七年级上册数学易错题集及解析(教师版)

1.2有理数 ............................................................................................................................. 2 1.3数轴 ................................................................................................................................. 4 1.4绝对值 ............................................................................................................................. 8 1.5有理数的大小比较 ....................................................................................................... 10 第二章 有理数的运算 ........................................................................................................... 11

2.1有理数的加法 ............................................................................................................... 11 2.2有理数的减法 ............................................................................................................... 12 2.3有理数的乘法 ............................................................................................................... 14 2.4有理数的除法 ............................................................................................................... 15 2.5有理数的乘方 ............................................................................................................... 17 2.6有理数的混合运算 ....................................................................................................... 26 2.7准确数和近似数 ........................................................................................................... 29 第三章 实数 ........................................................................................................................... 31

3.1平方根 ........................................................................................................................... 31 3.2实数 ............................................................................................................................... 32 3.3立方根 ........................................................................................................................... 34 3.5实数的运算 ................................................................................................................... 36 第四章 代数式 ....................................................................................................................... 39

4.2代数式 ........................................................................................................................... 39 4.3代数式的值 ................................................................................................................... 41 4.4整式 ............................................................................................................................... 43 4.5合并同类项 ................................................................................................................... 47 4.6整式的加减 ................................................................................................................... 49 4.7专题训练（找规律题型） ........................................................................................... 57 第五章 一元一次方程 ........................................................................................................... 68

5.1一元一次方程 ............................................................................................................... 68 5.2一元一次方程的解法 ................................................................................................... 76 5.3一元一次方程的应用 ................................................................................................... 80 第六章 数据与图表 ....................................................................................................... 94 6.3条形统计图与折线统计图 ........................................................................................... 94 6.4扇形统计图 ................................................................................................................... 94 第七章 图形的初步认识 ....................................................................................................... 96

7.1几何图形 ....................................................................................................................... 96 7.2线段、射线和直线 ....................................................................................................... 97 7.3线段的长短比较 ........................................................................................................... 98 7.4角与角的度量 ............................................................................................................. 108 7.5角的大小比较 ............................................................................................................. 111 7.6余角和补角 ................................................................................................................. 115 7.7相交线 ......................................................................................................................... 116

1

第一章 从自然数到有理数

1.2有理数

类型一：正数和负数

1．在下列各组中，哪个选项表示互为相反意义的量（ ） A．足球比赛胜5场与负5场 B．向东走3千米，再向南走3千米

C．增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食 D．下降的反义词是上升 考点：正数和负数。 分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对．

解答：解：表示互为相反意义的量：足球比赛胜5场与负5场． 故选A 点评：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．此题的难点在“增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食”在这一点上要理解“﹣”就是减产的意思． 变式1：

2．下列具有相反意义的量是（ ） A．前进与后退 B．胜3局与负2局

C．气温升高3℃与气温为﹣3℃ D．盈利3万元与支出2万元 考点：正数和负数。

分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 解答：解：A、前进与后退，具有相反意义，但没有量．故错误； B、正确；

C、升高与降低是具有相反意义的量，气温为﹣3℃只表示某一时刻的温度，故错误； D、盈利与亏损是具有相反意义的量．与支出2万元不具有相反意义，故错误． 故选B．

点评：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 类型二：有理数

1．下列说法错误的是（ ） A．负整数和负分数统称负有理数 B．正整数，0，负整数统称为整数 C．正有理数与负有理数组成全体有理数 D．3.14是小数，也是分数 考点：有理数。

分析：按照有理数的分类判断：

有理数．

解答：解：负整数和负分数统称负有理数，A正确．

整数分为正整数、负整数和0，B正确．

正有理数与0，负有理数组成全体有理数，C错误．

3.14是小数，也是分数，小数是分数的一种表达形式，D正确． 故选C．

点评：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点． 注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 变式：

2．下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点：有理数。

分析：根据0的特殊规定和性质对各选项作出判断后选取答案，注意：2002年国际数学协会规定，零为偶数；我国2004年也规定零为偶数． 解答：解：①0是整数，故本选项正确； ②0是自然数，故本选项正确；

③能被2整除的数是偶数，0可以，故本选项正确； ④非负数包括正数和0，故本选项正确． 所以①②③④都正确，共4个． 故选A．

点评：本题主要对0的特殊性的考查，熟练掌握是解题的关键． 3．下列说法正确的是（ ） A．零是最小的整数 B．有理数中存在最大的数

C．整数包括正整数和负整数 D．0是最小的非负数 考点：有理数。

分析：根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）．

解答：解：A、整数包括正整数、0、负整数，负整数小于0，且没有最小值，故A错误； B、有理数没有最大值，故B错误；

C、整数包括正整数、0、负整数，故C错误； D、正确．故选D．

点评：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点． 注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．

4．把下面的有理数填在相应的大括号里：（★友情提示：将各数用逗号分开）15，0，﹣30，0.15，﹣128，正数集合﹛ 15，0.15，

，+20，﹣2.6 ，+20 …﹜

，

3

负数集合﹛ ，﹣30，﹣128，﹣2.6 …﹜

整数集合﹛ 15，0，﹣30，﹣128，+20 …﹜ 分数集合﹛ 考点：有理数。

，0.15，

，﹣2.6 …﹜

分析：按照有理数的分类填写：有理数．

解答：解：正数集合﹛15，0.15，负数集合﹛

，+20，﹜

，﹣30，﹣128，﹣2.6，﹜

整数集合﹛15，0，﹣30，﹣128，+20，﹜ 分数集合﹛

，0.15，

，﹣2.6，﹜

点评：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．

1.3数轴

类型一：数轴 选择题 1．（2009?绍兴）将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3.6和x，则（ ）

A．9＜x＜10 B．10＜x＜11 C．11＜x＜12 D．12＜x＜13 考点：数轴。

分析：本题图中的刻度尺对应的数并不是从0开始的，所以x对应的数要减去﹣3.6才行． 解答：解：依题意得：x﹣（﹣3.6）=15，x=11.4． 故选C．

点评：注意：数轴上两点间的距离=右边的数减去左边的数．

2．在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数是（ ） A．1 B．3 C．±2 D．1或﹣3 考点：数轴。

分析：此题可借助数轴用数形结合的方法求解．在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点有两个，分别位于与表示数﹣1的点的左右两边．

解答：解：在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数有两个：﹣1﹣2=﹣3；﹣1+2=1． 故选D．

点评：注意此类题应有两种情况，再根据“左减右加”的规律计算．

3．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（ ） A．2002或2003 B．2003或2004 C．2004或2005 D．2005或2006 考点：数轴。

分析：某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数可能正好是2005个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是2004个．

解答：解：依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖2005个数； ②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2004个数． 故选C．

点评：在学习中要注意培养学生数形结合的思想．本题画出数轴解题非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．

4．数轴上的点A表示的数是+2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是（ ） A．5 B．±5 C．7 D．7或﹣3 考点：数轴。

分析：此题注意考虑两种情况：要求的点在已知点的左侧或右侧．

解答：解：与点A相距5个单位长度的点表示的数有2个，分别是2+5=7或2﹣5=﹣3． 故选D．

点评：要求掌握数轴上的两点间距离公式的运用．在数轴上求到已知点的距离为一个定值的点有两个．

5．如图，数轴上的点A，B分别表示数﹣2和1，点C是线段AB的中点，则点C表示的数是（ ）

A．﹣0.5 B．﹣1.5 C．0 D．0.5 考点：数轴。

分析：根据数轴的相关概念解题．

解答：解：∵数轴上的点A，B分别表示数﹣2和1， ∴AB=1﹣（﹣2）=3．

∵点C是线段AB的中点，

5

∴AC=CB=AB=1.5，

∴把点A向右移动1.5个单位长度即可得到点C，即点C表示的数是﹣2+1.5=﹣0.5． 故选A．

点评：本题还可以直接运用结论：如果点A、B在数轴上对应的数分别为x1，x2，那么线段AB的中点C表示的数是：（x1+x2）÷2．

6．点M在数轴上距原点4个单位长度，若将M向右移动2个单位长度至N点，点N表示的数是（ ） A．6 B．﹣2 C．﹣6 D．6或﹣2 考点：数轴。

分析：首先根据绝对值的意义“数轴上表示一个数的点到原点的距离，即为这个数的绝对值”，求得点M对应的数；再根据平移和数的大小变化规律，进行分析：左减右加． 解答：解：因为点M在数轴上距原点4个单位长度，点M的坐标为±4． （1）点M坐标为4时，N点坐标为4+2=6；

（2）点M坐标为﹣4时，N点坐标为﹣4+2=﹣2． 所以点N表示的数是6或﹣2． 故选D．

点评：此题考查了绝对值的几何意义以及平移和数的大小变化规律．

7．如图，A、B、C、D、E为某未标出原点的数轴上的五个点，且AB=BC=CD=DE，则点D所表示的数是（ ） A．10 B．9 C．6 D．0 考点：数轴。

分析：A与E之间的距离已知，根据AB=BC=CD=DE，即可得到DE之间的距离，从而确定点D所表示的数．

解答：解：∵AE=14﹣（﹣6）=20，

又∵AB=BC=CD=DE，AB+BC+CD+DE=AE， ∴DE=AE=5，

∴D表示的数是14﹣5=9． 故选B．

点评：观察图形，求出AE之间的距离，是解决本题的关键．

填空题

8．点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动7个单位，再向左移动4个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是 ﹣3 ． 考点：数轴。

分析：此题可借助数轴用数形结合的方法求解． 解答：解：设点A表示的数是x．

依题意，有x+7﹣4=0， 解得x=﹣3．

点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．

解答题

9．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若折叠后，数1表示的点与数﹣1表示的点重合，则此时数﹣2表示的点与数 2 表示的点重合； （2）若折叠后，数3表示的点与数﹣1表示的点重合，则此时数5表示的点与数 ﹣3 表示的点重合；若这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），则A点表示的数为 ﹣3.5 ，B点表示的数为 5.5 ． 考点：数轴。 分析：（1）数1表示的点与数﹣1表示的点重合，则这两点关于原点对称，求出﹣2关于原点的对称点即可；

（2）若折叠后，数3表示的点与数﹣1表示的点重合，则这两点一定关于1对称，即两个数的平均数是1，若这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），则这两点到1的距离是4.5，即可求解． 解答：解：（1）2． （2）﹣3（2分）；A表示﹣3.5，B表示5.5．

点评：本题借助数轴理解比较直观，形象．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

10．如图，数轴上A、B两点，表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，点C所表示的实数是 ﹣2﹣ ．

考点：数轴。

分析：点B到点A的距离等于点B的对称点C到点A的距离．

解答：解：点B到点A的距离为：1+，则点C到点A的距离也为1+，设点C的坐标为x，则点A到点C的距离为：﹣1﹣x=1+，所以x=﹣2﹣．

点评：点C为点B关于点A的对称点，则点C到点A的距离等于点B到点A的距离．两点之间的距离为两数差的绝对值．

7

11．把﹣1.5，，3，﹣，﹣π，表示在数轴上，并把它们用“＜”连接起来，得到： ﹣π＜﹣1.5＜﹣＜＜3 ． 考点：数轴。

分析：把下列各数表示在数轴上，根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数即可用“＜”连接起来．

解答：解：

根据数轴可以得到：﹣π＜﹣1.5＜﹣＜＜3．

点评：此题综合考查了数轴的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．

12．如图，数轴上的点A、O、B、C、D分别表示﹣3，0，2.5，5，﹣6， 回答下列问题．

（1） O、B两点间的距离是 2.5 ． （2）A、D两点间的距离是 3 ． （3）C、B两点间的距离是 2.5 ．

（4）请观察思考，若点A表示数m，且m＜0，点B表示数n，且n＞0， 那么用含m，n的代数式表示A、B两点间的距离是 n﹣m ． 考点：数轴。

分析：首先由题中的数轴得到各点的坐标，坐标轴上两点的距离为两数坐标差的绝对值． 解答：解：（1）B，O的距离为|2.5﹣0|=2.5 （2）A、D两点间的距离|﹣3﹣（﹣6）|=3 （3）C、B两点间的距离为：2.5

（4）A、B两点间的距离为|m﹣n|=n﹣m．

点评：数轴上两点的距离为两数的距离为两数的绝对值，两点的距离为一个正数．

1.4绝对值

类型一：数轴

1．若|a|=3，则a的值是 ±3 ． 考点：绝对值。 专题：计算题。

分析：根据绝对值的性质求解．注意a值有2个答案且互为相反数．

解答：解：∵|a|=3， ∴a=±3．

点评：考查了绝对值的性质．绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（ ） A．﹣8 B．2 C．8或﹣2 D．﹣8或2 考点：绝对值；相反数。

分析：首先根据相反数，绝对值的概念分别求出x、y的值，然后代入x+y，即可得出结果． 解答：解：x的相反数是3，则x=﹣3， |y|=5，y=±5，

∴x+y=﹣3+5=2，或x+y=﹣3﹣5=﹣8． 则x+y的值为﹣8或2． 故选D．

点评：此题主要考查相反数、绝对值的意义． 绝对值相等但是符号不同的数是互为相反数．

一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．若

=﹣1，则a为（ ）

A．a＞0 B．a＜0 C．0＜a＜1 D．﹣1＜a＜0 考点：绝对值。

分析：根据“一个负数的绝对值是它的相反数”求解． 解答：解：∵

=﹣1，

∴|a|=﹣a，

∵a是分母，不能为0， ∴a＜0． 故选B．

点评：绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 变式：

4．﹣|﹣2|的绝对值是 2 ． 考点：绝对值。 专题：计算题。

分析：先计算|﹣2|=2，﹣|﹣2|=﹣2，所以﹣|﹣2|的绝对值是2． 解答：解：﹣|﹣2|的绝对值是2． 故本题的答案是2． 点评：掌握绝对值的规律，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

9

5．已知a是有理数，且|a|=﹣a，则有理数a在数轴上的对应点在（ ） A．原点的左边 B．原点的右边

C．原点或原点的左边 D．原点或原点的右边 考点：绝对值。

分析：根据绝对值的性质判断出a的符号，然后再确定a在数轴上的位置． 解答：解：∵|a|=﹣a，∴a≤0．

所以有理数a在原点或原点的左侧． 故选C．

点评：此题主要考查绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 6．若ab＞0，则

+

+

的值为（ ）

A．3 B．﹣1 C．±1或±3 D．3或﹣1 考点：绝对值。

分析：首先根据两数相乘，同号得正，得到a，b符号相同；再根据同正、同负进行分情况讨论．

解答：解：因为ab＞0，所以a，b同号． ①若a，b同正，则②若a，b同负，则

++

++

=1+1+1=3； =﹣1﹣1+1=﹣1．

故选D．

点评：考查了绝对值的性质，要求绝对值里的相关性质要牢记：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．该题易错点是分析a，b的符号不透彻，漏掉一种情况．

1.5有理数的大小比较

类型一：有理数的大小比较

1、如图，正确的判断是（ ）

A．a＜-2 B．a＞-1 C．a＞b D．b＞2

考点： 数轴；有理数大小比较．

分析：根据数轴上点的位置关系确定对应点的大小．注意：数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大．

解答：解：由数轴上点的位置关系可知a＜-2＜-1＜0＜1＜b＜2，则

A、a＜-2，正确； B、a＞-1，错误； C、a＞b，错误； D、b＞2，错误． 故选A．

点评：本题考查了有理数的大小比较．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．本题中要注意：数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大．

2、比较1，-2.5，-4的相反数的大小，并按从小到大的顺序用“＜”边接起来，为_______ 考点： 有理数大小比较；数轴．

分析： 1，-2.5，-4的相反数分别是-1，2.5，4．根据数轴上右边的数总大于左边的数可排列出大小顺序．

解答：解：1的相反数是-1，-2.5的相反数是2.5，-4的相反数是4． 按从小到大的顺序用“＜”连接为：-1＜2.5＜4．

点评：由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

第二章 有理数的运算 2.1有理数的加法

类型一：有理数的加法

1．已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，那么a+b+|c|等于（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 考点：有理数的加法。

分析：先根据有理数的相关知识确定a、b、c的值，然后将它们代入a+b+|c|中求解． 解答：解：由题意知：a=1，b=﹣1，c=0； 所以a+b+|c|=1﹣1+0=0． 故选B．

点评：本题主要考查的是有理数的相关知识．最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1，绝对值最小的有理数是0．

类型二：有理数的加法与绝对值

1．已知|a|=3，|b|=5，且ab＜0，那么a+b的值等于（ ） A．8 B．﹣2 C．8或﹣8 D．2或﹣2 考点：绝对值；有理数的加法。 专题：计算题；分类讨论。

分析：根据所给a，b绝对值，可知a=±3，b=±5；又知ab＜0，即ab符号相反，那么应分类讨论两种情况，a正b负，a负b正，求解． 解答：解：已知|a|=3，|b|=5， 则a=±3，b=±5；

且ab＜0，即ab符号相反，

当a=3时，b=﹣5，a+b=3﹣5=﹣2； 当a=﹣3时，b=5，a+b=﹣3+5=2． 故选D．

11

点评：本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 变式：

2．已知a，b，c的位置如图，化简：|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|= ﹣2a ．

考点：数轴；绝对值；有理数的加法。

分析：先根据数轴上的大小关系确定绝对值符号内代数式的正负情况a﹣b＜0，b+c＜0，c﹣a＞0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解．注意：数轴上的点右边的总比左边的大．

解答：解：由数轴可知a＜c＜0＜b，所以a﹣b＜0，b+c＜0，c﹣a＞0，则 |a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|=b﹣a﹣b﹣c+c﹣a=﹣2a．

点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．要注意先确定绝对值符号内代数式的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算．

2.2有理数的减法

类型一：正数和负数，有理数的加法与减法 选择题

1．某汽车厂上半年一月份生产汽车200辆，由于另有任务，每月上班人数不一定相等，上半年各月与一月份的生产量比较如下表（增加为正，减少为负）．则上半年每月的平均产量为（ ） 月份 二 三 ﹣9 四 ﹣13 五 +8 六 ﹣11 增减（辆） ﹣5 A．205辆 B．204辆 C．195辆 D．194辆 考点：正数和负数；有理数的加法；有理数的减法。 专题：应用题；图表型。

分析：图表中的各数据都是和一月份比较所得，据此可求得上半年每月和第一月份产量的平均增减值，再加上一月份的产量，即可求得上半年每月的平均产量． 解答：解：由题意得：上半年每月的平均产量为200+

=195（辆）．

故选C．

点评：此题主要考查正负数在实际生活中的应用．需注意的是表中没有列出一月份与一月份的增减值，有些同学在求平均值时往往忽略掉一月份，从而错误的得出答案D． 2．某商店出售三种不同品牌的大米，米袋上分别标有质量如下表：

现从中任意拿出两袋不同品牌的大米，这两袋大米的质量最多相差（ ） 大米种类 质量标示 A品牌大米 （10±0.1）kg B品牌大米 （10±0.3）kg C品牌大米 （10±0.2）kg A．0.8kg B．0.6kg C．0.4kg D．0.5kg 考点：正数和负数；有理数的减法。 专题：图表型。

分析：利用正负数的意义，求出每种品牌的质量的范围差即可． 解答：解：A品牌的质量差是：0.1﹣（﹣0.1）=0.2kg； B品牌的质量差是：0.3﹣（﹣0.3）=0.6kg； C品牌的质量差是：0.2﹣（﹣0.2）=0.4kg．

∴从中任意拿出两袋不同品牌的大米，选B品牌的最大值和C品牌的最小值，相差为0.3﹣（﹣0.2）=0.5kg，此时质量差最大． 故选D．

点评：理解标识的含义，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量，是解决本题的关键． 填空题

3．﹣9，6，﹣3三个数的和比它们绝对值的和小 24 ． 考点：绝对值；有理数的加减混合运算。 分析：根据绝对值的性质及其定义即可求解． 解答：解：（9+6+3）﹣（﹣9+6﹣3）=24．

答：﹣9，6，﹣3三个数的和比它们绝对值的和小24．

点评：本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，同时考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．

绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

4．已知a、b互为相反数，且|a﹣b|=6，则b﹣1= 2或﹣4 ． 考点：有理数的减法；相反数；绝对值。

分析：由a、b互为相反数，可得a+b=0；由于不知a、b的正负，所以要分类讨论b的正负，才能利用|a﹣b|=6求b的值，再代入所求代数式进行计算即可． 解答：解：∵a、b互为相反数，∴a+b=0即a=﹣b． 当b为正数时，∵|a﹣b|=6，∴b=3，b﹣1=2； 当b为负数时，∵|a﹣b|=6，∴b=﹣3，b﹣1=﹣4． 故答案填2或﹣4．

点评：本题主要考查了代数式求值，涉及到相反数、绝对值的定义，涉及到绝对值时要注意分类讨论思想的运用． 解答题

5．一家饭店，地面上18层，地下1层，地面上1楼为接待处，顶楼为公共设施处，其余16层为客房；地面下1楼为停车场． （1）客房7楼与停车场相差 7 层楼；

（2）某会议接待员把汽车停在停车场，进入该层电梯，往上14层，又下5层，再下3层，最后上6层，那么他最后停在 12 层；

（3）某日，电梯检修，一服务生在停车场停好汽车后，只能走楼梯，他先去客房，依次到了8楼、接待处、4楼，又回接待处，最后回到停车场，他共走了 22 层楼梯．

13

考点：正数和负数；有理数的加减混合运算。

分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 解答：解：“正”和“负”相对，所以，若记地上为正，地下为负．由此做此题即可． 故（1）7﹣（﹣1）﹣1=7（层），（2分） 答：客房7楼与停车场相差7层楼． （2）14﹣5﹣3+6=12（层），（3分） 答：他最后停在12层． （3）8+7+3+3+1=22（层），（3分） 答：他共走了22层楼梯．

点评：此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．

6．某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售．他以每套55元的价格为标准，将超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2（单位：元）他卖完这八套儿童服装后是 盈利 ，盈利或亏损了 37 元． 考点：有理数的加减混合运算；正数和负数。 分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对．他以每套55元的价格出售，售完应得盈利5×8=40元，要想知道是盈利还是亏损，只要把他所记录的数据相加再与他应得的盈利相加即可，如果是正数，则盈利，是负数则亏损．

解答：解：+2+（﹣3）+2+1+（﹣2）+（﹣1）+0+（﹣2） =﹣3

5×8+（﹣3）=37（元） 答：他盈利了37元．

点评：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

2.3有理数的乘法

类型一：有理数的乘法

1．绝对值不大于4的整数的积是（ ） A．16 B．0 C．576 D．﹣1 考点：有理数的乘法；绝对值。 专题：计算题。

分析：先找出绝对值不大于4的整数，再求它们的乘积．

解答：解：绝对值不大于4的整数有，0、1、2、3、4、﹣1、﹣2、﹣3、﹣4，所以它们的乘积为0． 故选B．

点评：绝对值的不大于4的整数，除正数外，还有负数．掌握0与任何数相乘的积都是0． 变式：

2．五个有理数的积为负数，则五个数中负数的个数是（ ） A．1 B．3 C．5 D．1或3或5 考点：有理数的乘法。 分析：多个有理数相乘的法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．

解答：解：五个有理数的积为负数，负数的个数是奇数个，则五个数中负数的个数是1、3、5．

故选D．

点评：本题考查了有理数的乘法法则．

3．比﹣3大，但不大于2的所有整数的和为 0 ，积为 0 ． 考点：有理数的乘法；有理数大小比较；有理数的加法。 分析：根据题意画出数轴便可直接解答．

解答：解：根据数轴的特点可知：比﹣3大，但不大于2的所有整数为：﹣2，﹣1，0，1，2．

故其和为：（﹣2）+（﹣1）+0+1+2=0， 积为：（﹣2）×（﹣1）×0×1×2=0．

点评：由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

4．已知四个数：2，﹣3，﹣4，5，任取其中两个数相乘，所得积的最大值是 12 ． 考点：有理数的乘法。

分析：由于有两个负数和两个正数，故任取其中两个数相乘，最大的数为正数，且这两个数同号．故任取其中两个数相乘，最大的数=﹣3×（﹣4）=12．

解答：解：2，﹣3，﹣4，5，这四个数中任取其中两个数相乘，所得积的最大值=﹣3×（﹣4）=12．

故本题答案为12．

点评：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．

2.4有理数的除法

类型一：倒数

1．负实数a的倒数是（ ）

A．﹣a

B．

C．﹣

D．a

考点：倒数。

15

分析：根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数可知． 解答：解：根据倒数的定义可知，负实数a的倒数是．

故选B．

点评：本题主要考查了倒数的定义． 变式：

2．﹣0.5的相反数是 0.5 ，倒数是 ﹣2 ，绝对值是 0.5 ． 考点：倒数；相反数；绝对值。

分析：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数． 根据倒数的定义，互为倒数的两数积为1；

正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数． 解答：解：﹣0.5的相反数是0.5；

﹣0.5×（﹣2）=1，因此﹣0.5的倒数是﹣2； ﹣0.5是负数，它的绝对值是其相反数，为0.5．

点评：本题主要考查相反数、倒数和绝对值的定义．要记住，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身．

3．倒数是它本身的数是 ±1 ，相反数是它本身的数是 0 ． 考点：倒数；相反数。

分析：根据相反数，倒数的概念可知．

解答：解：倒数是它本身的数是±1，相反数是它本身的数是0． 点评：主要考查相反数，倒数的概念及性质．

相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0； 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

类型二：有理数的除法

1．下列等式中不成立的是（ ）

A．﹣B．

C．÷1.2÷D．

=

考点：有理数的除法；有理数的减法。X-k-b -1.-c- o-m 分析：A、先化简绝对值，再根据有理数减法法则计算；

B、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，据此判断； C、根据有理数除法法则判断； D、根据有理数除法法则判断．

解答：解：A、原式=﹣=，选项错误；

B、等式成立，所以选项错误； C、等式成立，所以选项错误； D、

，所以不成立，选项正确．

故选D．

点评：本题主要考查了有理数的减法和除法法则．

减法、除法可以分别转化成加法和乘法，乘方是利用乘法法则来定义的，所以有理数混合运算的关键是加法和乘法．

加法和乘法的法则都包括符号和绝对值两部分，同学在计算中要学会正确确定结果的符号，再进行绝对值的运算． 变式：

2．甲小时做16个零件，乙小时做18个零件，那么（ ）

A．甲的工作效率高 B．乙的工作效率高 C．两人工作效率一样高 D．无法比较 考点：有理数的除法。 专题：应用题。

分析：根据工作效率=工作总量÷工作时间，先分别求出甲、乙二人的工作效率，再进行比较．

解答：解：甲小时做16个零件，即16÷=24； 乙小时做18个零件，即18

=24．

故工作效率一样高． 故选C．

点评：本题是一道工程问题的应用题，较简单．基本关系式为：工作总量=工作效率×工作时间．

2.5有理数的乘方

类型一： 有理数的乘方 选择题

1．下列说法错误的是（ ） A．两个互为相反数的和是0 B．两个互为相反数的绝对值相等 C．两个互为相反数的商是﹣1 D．两个互为相反数的平方相等 考点：相反数；绝对值；有理数的乘方。 分析：根据相反数的相关知识进行解答．

解答：解：A、由相反数的性质知：互为相反数的两个数相加等于0，正确； B、符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，正确；

C、0的相反数是0，但0不能做除数，所以0与0的商也不可能是﹣1，错误；

17

D、由于互为相反数的绝对值相等，所以它们的平方也相等，正确． 故选C．

点评：此题主要考查了相反数的定义和性质；

定义：符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数；

性质：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2．计算（﹣1）的结果是（ ） A．﹣1 B．1 C．﹣2005 D．2005 考点：有理数的乘方。

分析：根据有理数的乘方运算，﹣1的奇数次幂是﹣1．

20052005

解答：解：（﹣1）表示2005个（﹣1）的乘积，所以（﹣1）=﹣1． 故选A．

点评：乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．

负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．

3．计算（﹣2）+（）

3

﹣3

2005

的结果是（ ）

A．0 B．2 C．16 D．﹣16 考点：有理数的乘方。

分析：先算乘方，再算加法．

解答：解：（﹣2）+（）=﹣8+8=0．

故选A．

点评：乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，非0有理数的负整数次幂等于正整数次幂的倒数．

4．下列说法中正确的是（ ） A．平方是它本身的数是正数 B．绝对值是它本身的数是零 C．立方是它本身的数是±1 D．倒数是它本身的数是±1 考点：有理数的乘方；绝对值；倒数。

分析：根据平方，绝对值，立方和倒数的意义进行判断．

解答：解：∵平方是它本身的数是1和0；绝对值是它本身的数是零和正数；立方是它本身的数是±1和0；倒数是它本身的数是±1， ∴正确的只有D． 故选D．

点评：主要考查了平方，绝对值，立方和倒数的意义．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．

5．若a=a，则a这样的有理数有（ ）个．

3

3

﹣3

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点：有理数的乘方。

分析：本题即是求立方等于它本身的数，只有0，﹣1，1三个．

解答：解：若a=a，有a﹣a=0． 因式分解可得a（a﹣1）（a+1）=0． 所以满足条件的a有0，﹣1，1三个． 故选D．

点评：解决此类题目的关键是熟记立方的意义．根据立方的意义，一个数的立方就是它本身，则这个数是1，﹣1或0．

6．若（﹣ab）

1033

3

＞0，则下列各式正确的是（ ）

D．a＜0，b＞0

A．＜0 B．＞0 C．a＞0，b＜0

考点：有理数的乘方。

分析：根据正数的奇次幂是正数，可知﹣ab＞0，则ab＜0，再根据有理数的乘法法则得出a，b异号，最后根据有理数的除法法则得出结果． 解答：解：因为（﹣ab）＞0， 所以﹣ab＞0，则ab＜0， 那么a，b异号，商为负数， 但不能确定a，b谁正谁负． 故选A．

点评：本题考查了有理数的乘法、除法、乘方的符号法则．

7．如果n是正整数，那么[1﹣（﹣1）]（n﹣1）的值（ ）

A．一定是零 B．一定是偶数 C．是整数但不一定是偶数 D．不一定是整数 考点：整数的奇偶性问题；有理数的乘方。

分析：因为n是正整数，即n可以是奇数，也可以是偶数．因此要分n为奇数，n为偶数情况讨论．

nn

解答：解：当n为奇数时，（﹣1）=﹣1，1﹣（﹣1）=2， 设不妨n=2k+1（k取自然数）， 则n﹣1=（2k+1）﹣1=（2k+1+1）（2k+1﹣1）=4k（k+1）， ∴k与（k+1）必有一个是偶数， ∴n﹣1是8的倍数．

所以[1﹣（﹣1）]（n﹣1）=×2×8的倍数， 即此时[1﹣（﹣1）]（n﹣1）的值是偶数； 当n为偶数时，（﹣1）=1，1﹣（﹣1）=0，

19

n

n

n

2

n

2

22

2

n

2

103

所以[1﹣（﹣1）]（n﹣1）=0，

此时[1﹣（﹣1）]（n﹣1）的值是0，也是偶数．

综上所述，如果n是正整数，[1﹣（﹣1）]（n﹣1）的值是偶数．

故选B．

点评：解题关键是掌握负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．偶数与偶数的积是偶数，偶数与奇数的积是偶数，奇数与奇数的积是奇数．

8．﹣2，（﹣1），（﹣1）的大小顺序是（ ）

22323232

A．﹣2＜（﹣1）＜（﹣1） B．﹣2＜（﹣1）＜（﹣1） C．（﹣1）＜﹣2＜

2232

（﹣1） D．（﹣1）＜（﹣1）＜﹣2 考点：有理数的乘方；有理数大小比较。

分析：先根据有理数乘方的运算法则分别化简各数，再比较大小．

解答：解：∵﹣2=﹣4，（﹣1）=1，（﹣1）=﹣1，

232

∴﹣2＜（﹣1）＜（﹣1）． 故选B．

点评：本题考查了有理数乘方及有理数大小比较．注意先化简各数，再比较大小．

9．最大的负整数的2005次方与绝对值最小的数的2006次方的和是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 考点：有理数的乘方。

分析：最大的负整数是﹣1，绝对值最小的数是0，然后计算即可求出结果．

2005

解答：解：最大的负整数是﹣1，（﹣1）=﹣1，

2006

绝对值最小的数是0，0=0， 所以它们的和=﹣1+0=﹣1． 故选A．

点评：此题的关键是知道最大的负整数是﹣1，绝对值最小的数是0．

10．若a是有理数，则下列各式一定成立的有（ ）

22223333

（1）（﹣a）=a；（2）（﹣a）=﹣a；（3）（﹣a）=a；（4）|﹣a|=a． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点：有理数的乘方。

分析：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 解答：解：（1）在有理数范围内都成立； （2）（3）只有a为0时成立； （4）a为负数时不成立． 故选A．

点评：应牢记乘方的符号法则：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

2

2

3

2

2

3

n

2

n

2

n2

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