湖北省八校2009届高三第二次联考数学（理科）卷

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湖北省2009届高三八校联考第二次理科数学试卷

鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中 荆州中学 襄樊四中 襄樊五中 孝感高中

命题人：襄樊五中 刘 军 何宇飞

审题人：襄樊四中尹春明

考试时间：2009.3.27下午15：00～17：00

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. x?eU?M?N?成立的充要条件是（ ）

?A?x?e ?B?x?e ?C?x?痧UNUM且x?UN ?D?x?痧UM或x?UN UM2. 设复数z1?1?i，z2?x?i（x?R），若z1?z2为实数，则x等于（ ） ?A??2 ?B??1 ?C?1 ?D?2

??????????????3. 已知a、b是不共线的向量，AB??a?b，AC?a??b（?、??R），则A、B、

C三点共线的充要条件是（ ）

?A?????1 ?B?????1 ?C?????1 ?D????1 4. 设映射f:x??x2?2x是实数集M到实数集P的映射，若对于实数t?P，t在M中

不存在原象，则t的取值范围是（ ）

?A??1,??? ?B??1,??? ?C????,1? ?D????,1?

a1?2008，Sn是其前n项和，5. 等差数列?an?中，

S2007S2005则S2008的值为（ ） ??2，

20072005 ?A??2006 ?B?2006 ?C??2008 ?D?2008 6. 已知函数f?x??则有（ ）

1x（其中e是自然对数的底数）的反函数为f?1?x?，e?ex?2?（x?1）?2?A?f?1??1??1?3??1?1??1?3???f?? ?B?f???f?? ?2??2??2??2?3??1?1?3??1?f2Df ????????f?2? ?2??2??C?f?1??

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7. 要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层

随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）

43364C10C52C10C5C15A10A52 ?A?6 ?B?6 ?C?6 ?D?6

C15C15A15C158. 半径为1的球面上有A、B、C三点，其中点A与B、C两点间的球面距离均为

C两点间的球面距离均为

?2，B、

?3，则球心到平面ABC的距离为（ ）

?A?2121221321 ?B? ?C? ?D? 147779. 已知函数f?x??sin??x???（??0，x?R）对定义域内的任意x，都满足条件f?x??

f?x?1??f?x?2?，若A?sin??x???9??，B?sin??x???9??，则有（ ）

?A?A?B ?B?A?B ?C?A≥B ?D?A?B 10. 已知f?x??x3?131?a?1?x2??a?b?1?x?1，若方程f??x??0的两个实数根可以分2别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（ ）

?A?a?b??3 ?B?a?b≤?3 ?C?a?b??3 ?D?a?b≥?3

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

?x?y?2≤0x2?y2?11. 设实数x、y满足?x?2y?5≥0，则u?的取值范围是__________.

xy?y?2≤0??32333n?3、12. 设an是3?x的展开式中x项的系数（n?2、?），则lim??????? 4、

n??aan??2a3??n_____________.

13. 已知函数f?x??sinx?cos?x?t?为偶函数，且t满足不等式t2?3t?40?0，则t的值

为_____________.

14. 在Rt?ABC中，AB?AC?1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦

点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为_____________. 15. 设a、b、c依次是?ABC的角A、B、C所对的边，若

tanA?tanB?1004tanC，且

tanA?tanB

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a2?b2?mc2，则m?_____________. 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）

???已知向量a??sin??x???,2?，b??1,cos??x????（??0，0???）.函数

4????f?x??a?b?a?b，

?????7?y?f?x?的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且过点M?1,?.

?2?（Ⅰ）求函数f?x?的表达式；

（Ⅱ）当?1≤x≤1时，求函数f?x?的单调区间。

17．（本小题满分12分）

在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，．．．．．412乙、丙两人都回答对的概率是. ．．．．4（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；

（Ⅱ）用?表示回答该题对的人数，求?的分布列和数学期望E?.

311

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18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1各棱长都为a，P为棱A1B上的动点。 （Ⅰ）试确定A1P:PB的值，使得PC?AB；（Ⅱ）若A1P:PB?2:3，求二面角P?AC?B的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点C1到面PAC的距离。

19．（本小题满分12分）

1?x2已知函数f?x???x?R?.

1?x?x2（Ⅰ）求函数f?x?的单调区间和极值；

（Ⅱ）若et?2x2?etx?et?2≥0对满足x≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；

?????a??b?2?（Ⅲ）求证：对任意正数a、b、?、?，恒有f??????????????22?a??b?.

???

??a2??b2f????????a??b??≥?? ??????2

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20．（本小题满分13分）

x2y2如图，已知曲线c1:2?2?1?b?a?0,y≥0?与抛物线c2:x2?2py?p?0?的交点分

ab别为A、B，曲线c1和抛物线c2在点A处的切线分别为l1、l2，且l1、l2的斜率分别为k1、

k2.

b为定值时，求证k1?k2为定值（与p无关），并求出这个定值； a（Ⅱ）若直线l2与y轴的交点为D?0,?2?，当a2?b2取得最小值9时，求曲线c1和c2的

（Ⅰ）当

方程。

21．（本小题满分14分）

已知数列?an?中，a1?3，a2?5，其前n项和Sn满足Sn?Sn?2?2Sn?1?2n?1?n≥3?.令bn?1.（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；（Ⅱ）若f?x??2x?1，求证：

an?an?111；（Ⅲ）令Tn??b1a?b2a2?b3a3???bnan?Tn?b1f?1??b2f?2????bnf?n??（n≥1）

621（a?0），求同时满足下列两个条件的所有a的值：①对于任意正整数n，都有Tn?；

6?1?②对于任意的m??0,?，均存在n0?N?，使得n≥n0时，Tn?m

?6?

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湖北省2009届八校联考第二次理科数学选择题答题卡 题 号 答 案 1 2 C 3 4 5 C 6 7 8 9 10 D D B A A B B A 63??5??10?11. ?2,?； 12. 18； 13．?或或； 14.； 15．2009.

23222???????2?2?2?216【解】（Ⅰ）f?x??a?b?a?b?a?b?a?b?sin2??x????4?1?cos2??x???

??????cos?2?x?2???3????3′

2???4，故??.????4′ 2?47?7????又图象过点M?1,?，∴?3?cos??2??

2?2??2???1????即sin2??，而0???，∴2??，∴f?x??3?cos?x?????6′

6?264?2???2?（Ⅱ）当?1≤x≤1时，?≤x?≤

32631?????∴当?≤x?≤0时，即x???1,??时，f?x?是减函数

3?326???2??1?当0≤x?≤时，即x???,1?时，f?x?是增函数

263?3?1???1?∴函数f?x?的单调减区间是??1,??，单调增区间是??,1?????12′

3???3?由题意得周期T?17．【解】（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分

11??PA?PC??1?PA???1?PC?????????12??3???12B、C，别为事件A、则P?A??，且有?，即?

114?P?B??P?C???P?B??P?C????4?4?????23，P?C??.????6′

3811（Ⅱ）由（Ⅰ）PA?1?P?A??，PB?1?P?B??.

43?的可能取值为：0、1、2、3.

1155则P???0??PA?B?C????；

438963511323527； P???1??PA?B?C?PA?B?C?PA?B?C??????????4834834832415； P???2??PA?B?C?PA?B?C?PA?B?C?323P???3??P?A?B?C??.????9′

16∴P?B????????????????????

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∴?的分布列为

3 1 2 35715 P 169624325715343?的数学期望E??0??1??2??3??.????12′

9624321624? 0

18【法一】（Ⅰ）当PC?AB时，作P在AB上的射影D. 连结CD.

则AB?平面PCD，∴AB?CD，∴D是AB的中点，又PD//AA1，∴P也是A1B的中点，

即A1P:PB?1. 反之当A1P:PB?1时，取AB的中点D?，连接CD?、PD?. ∵?ABC为正三角形，∴CD??AB. 由于P为A1B的中点时，PD?//A1A ∵A1A?平面ABC，∴PD??平面ABC，∴PC?AB.??4′ （Ⅱ）当A1P:PB?2:3时，作P在AB上的射影D. 则PD?底面ABC.

作D在AC上的射影E，连结PE，则PE?AC. ∴?DEP为二面角P?AC?B的平面角。

BDBP32??，∴AD?a. 又∵PD//AA1，∴

DAPA125∴DE?AD?sin60??∴tan?PED?3PD33a，又∵?，∴PD?a. 5AA155PD?3，∴P?AC?B的大小为?PED?60?.?8′ DE（Ⅲ）设C1到面PAC的距离为d，则VC1?PAC?VP?ACC1，∵PD//AA1，∴PD//平面A1C,

∴DE即为P点到平面A1C的距离，

2?3?32311??22a?a又PE?PD?DE??a???，∴?S?PAC?d??S?ACC1?DE. ??533?5???5?1?123?1123a1即??a?，解得d?.即C1到面PAC的距离为a.??a?d??a?a?3?5?32522?2?12′

【法二】以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，

AA1为z轴，建立空间直角坐标系A?xyz，如图所示，

2设P?x,0,z?，则B?a,0,0?、A1?0,0,a?、C?,?a?2?3a?. ,0??2??????????a3a?（Ⅰ）由CP?AB?0得?x?,?， ,z?????a,0,0??0?22?a?1?即?x???a?0，∴x?a，即P为A1B的中点，

2?2?也即A1P:PB?1时，PC?AB.????4′

???2a3a?,0,?. 取m?3,?3,?2. （Ⅱ）当A1P:PB?2:3时，P点的坐标是?5??5?????????????a3a??2a3a?则m?AP?3,?3,?2??,0,??0，m?AC?3,?3,?2??,,0??0.

??5522??????????

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??∴m是平面PAC的一个法向量。

?又平面ABC的一个法向量为n??0,0,1?.

??????m?n1?∴cos?m,n??????，∴二面角P?AC?B的大小是60.??8′

m?n2??????nC?C1a1（Ⅲ）设C1到面PAC的距离为d，则d?∴C1到面PAC的距离为a.?12′ ?，?22n19【解】（Ⅰ）f??x???2x?1?x?x2???2x?1??1?x2??1?x?x?22??x??2?3???x??2?3???? ??2?1?x?x2?????∴f?x?的增区间为?2?3,?2???3,?2?3和，f?x?减区间为??????2?3,??.

?极大值为f?2?3?（Ⅱ）原不等式可化为e≥∴

t??2323，极小值为f?2?3??.????4′ 33??2?1?x2?1?x?x2由（Ⅰ）知，x≤1时，f(x)的最大值为

434343te≥t≥ln，由恒成立的意义知道，从而?8′

3331?x?x21?x2?x?x?0? （Ⅲ）设g?x??f?x??x?21?x?x的最大值为则g??x??f??x??1?2?1?x2?23. 3??x2?4x?1??1?x?x?22?1??x4?2x3?4x2?6x?2?1?x?x?222.

∴当x?0时，g??x??0，故g?x?在?0,???上是减函数，

???a?b???a??b??a2??b2又当a、b、?、?是正实数时，????≤0 ?2???????????????a??b??a2??b2∴?. ?≤???????????a??b?2???a??b?2??a2??b2??a2??b2由g?x?的单调性有：f??， ???????≥f???????????????????????2???a??b?2???a2??b2???a??b??a2??b2即f??.????12′ ?≥????f?????????????????????????20．【解】（Ⅰ）设点A的坐标为?x0,y0?，

曲线c1的方程可写成：y?∴k1?y?22bb2a2?x2，∴y0?a?x02 aa?????x?x0x?x0?bx???22?aa?x?12????x??2p?x?x0b2x0????2??2′

22ay0aa?x0bx0又k2?y?x?x0x0????4′ p

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?b2x0?x0b2x022b2∴k1?k2???2?????2???2为定值。??6′

aypapya0?0?2??x0（Ⅱ）如图设A点的坐标为?x0,?，则x0???a,0?.

2p??2x0x0x0由（Ⅰ）知：k2?，则直线l2:y??x?x0??.

pp2p2∵l2过点D?0,?2?，则x0?4p，即x0??2p，∴点A?2p,2.?8′

??4p4?2?1. 2ab4a24pb2?4p4?2222∴a?b??a?b???2?2??4p?4?2?2.

b?ba?a将A?2p,2代入曲线c1的方程得

??由重要不等式得a2?b2≥4p?8p?4.??10′

?1??4p?8p?4?9p???422?24a?4pb?2当且仅当“?”成立时，有?，解得?a?3 2ab??b2?6?4p4???1???a2b2x2y2?1?y≥0?，c2:y?2x2.??13′ ∴c1:?36

21．【解】（Ⅰ）由题意知Sn?Sn?1?Sn?1?Sn?2?2n?1?n≥3?即an?an?1?2n?1?n≥3???1′

∴an??an?an?1???an?1?an?2?????a3?a2??a2

?2n?1?2n?2???22?5?2n?1?2n?2???22?2?1?2?2n?1?n≥3???2′

检验知n?1、2时，结论也成立，故an?2n?1.????3′

n?1n11?2?1???2?1?1?11?n?1?2????（Ⅱ）由于bnf?n??n?? nn?1n?1nn?1222?12?1??2?1??2?1??2?1??2?1??故

1??11??11?1???1Tn?b1f?1??b2f?2????bnf?n?????????????????nn?12??1?21?22??1?221?23??2?12?1??

1?11?111???n?1???.????6′ ?2?1?22?1?21?2611（Ⅲ）（ⅰ）当a?2时，由（Ⅱ）知：Tn?，即条件①满足；又0?m?，

661?11?3?3?n?1?n?1?m?2??1?n?log?1∴Tn?m??2????1?0.

2?1?22?1?1?6m?1?6m??3??1?的最大整数，则当n≥n0时，Tn?m.?9′ 取n0等于不超过log2??1?6m?an?a?aaaa（ⅱ）当a?2时，∵n≥1，n???≥，∴an≥?2n，∴bn?an≥bn??2n??bn?2n.

22222?2?n

n 天利考试信息网 www.tl100.com 天时地利 考无不胜

a1?11??1i?an?n?1?. ∴Tn???bia?≥??bi?2i?1????22?1?22?1??2i?1i?1?21?11?1?n?1由（ⅰ）知存在n0?N?，当n≥n0时，?， ??2?1?22?1?3a故存在n0?N?，当n≥n0时，Tn?12′

a1?11?a11???n?1?，不满足条件. ????22?1?22?1?23a6nan?a?aa（ⅲ）当0?a?2时，∵n≥1，n???≤，∴an≤?2n，∴

2?2?22aabn?an≤bn??2n??bn?2n.

22nn1aa1?11?i?n?1∴Tn???bia?≤??bi2i?1?????.

22221?22?1??i?1i?1a?1?a1?11?a?n?1Tn?m，取m???0,?，若存在n0?N?，当n≥n0时，则????.

12?6?221?2?21?12?111∴?n?1?矛盾. 故不存在n0?N?，当n≥n0时，Tn?m.不满足条件. 1?22?13综上所述：只有a?2时满足条件，故a?2.????14′

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/udcd.html