切变模量的测量

实 验 报 告 评分：

系 级 学号 姓名 日期

实验题目：切变模量的测量

实验目的：用扭摆来测量金属丝的切变模量，同时要学习尽量设法避免测量那些较难测的物理量，从而

提高实验精度的设计思想。

实验原理：（1）实验对象是一根上下均匀而细长的钢丝，几何上说是一个细长的圆柱

体（图1）。使其下端面发生扭转。扭转力矩使圆柱体各截面小体积元发生切应变。在弹性限度内，切应变?正比于切应力?：??G?（比例系数G即为材料的切变模量）。

（2）钢丝下端面绕中心轴OO’转过?角。单位长度的转角d?/dl??/L，

分析圆柱中长为dl的一小段，上截面为A，下截面为B（图2）。由于发生

’

切变，其侧面上的线ab的下端移至b。既ab 转过了一个角度?，

bb'??dl?Rd?，即切应变??Rd?。 dld? dl在钢丝内部半径为ρ的位置，其切应变为：????由剪切胡克定律???G???G?d?可得横截面上距轴线OO’为ρ处的切 dld??????2???d??2?G?3?d? 。应力。这个切应力产生的恢复力矩为：

dl截面A、B之间的圆柱体，其上下截面相对切变引起的恢复力矩M为

RM??2?G?3d??0d??d?d??GR4。因钢丝总长为L，总扭转角??L，所以总恢复力dl2dldl 。所以，G?矩：M??2GR4?L2ML ?R4?（3）于是，求切变模量G的问题就转化成求钢丝的扭矩（即其恢复力矩）的问题。为此，在钢丝下端悬挂一圆盘，它可绕中心线自由扭动，成为扭摆。摆扭过的角度φ正比于所受的扭

2DLd2?力矩：M?D?。D为金属丝的扭转模量。有G?。由转动定律M?I0及公式

?R4dt2d2?D???0得这是一个简谐运动微分方程，其角频率??2I0dtI0D，周期T0?2?。

DI0为了便于测量I0，将金属环对称地置于圆盘上。设环的质量为m，内外半径分别为r内和r外，转动惯量为I1?I?I1122m(r内?r外)，这时扭摆的周期T1?2?0。 于是可得2D

实 验 报 告 评分：

系 级 学号 姓名 日期 222?2m(r内?r外)I1T024?2 I0?I12D?I?4??2202222T1?T0T0T1?T0T1?T0 所以G?

224?Lm(r内?r外)R(T?T)42120 。

实验器材：米尺、秒表、游标卡尺、千分尺、扭摆

实验桌号：9号

实验步骤：（1）装置扭摆，使钢丝与作为扭摆的圆盘面垂直，圆环应能方便

地置于圆盘上。

（2）用螺旋测微器测钢丝直径，用游标卡尺测环的内外径，用 米尺测钢丝的有效长度。 （3）根据误差均分原理：

?G?L?m2r内?r内?2r外?r外?R2T1?T1?2T0?T0 ???4?2222GLmRr内?r外T1?T0近似处理：由?T1??T0，所以

2?T2%?G?L?m2r内?r内?2r外?r外?R2?T1?2?T0据此估算： ????4?22T1?T07GLmRT1?T0r内?r外（假设△T人=0.2s），n≥100。所以应测100个周期较合适。 n?T??T人，（4）计算钢丝的切变模量G和扭转模量D，分析误差。

数据处理和误差分析：

本实验中所测得的原始数据如下：

实验项目 组数钢丝长/cm钢丝直径/mm金属环内径/cm金属环外径/cm无金属环周期T0/s加金属环周期T1/S金属悬盘质量 614g注：所测周期为100个周期的总时间

142.950.7688.38810.400213.02346.28242.8042.900.7670.7658.3928.39410.39510.462212.92212.94346.07346.05金属环质量 577g342.900.7658.39010.410213.20345.84442.850.7678.39010.408212.98345.705 表一：原始数据

实 验 报 告 评分：

系 级 学号 姓名 日期

数据分析：

钢丝长的平均值：

l?42.95?42.80?42.90?42.90?42.85?42.88cm

5钢丝长的标准差：

(42.95?42.88)2?(42.80?42.88)2?(42.90?42.88)2?(42.90?42.88)2?(42.85?42.88)2?l??0.0575?1那么它的展伸不确定度为：

Ul0.68?(t0.68?ln)2?(kP?B20.05720.052)?(1.14?)?(1?)?0.034cm,P?0.68 C35?B20.05720.052)?(2.78?)?(1.96?)?0.078cm,P?0.95 C35Ul0.95?(t0.95?ln)2?(kP钢丝直径的平均值：

R?0.768?0.767?0.765?0.765?0.767?0.7664mm

5钢丝直径的标准差：

(0.768?0.7664)2?(0.767?0.7664)2?(0.765?0.7664)2?(0.765?0.7664)2?(0.767?0.7664)2?R??0.00134mm

5?1那么它的展伸不确定度为：

UR0.68?(t0.68?Rn)2?(kP?B20.0013420.012)?(1.14?)?(1?)?3.40?10?3mm,P?0.68 C35

UR0.95?(t0.95?R?0.0013420.012)2?(kPB)2?(2.78?)?(1.96?)?6.74?10?3mm,P?0.95C3n5金属环内径的平均值：

D内?8.388?8.392?8.394?8.390?8.390?8.390cm

5金属环内径的标准差：

?D内(8.388?8.390)2?(8.392?8.390)2?(8.394?8.390)2?(8.390?8.390)2?(8.390?8.390)2??0.00228cm

5?1那么它的展伸不确定度为：

UD内0.68?(t0.68?Dn)2?(kP?B20.0022820.0022)?(1.14?)?(1?)?0.0016cm,P?0.68 C53?B20.0022820.0022)?(2.78?)?(1.96?)?0.0036cm,P?0.95 C53UD内0.95?(t0.95?Dn)2?(kP

实 验 报 告 评分：

系 级 学号 姓名 日期

金属环外径的平均值：

D外?10.400?10.395?10.402?10.410?10.408?10.403cm

5金属环外径的标准差： ?D外(10.400?10.403)2?(10.395?10.403)2?(10.402?10.403)2?(10.410?10.403)2?(10.408?10.403)2??0.00608cm

5?1那么它的展伸不确定度为：

UD外0.68?(t0.68?D?0.0060820.0022)?(kPB)2?(1.14?)?(1?)?0.0033cm,P?0.68Cn532

UD外0.95?(t0.95?D?0.0060820.0022)2?(kPB)2?(2.78?)?(1.96?)?0.0079cm,P?0.95Cn53

无金属环周期的平均值（1个周期）：

T0?213.02?212.92?212.94?213.20?212.98?2.130s

5?100(213.02212.92212.94213.20212.98?2.130)2?(?2.130)2?(?2.130)2?(?2.130)2?(?2.130)2100100100100100?0.001s

5?1无金属环周期的标准差：

?T?0又在这个实验中对测量周期T而言

?BT?11?仪2??人2?0.012?0.22s?0.002s 100100那么周期测量中的展伸不确定度为：

UT0.68?(t0.68?Tn)2?(kp?BT20.00120.0022)?(1.14?)?(1?)?0.0008s,P?0.68 C35UT0.95?(t0.95?Tn)2?(kp?BT20.00120.0022)?(2.78?)?(1.96?)?0.0018s,P?0.95 C35加金属环周期的平均值（1个周期）：

T1?346.28?346.07?346.05?345.84?345.76?3.460s

5?100(346.28346.07346.05345.84345.76?3.460)2?(?3.460)2?(?3.460)2?(?3.460)2?(?3.460)2100100100100100?0.002s

5?1加金属环周期的标准差：

?T?1又在这个实验中对测量周期T而言

?BT?11?仪2??人2?0.012?0.22s?0.002s 100100那么周期测量中的展伸不确定度为：

实 验 报 告 评分：

系 级 学号 姓名 日期

UT0.68?(t0.68?Tn)2?(kp?BT20.0020.0022)?(1.14?)?(1?)?0.0012s,P?0.68 C35UT0.95?(t0.95?Tn)2?(kp?BT20.00220.0022)?(2.78?)?(1.96?)?0.0028s,P?0.95 C35

根据切变模量公式：

4?3.14?0.4288?0.577?(0.041952?0.0520152)10G???8.66?10Pa 22?34224(0.3832?10)?(3.460?2.130)R(T1?T0)G的展伸不确定度为：

224?Lm(r内?r外)222Ur0.68r内?2Ur0.68r外)222UT0.68T12?2UT0.68T022UG0.68Ul0.6822Um0.68222?1?()?1?()?1?()?1?()?42?(2222Glmr内?r外T1?T00.03422?0.0082?2?0.00165222?0.00082?2?0.0012220.001722?3?()?()?()?4?()?8.92?1042.880.76644.1952?5.201523.4602?2.1302UG0.68?7.72?108Pa

UG0.95G?1?(2Ul0.95l)?1?(22Um0.95m)?1?(222Ur0.95r内?2Ur0.95r外)r内?r外2222)?1?(222UT0.95T1?2UT0.95T0T1?T02222)2?42?(UR0.95R)20.07822?0.003952?2?0.0018222?0.00282?2?0.0018220.0038722?()?()?()?4?()?0.020222242.880.76644.195?5.20153.460?2.130UG0.95?1.75?109Pa

由以上也可以知道

UG?2%，满足实验设计的条件。 G

根据所用的置信概率，测量结果的最终表达式为：

G?G?UG0.68?(8.66?1010?7.72?108) G?G?UG0.95?(8.66?1010?1.75?109)

实 验 报 告 评分：

系 级 学号 姓名 日期

根据扭转模量公式：

D?222?2m(r内?r外)T?T2120?2.93?10?3

D的展伸不确定度为：

2Ur0.68r内?2Ur0.68r外)222UT0.68T12?2UT0.68T022UD0.68Ul0.6822Um0.68222?1?()?1?()?1?()?1?()2222Dlmr内?r外T1?T0220.03422?0.0082?2?0.00165222?0.00082?2?0.001222?4?()?()?()?8.78?1042.884.1952?5.201523.4602?2.1302

UD0.68?2.57?10?6

UD0.95D?1?(2Ul0.95l)?1?(22Um0.95m)?1?(222Ur0.95r内?2Ur0.95r外)r内?r外2222)?1?(222UT0.95T1?2UT0.95T0T1?T02222)20.07822?0.003952?2?0.0018222?0.00282?2?0.001822?()?()?()?1.93?10?3222242.884.195?5.20153.460?2.130UD0.95?5.66?10?6

由以上也可以知道

UD?2%，满足实验设计的条件。 D

根据所用的置信概率，测量结果的最终表达式为：

D?D?UD0.68?(2.93?10?3?2.57?10?6) D?D?UD0.95?(2.93?10?3?5.66?10?6)

实 验 报 告 评分：

系 级 学号 姓名 日期

根据扭转模量公式：

D?222?2m(r内?r外)T?T2120?2.93?10?3

D的展伸不确定度为：

2Ur0.68r内?2Ur0.68r外)222UT0.68T12?2UT0.68T022UD0.68Ul0.6822Um0.68222?1?()?1?()?1?()?1?()2222Dlmr内?r外T1?T0220.03422?0.0082?2?0.00165222?0.00082?2?0.001222?4?()?()?()?8.78?1042.884.1952?5.201523.4602?2.1302

UD0.68?2.57?10?6

UD0.95D?1?(2Ul0.95l)?1?(22Um0.95m)?1?(222Ur0.95r内?2Ur0.95r外)r内?r外2222)?1?(222UT0.95T1?2UT0.95T0T1?T02222)20.07822?0.003952?2?0.0018222?0.00282?2?0.001822?()?()?()?1.93?10?3222242.884.195?5.20153.460?2.130UD0.95?5.66?10?6

由以上也可以知道

UD?2%，满足实验设计的条件。 D

根据所用的置信概率，测量结果的最终表达式为：

D?D?UD0.68?(2.93?10?3?2.57?10?6) D?D?UD0.95?(2.93?10?3?5.66?10?6)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ud7f.html