2x1??(x1?x2?2)?ax2?x1aln又：f('x1?x22a)??(x1?x2?2)?a…………………………..…………….9分 2x1?x2a（0，??）?2(x?1)?a（a?0）在上为减函数

x?f'(x)?要证x0?x1?x2''x?x2) ,只要证f(x0)?f(122x2x2(x2?x1)x12a即, 即证ln2?……………....…….13分 ?x2?x1x1?x2x1x1?x2alnx22(t?1)14(t?1)2'令t? ，g(t)???1,g(t)?lnt???0 22x1t?1t(t?1)t(t?1)?g(t)在(1,??)为增函数 ?g(t)?g(1)?0 ?lnt?即ln2(t?1)lnt2?，即 t?1t?1t?1x22(x2?x1) ?x1x1?x2x1?x2得证………………………..………15分 2 ?x0?

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