空洞探测模型的建立及分析

空洞探测模型的 建立及分析

【摘要】本问题是一个0--1规划问题，为空洞探测提供了求解方

法及优化理论。通过用逐步细化单元格的方法,根据单元格为空洞的概率,建立了空洞分布模型，并进行了比较分析。

在整个过程中我们还运用了Matlab5.3和Visual C 6.0软件。

【关键词】0--1规划,方差.

一、问题重述

山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。利用同样的机理可以确定平板内的空洞。一个简化问题可描述为，一块240（米）×240（米）的平板（如图），在 AB边等距地设置7个波源Pi (i=1,…,7)，CD边对等地安放7个接收器Qj (j=1,…,7)，记录由Pi发出的弹性波到达Qj 的时间tij (秒); 在 AD边等距地设置7个波源Ri (i=1,…,7)，BC边对等地安放7个接收器Sj (j=1,…,7)，记录由Ri 发出的弹性波到达Sj 的时间 τ

ij (秒)。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880（米

/秒）和320（米/秒）。

1） 确定该平板内空洞的位置。

2） 根据由Pi发出的弹性波到达Qj 的时间tij (i, j=1,…,7)，

能确定空洞的位置吗；讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。

D Qj C

Ri

Sj

A Pi

B

T ij P1 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 0.0611 0.0895 0.1996 0.2032 0.4181 0.4923 0.5646 P2 0.0989 0.0592 0.4413 0.4318 0.4770 0.5242 0.3805 P3 0.3052 0.4131 0.0598 0.4153 0.4156 0.3563 0.1919 P4 0.3221 0.4453 0.4040 0.0738 0.1789 0.0740 0.2122 P5 0.3490 0.4529 0.2263 0.1917 0.0839 0.1768 0.1810 P6 0.3807 0.3177 0.2364 0.3064 0.2217 0.0939 0.1031 P7 0.4311 0.3397 0.3566 0.1954 0.0760 0.0688 0.1042 τij S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 R1 0.0645 0.0602 0.0813 0.3516 0.3867 0.4314 0.5721 R2 0.0753 0.0700 0.2852 0.4341 0.3491 0.4800 0.4980 R3 0.3456 0.3205 0.0974 0.4093 0.4240 0.4540 0.3112 R4 0.3655 0.3289 0.4247 0.1007 0.3249 0.2134 0.1017 R5 0.3165 0.2409 0.3214 0.3256 0.0904 0.1874 0.2130 R6 0.2749 0.3891 0.5895 0.3016 0.2058 0.0841 0.0706 R7 0.4434 0.4919 0.3904 0.0786 0.0709 0.0914 0.0583

二、问题的假设：

1 、弹性波在传播过程中互不干扰，不发生干涉。 2 、弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。

３、空气密度和介质密度都均匀。

4 、假定在减少波源和接受源之后其他波源和接受源的位置不变。

三、变量的说明：

1 、设AB边等距的设置波源的顺序为：从A到B分别为P1 ，

P2 ，P3 ，P4 ，P5 ，P6 ，P7 。

2 、设AD边等距的设置波源的顺序为：从A到D分别是R1 ，

R2 ，R3 ，R4 ，R5 ，R6 ，R7 。

3、 PiＱj(i,j=1,…,7)方向的波线所走路径中介质的长度以矩阵Ｘ1（7×7）表示，空气的长度以矩阵Ｙ1（7×7）表示。ＲiＳj(i,j=1,…,7)方向的波线所走路径中介质的长度以矩阵Ｘ２（7

×7），空气的长度以矩阵Ｙ２（7×7）表示。

4、将平板分成许多单元格，以G（m，n）（1≤m，n≤30， 0≤G（m，n）≤1）表示。其中，m、n表示小格在平板中的位置，

G（m，n）的值表示该小格是空洞的概率。

四、问题分析

1 、因为介质的传播速度大于空气的传播速度，所以弹性波从点i到点j传播的最短时间为：点i到点j的最短距离除以波在介质中的传播速度Tmin=240/2880=0.0833。在所给数据中，部分数据小于对应波线传播时间的最小值。认为这是由于在测量传播时间时，存在测量误差造成。这部分数据可以忽略，按理想的最短时间计算。也可由此确定误差限，时间的误差限为0.0833减去这部分数据中最小的0.0583等于0.025秒，转化成空气长度为8米。所以在测量空洞的大小时，可以认为直径小于8米的空洞是测不出来的，在计算时可以忽略掉。

2、由给出的实际传播时间和弹性波在介质、空气中的传播速度，可算出每条波线所走路径上空气的长度，见Ｙ1（7×7）、Ｙ２（7×7）矩阵。计算方法为：

? ?i,j???i,j??40?62??i?j?2?Y1 ?X1

?i,j??2880?Y1?i,j??320?tij??X122??X2?i,j??Y2?i,j??40?6??i?j? ?

?i,j??2880?Y2?i,j??320??ij??X2

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