2009年上海高考文科数学

2009年普通高等学校招生全国统一考试

上海卷 数学（文史类）

考生注意：

1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条

形码。

2． 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________. 2．已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，

则实数a的取值范围是__________________.

4 5 x3. 若行列式1 x 3 中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是__________________.

7 8 94.某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是________________. 5.如图，若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是___________________(结果用反三角函数值表示).

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6.若球O1、O2表示面积之比

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m S1R则它们的半径之比1=_____________.?4，

S2R2

?y?2x?7.已知实数x、y满足?y??2x 则目标函数z=x-2y的最小值是___________.

?x?3? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9．过点A（1，0）作倾斜角为

?2的直线，与抛物线y?2x交于M、N两点，则4MN= 。

2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

10.函数f(x)?2cosx?sin2x的最小值是 。

11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者

中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。

x2y212.已知F1、F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点，p为椭圆C上的一点，且

abPF1?PF2。若?PF1F2的面积为9，则b? .

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 13.已知函数f(x)?sinx?tanx。项数为27的等差数列{an}满足an???????,?,且公差?22?d?0,若f(a1)?f(a2)?...?f(a27)?0，则当k= 时，f(ak)?0. 。

14.某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。

二。、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。

15．已知直线l1:(k?3)x?(4?k)y?1?0,与l2:2(k?3)x?2y?3?0,平行，则K得值是（ ）

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （A） 1或3 （B）1或5 （C）3或5 （D）1或2

16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）

17．点P（4，－2）与圆x?y?4上任一点连续的中点轨迹方程是 [答]（ ）

（A）(x?2)?(y?1)?1 （B）(x?2)?(y?1)?4 （C）(x?4)?(y?2)?4 （D）(x?2)?(y?1)?1

18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体

感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”. 根据过去10天甲、乙、

2222222222丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 [答]（ ） （A）甲地：总体均值为3，中位数为4 . （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 . （C）丙地：中位数为2，众数为3 . （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 . 三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定

区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分14分）

? 已知复数z?a?bi（a、b?R）(I是虚数单位)是方程x2?4x?5?0的根 . 复数

w?u?3i（u?R）满足w?z?25，求 u 的取值范围 .

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 . 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m?(a,b)， n?(siBn，,sAip?(b?2,a?2) .

（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 若m⊥p，边长c = 2，角C =

?，求ΔABC的面积 . 321．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可

用函数

a?0.1?15ln　x,???a?x f(x)???x?4.4,　　　　　?6??x?46,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数（x?N*），f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.

（1）证明：当x ?7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.

已知双曲线

C

的中心是原点，右焦点为

0?，一条渐近线F?3，m:x+2y?0,设过点

vA(?32,0)的直线l的方向向量e?(1,k)。

（1） 求双曲线C的方程；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 若过原点的直线a//l，且a与l的距离为6，求K的值；

（3） 证明：当k?

2时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6. 223.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列

（1）若 an?3n?1，是否存在m,n?N*，有am?am?1?ak？请说明理由；

（2）若bn?aqn（a、q为常数，且aq?0）对任意m存在k，有bm?bm?1?bk，试求a、q满足的充要条件；

（3）若an?2n?1,bn?3n试确定所有的p,使数列?bn?中存在某个连续p项的和式数列中

?an?的一项，请证明.

考生注意：

上海

数学试卷（文史类）

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条

形码。

4． 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________. 1．【答案】3x?1 【解析】由y＝x3+1，得x＝3y?1，将y改成x，x改成y可得答案。 2．已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，

则实数a的取值范围是__________________. 2．【答案】a≤1

【解析】因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。

4 5 x3. 若行列式1 x 3 中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是__________________.

7 8 93．【答案】x?8 38 3【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：x?4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是________________.

?2x,x?14．【答案】y??

?x?2,x?1【解析】当x＞1时，有y＝x－2，当x＜1时有y＝2，所以，有分段函数。

5.如图，若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是___________________(结果用反三角函数值表示).

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x5．【答案】arctan5

【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即∠A1D1B，

由勾股定理，得A1B＝25，tan∠A1D1B＝5，所以，∠A1D1B＝arctan5。

6.若球O1、O2表示面积之比6．【答案】2

S1R?4，则它们的半径之比1=_____________.S2R2 w.w.w.k.s.5.u.o.m

4?R12R1【解析】由＝4，得＝2。 2R4?R22?y?2x?7.已知实数x、y满足?y??2x 则目标函数z=x-2y的最小值是

?x?3?___________.

w.w.w.k.s.5.u.o.m 7．【答案】－9

【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：

y?11x－z，画直线y?x及其平行线，当此直线经过点A22时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。

8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8．【答案】

8? 3138? 3【解析】几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高也为2，体积V＝???4?2＝9．过点A（1，0）作倾斜角为

?2的直线，与抛物线y?2x交于M、N两点，则4MN= 。

9．【答案】26 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】直线方程为y＝x－1，代入抛物线y?2x，得：x2－4x＋1＝0，x1＋x2＝4，x1x2＝1，则|MN|?2(x1?x2)2?(y1?y2)2＝2(x1?x2)2＝2[(x1?x2)2?4x1x2]＝26 210.函数f(x)?2cosx?sin2x的最小值是 。 10．【答案】1?2 【解析】f(x)?cos2x?sin2x?1?2sin(2x?)?1，所以最小值为：1?2 4?11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。

11．【答案】

57w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：

C35，概率为:：

3C5252?。 ，所以，均不少于1名的概率为：1－?377C77x2y212.已知F1、F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点，p为椭圆C上的一点，且

abPF1?PF2。若?PF1F2的面积为9，则b? .

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12．【答案】3

?|PF1|?|PF2|?2a?【解析】依题意，有?|PF1|?|PF2|?18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。

?222?|PF1|?|PF2|?4c13.已知函数f(x)?sinx?tanx。项数为27的等差数列{an}满足an???????,?,且公差22??d?0,若f(a1)?f(a2)?...?f(a27)?0，则当k= 时，f(ak)?0. 。

13．【答案】14

【解析】函数f(x)?sinx?tanx在 (???，)是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原

22w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 点对称，因为a1?a27?a2?a26?????2a14，

所以f(a1)?f(a27)?f(a2)?f(a26)?????f(a14)?0，所以当k?14时，f(ak)?0. 14.某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。 14．【答案】（3，3）

【解析】设发行站的位置为

?x,y?，零售点到发行站的距离为

z?2x?2?y?2?2x?3?y1?y?4?y?3?x?4?y5?这x?，6?y?6??六个点的横纵坐标的平均值为A（2，?2?3?3?2?4?62?1?4?3?5?67?2，?，记

6627），画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比较可2知，在（3,3）处z取得最小值。

二。、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。

15．已知直线l1:(k?3)x?(4?k)y?1?0,与l2:2(k?3)x?2y?3?0,平行，则K得值是（ ）

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （A） 1或3 （B）1或5 （C）3或5 （D）1或2 15、【答案】C

【解析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：解得：k＝5，故选C。

16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）

3?k＝k－3，4?k

16、【答案】B

【解析】从正面看，应看到直角边为3的顶点，而高为4，故正视图应为B。

17．点P（4，－2）与圆x2?y2?4上任一点连续的中点轨迹方程是 [答]（ ）

（A）(x?2)2?(y?1)2?1 （B）(x?2)2?(y?1)2?4 （C）(x?4)2?(y?2)2?4 （D）(x?2)2?(y?1)2?1 17、【答案】A

4?s?x???s?2x?4?2【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则?，解得：?，

?2?tt?2y?2??y??2?代入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：(x?2)?(y?1)?1 18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体

感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”. 根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 [答]（ ）

22

（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 . （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 . （C）丙地：中位数为2，众数为3 . （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 . 18、【答案】D

【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.

三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定

区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分14分）

?2 已知复数z?a?bi（a、b?R）(I是虚数单位)是方程x?4x?5?0的根 . 复数

w?u?3i（u?R）满足w?z?25，求 u 的取值范围 .

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19.解：原方程的根为 x1,2?2?i

Qa、b?R?,?z?2?iw.w.w.k.s.5.u.c.o.m

Qw?z?(u?3i)?(2?i)?(u?2)2?4?25 ??2?u?620．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 . 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m?(a,b)， n?(siBn，,sAip?(b?2,a?2) .

（3） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （4） 若m⊥p，边长c = 2，角C =

?，求ΔABC的面积 . 3uvv20题。证明：（1）Qm//n,?asinA?bsinB,

ab?b?，其中R是三角形ABC外接圆半径，a?b 2R2R??ABC为等腰三角形

uvuv解（2）由题意可知m//p?0,即a(b?2)?b(a?2)?0

即a??a?b?ab

由余弦定理可知， 4?a?b?ab?(a?b)?3ab222w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

即(ab)2?3ab?4?0 ?ab?4(舍去ab??1)

?S?11?absinC??4?sin?3 22321．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可

用函数

a?0.1?15ln　x,???a?x f(x)???x?4.4,　　　　　?6??x?46,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数（x?N），f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.

（1）证明：当x ?7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m *（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科. 21题。证明（1）当x?7时，f(x?1)?f(x)?0.4

(x?3)(x?4)而当x?7时，函数y?(x?3)(x?4)单调递增，且(x?3)(x?4)?0 故函数f(x?1)?f(x)单调递减

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当x?7时，掌握程度的增长量f(x?1)?f(x)总是下降 (2)有题意可知0.1?15ln整理得

a?0.85 a?6a?e0.05 a?6e0.05?6?20.50?6?123.0,123.0?(121,127]…….13分 解得a?0.05e?1由此可知，该学科是乙学科……………..14分

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分. 已知双曲线

C

的中心是原点，右焦点为

0?，一条渐近线F?3，m:x+2y?0,设过点

vA(?32,0)的直线l的方向向量e?(1,k)。

（4） 求双曲线C的方程；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （5） 若过原点的直线a//l，且a与l的距离为6，求K的值；

（6） 证明：当k?2时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6. 222．【解】（1）设双曲线C的方程为x2?2y2??(??0)

x2?3，解额??2双曲线C的方程为?y2?1 ???22?（2）直线l:kx?y?32k?0，直线a:kx?y?0

由题意，得|32k|1?k2?6，解得k??2 2（3）【证法一】设过原点且平行于l的直线b:kx?y?0

则直线l与b的距离d?32|k|1?k2,当k?

2时，d?6 2又双曲线C的渐近线为x?2y?0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? 双曲线C的右支在直线b的右下方，

? 双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于6。

故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6

【证法二】假设双曲线C右支上存在点Q(x0,y0)到直线l的距离为6，

?|kx0?y0?32k?6(1)?2则? 1?k?22(2)?x0?2y0?22由（1）得y0?kx0?32k?6?1?k 设t?32k?6?1?k2， 当k?2时，t?32k?6?1?k2?0； 2t?32k?6?1?k?6?22k2?13k?1?k22?0

2将y0?kx0?t代入（2）得(1?2k2)x0?4ktx0?2(t2?1)?0

k?2,t?0，2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?1?2k2?0,?4kt?0,?2(t2?1)?0

? 方程(*)不存在正根，即假设不成立，

故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列

（1）若 an?3n?1，是否存在m,n?N，有am?am?1?ak？请说明理由；

（2）若bn?aqn（a、q为常数，且aq?0）对任意m存在k，有bm?bm?1?bk，试求a、q满足的充要条件；

（3）若an?2n?1,bn?3n试确定所有的p,使数列?bn?中存在某个连续p项的和式数列中

*?an?的一项，请证明.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

23．【解】（1）由am?am?1?ak,得6m?6?3k?1，

整理后，可得k?2m?4, 3m、k?N，?k?2m为整数

?不存在n、k?N?，使等式成立。

（2）当m?1时，则b1?b2?bk,?a?q?aq

23k?a?qk?3,即a?qc，其中c是大于等于?2的整数

反之当a?q时，其中c是大于等于?2的整数，则bn?qn?c， 显然bm?bm?1?qm?cc?qm?1?c?q2m?1?2c?bk，其中k?2m?1?c

?a、q满足的充要条件是a?qc，其中c是大于等于?2的整数

（3）设bm?1?bm?2??bm?p?ak

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当p为偶数时，(*)式左边为偶数，右边为奇数，当p为偶数时，(*)式不成立。

3m?1(1?3p)?2k?1，整理得3m?1(3p?1)?4k?2 由(*)式得

1?3当p?1时，符合题意。 当p?3，p为奇数时，

3p?1?(1?2)p?1

0122?Cp?C1p?2?Cp?2?122?C1p?2?Cp?2?2?2?C1p?Cp?2?p?Cp?2p?1p?Cp?2pp?Cp?2p?1?p?Cp?2p?2??p??

222?2?2C?C?2??pp?? 由3m?1(3p?1)?4k?2，得

2223m?1?2C?C?2??pp?p?Cp?2p?2??p???2k?1

?当p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立。 ?当p为奇数时，命题都成立。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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