2015届高三数学总复习分类汇编 第三期 G单元 立体几何

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G 单元 立体几何

目录

G 单元 立体几何 (1)

G1 空间几何体的结构 (1)

G2 空间几何体的三视图和直观图 (1)

G3 平面的基本性质、空间两条直线 (7)

G4 空间中的平行关系 (7)

G5 空间中的垂直关系 (17)

G6 三垂线定理 (27)

G7 棱柱与棱锥 (28)

G8 多面体与球 (30)

G9 空间向量及运算 (30)

G10 空间向量解决线面位置关系 (31)

G11 空间角与距离的求法 (32)

G12 单元综合 (34)

G1 空间几何体的结构

【数学理卷·2015届辽宁师大附中高三上学期期中考试（201411）】11.已知四面体P ABC -中, 4=PA ，72=AC

，32==BC

PB ,

PA ⊥平面PBC,则四面体P ABC -的内切球半径与外接球半径的比

（ ） 【知识点】空间几何体的结构G1

【答案解析】C 设内切球的半径为r 则V =

13ABC S r ?+13PBC S r ?

+13PAB S r ?+13

PAC S r ?求出r.把三棱锥补成一个三棱柱，根据勾股定理求出外接球的半径R 。

【思路点拨】利用分割法求出内切球的半径，根据勾股定理求出外接球的半径，再求出比值。

G2 空间几何体的三视图和直观图

【数学（理）卷·2015届重庆市重庆一中高三上学期第二次月考（201410

）】5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A

．6

B.3

C. 3

第5题

2

【知识点】由三视图求面积、体积．G2

【答案解析】C 解析：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，而得到的几何体．

原正三棱锥的底面边长为2，高为2，体积V 1=Sh=×2=2．

截去的三棱锥的高为1，体积V 2=×1= 故所求体积为V=V 1﹣V 2=，故选A ． 【思路点拨】由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，利用间接法求出其体积．

【数学理卷·2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（201411） 】6.若某多面体的三视图(单位：cm), 如图所示，

其中正视图与俯视图均为等腰三角形，则

A.

PC ⊥底面，底面是底边为6、高为4的等腰三角形．据此即可计算出答案．

【数学理卷·2015届辽宁师大附中高三上学期期中考试（201411）】5．一个棱锥的三视图如图（单位为cm ），则该棱锥的全面积是 ( )

A 、4+2 6

B 、4+ 6

C 、4+2 2

D 、4+ 2

原几何体是一个如图所示的三棱锥，点O 为边AC 的中点，且PO ⊥底面ABC ∵PO ⊥

3

⊥AC ，PO=AC=OB=2．据此可计算出该棱锥的全面积．

【数学理卷·2015届湖南省师大附中高三上学期第二次月考（201410）word 版】3、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A 、54

B 、27

C 、18

D 、9

【知识点】由三视图求面积、体积．G2

【答案解析】C 解析：由三视图可知，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，

∵底面长和宽分别为3和6，∴其底面面积S=3×6=18，又∵棱锥的高h=3，

故该几何体的体积V=13Sh=13

×3×18=18．故选：C 【思路点拨】由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，分别求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．

【数学理卷·2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word 版】3．一几何体的三

视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ▲ ）。

A ．4π

B ．π3

C ．π2

D ．π

【知识点】三视图，球体表面积G2，G8

【答案解析】B 解析：由三视图可知，此几何体是四棱锥，是由正方体下底面四个顶点和上底面一个顶点

构成。此几何体的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径，所以半径，球的表面积243s R ππ== 。

【思路点拨】由三视图确定几何体，应先由三视图分析原几何体的特征（注意物体的位置的放置与三视图的关系），再利用三视图与原几何体的数据对应关系进行解答.一般情况下，锥体或柱体都可以通过长方体和正方体取点得到。

4

【数学理卷·2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411） 】3.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，

则正视图中的x 的值是（ ） A.2 B.92 C.32

D.3

【知识点】简单空间图形的三视图．G2

【答案解析】D 解析：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：

1122332

V x +=???=，3x ∴=．故选D ． 【思路点拨】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x 即可．

【数学文卷·2015届辽宁师大附中高三上学期期中考试（201411）】9．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是( )．

A ．12π

B ．24π

C ．32π

D ．48π

【数学文卷·2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（201411）】7. 某几何体的三视图如右图所示，则其体积为 ( )

A ．32π B. 3

π C ．π D ．

5π

5

3 正视图 侧视图

俯视图

【知识点】几何体的三视图. G2

【答案解析】B 解析：由三视图可知此几何体是底面半径1，高2的半圆锥，所以其体积为21112233

ππ???=，故选B. 【思路点拨】由几何体的三视图，分析此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.

【数学文卷·2015届湖南省师大附中高三上学期第二次月考（201410）】5、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是

A 、54

B 、27

C 、18

D 、9

【知识点】几何体的三视图. G2 【答案解析】C 解析：由三视图知该几何体是底面是长6积为1

363183???=，故选C. 【思路点拨】由三视图得该几何体的结构，从而求得该几何体的体积.

【数学文卷·2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word 版】2．一几何体的三

视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ▲ ）。

A ．4π

B ．π3

C ．π2

D ．π

【知识点】三视图，三棱锥外接球，球的表面积公式G2 G8

【答案解析】B 解析：由三视图可知其直观图为底面是正方形的

侧棱垂直底面的四棱锥，求其外接球半径，可采用补图成为一个边长为2的正方体的外接球的半径，半径

为，所以外接球的表面积

243S r ππ==，故选择B.

【思路点拨】先由三视图分析原几何体的特征（注意物体的位置的放置与三视图的关系），再利用三视图与原几何体的数据对应关系，确定直观图，该几何体的外接球采用补图成为长方体求解外接球半径..

【数学文卷·2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411）】12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________

左视图

主视图

俯视图 （第2题图）

6

【知识点】由三视图求面积、体积．G2

【答案解析】解析：由题意可知几何体是底面是底面为2的等边三角形，高为3的直三棱柱，所以

几何体的体积为：1232

?=

【思路点拨】通过三视图复原的几何体的形状，结合三视图的数据求出几何体的体积即可．

【数学文卷·2015届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（201410）】16、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为 ．

【数学文卷·2015届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（201410）】9、一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为（ ）

A ．12

B ．32

C ．1

D ．

1

3

7 【思路点拨】根据已知三视图，我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四锥锥，结合三视图中标识的数据,我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．

G3 平面的基本性质、空间两条直线

【数学理卷·2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word 版】4．给定下列两个关于异面直线的命题：那么（ ▲ ）。

命题（1）：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至

多与,a b 中的一条相交；

命题（2）：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

A ．命题（1）正确，命题（2）不正确

B ．命题（2）正确，命题（1）不正确

C ．两个命题都正确

D ．两个命题都不正确

【知识点】空间直线与平面 G3

【答案解析】D 解析：命题（1）中，c 至少与,a b 中的一条相交；命题（2）中的异面直线是存在的，所以

两个命题都不对。

【思路点拨】熟悉异面直线的画法，理解异面直线的定义是求解此题的关键。

【数学文卷·2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（201411）】6．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ( )

A ．平行

B ．相交

C ．垂直

D ．互

为异面

直线

【知识点】空间直线位置关系情况分析. G3

【答案解析】C 解析：当直线l 与平面α相交时A 不成立；当直线l 与

平面α平行时B 不成立；当直线l 在平面α内时D 不成立.故选D.

【思路点拨】采用排除法确定结论.

G4 空间中的平行关系

【数学理卷·2015届辽宁师大附中高三上学期期中考试（201411）】2.已知平面γβα、、,则下列命题中正确的是 ( )

A ．αβαβα⊥⊥=⊥b b a a ，则，，

B ．γαγββα∥，则，⊥⊥

C ．b a b a ⊥⊥==，则，，βαγββα

D ．γαγββα⊥⊥，则，∥ 【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5

【答案解析】D A 选项中b 可能跟α斜交，B 选项中可能α与γ垂直，C 选项中a 可能与b 不垂直，故

D

8 选项正确，故选D.

【思路点拨】根据平面与直线的位置关系求结果。

【数学理卷·2015届湖南省师大附中高三上学期第二次月考（201410）word 版】18、（本小题满分12分）如图，四面体A -BCD 中，AD ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，AD =2，BD

=M 是AD 的中点，P 是△BMD 的外心，点Q 在线段AC 上，且4AC QC 。

（Ⅰ）证明：PQ ∥平面BCD ；

（Ⅱ）若二面角C -BM -D 的大小为60°，求四面体A -BCD 的体积。

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．G4 G7

【答案解析】（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）3

解析：（Ⅰ）取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF=3CF ，连接OP 、OF 、FQ

∵△ACD 中，AQ=3QC 且DF=3CF ，∴QF ∥AD 且QF=AD

∵△BDM 中，O 、P 分别为BD 、BM 的中点

∴OP ∥DM ，且OP=DM ，结合M 为AD 中点得：OP ∥AD 且OP=AD

∴OP ∥QF 且OP=QF ，可得四边形OPQF 是平行四边形

∴PQ ∥OF

∵PQ ?平面BCD 且OF ?平面BCD ，∴PQ ∥平面BCD ；

（Ⅱ）过点C 作CG ⊥BD ，垂足为G ，过G 作GH ⊥BM 于H ，连接CH

∵AD ⊥平面BCD ，CG ?平面BCD ，∴AD ⊥CG

又∵CG ⊥BD ，AD 、BD 是平面ABD 内的相交直线

∴CG ⊥平面ABD ，结合BM ?平面ABD ，得CG ⊥BM

∵GH ⊥BM ，CG 、GH 是平面CGH 内的相交直线

∴BM ⊥平面CGH ，可得BM ⊥CH

因此，∠CHG 是二面角C ﹣BM ﹣D 的平面角，可得∠CHG=60°

设∠BDC=θ，可得

Rt △BCD 中，CD=BDcos θ=2cos θ，CG=CDsin θ=2sin θcos θ，BG=BCsin θ=2

sin 2

θ Rt △BMD 中，HG==；Rt △CHG 中，tan ∠CHG=== ∴tan θ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°，

∵BD=2，

∴CD=，

∴S △BCD ==，

∴V A ﹣BCD ==．

【思路点拨】（Ⅰ）取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF=3CF ，连接OP 、OF 、FQ ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF 是平行四边形，从而PQ ∥OF ，再由线面平行判定定

9 理，证出PQ ∥平面BCD ；（Ⅱ）过点C 作CG ⊥BD ，垂足为G ，过G 作GH ⊥BM 于H ，连接CH ．根据线面垂直的判定与性质证出BM ⊥CH ，因此∠CHG 是二面角C ﹣BM ﹣D 的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG 和CG 关于θ的表达式，最后在Rt △CHG 中，根据正切的定义得出tan ∠CHG ，从而得到tan θ，由此可得∠BDC ，进而可求四面体A ﹣BCD 的体积．

【数学理卷·2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word 版】20．（本小题满分

15分）

如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，

11AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 、N 分别是1CC 、BC 的中点，点P 在直线11A B 上，且满足111()A P A B R λλ=∈uuu r uuu u r 。

（1）证明：PN AM ⊥；

（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45 ，试确定点P

的位置。 【知识点】空间平行、垂直关系，以及线面所成的角G4,G5,G10

【答案解析】（1）略。（2）点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12

． （1） 证明：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空

间

直角坐标系A －xyz ．

则P （λ，0,1），N （12，12，0），M （0,1，12）， （2分） 从而PN ＝（12－λ，12，－1），AM ＝（0,1，12

）， （2分） PN AM ? ＝（12－λ)×0＋12×1－1×12

＝0，所以PN ⊥AM ; （3分） （2）平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA ＝（0,0,1）

．（1分） 设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ），

由（1）得MP ＝（λ，－1，12

）． （2分） 由???????=+-=+--?????=?=?.021,021)21(,0,0z y x z y x MP m NP m λλ得

（1分） 解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312λλλλ-+==???

????-=+=m x x z x y 得令． （1分）

∵平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，

∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m |·|n ||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)

2＝22， （1分） 解得λ＝－12． 故点P 在

B 1A 1的延长线上，且|

A 1P |＝12

． （2分） 【思路点拨】立体几何问题一般采用空间向量解比较简单，首先建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，（第20题图）

10

要求PN ⊥AM ，只需求PN AM ? =0即可；对于面面角，就求出两个面的法向量，根据这两个法向量的夹角

可以确定参数的值，从而求出P 点的位置。

【数学理卷·2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411） 】20.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠= ，E F ，分别是BC PC ，的中点．

（Ⅰ）证明：AE PD ⊥；

（Ⅱ）若2,2AB PA ==,求二面角E AF C --的余弦

值．

【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．G4 G5

【答案解析】（Ⅰ）见解析；

解析：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠= ，可得ABC △为正三角形．

因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．

又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．

因为PA ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，所以PA AE ⊥．

而PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD 且PA AD A = ，

所以AE ⊥平面PAD ．又PD ?平面PAD ，

所以AE PD ⊥． （7分）

（Ⅱ）解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ?平面PAC ，

所以平面PAC ⊥平面ABCD ．

过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，

过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，

则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，

在Rt AOE △中，sin 30EO AE ==

3cos302

AO AE == ， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，sin 45SO AO == ， 又SE === 在Rt ESO △中，cos SO ESO SE ∠===， （14分） 解法二：由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以

(000)10)0)(020)A B C D -，，，，，，，，，， P B E C

D F A z P B

E C D

F A O S

11 1(002)00)12P E F ????，，，，，，，，

所以100)12AE AF ?==???

，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，

则00AE AF ?=??=?? ，，m m

因此11110102

x y z =++=，． 取11z =-，则(021)=-，，m ，

因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A = ，

所以BD ⊥平面AFC ， 故BD 为平面AFC 的一法向量．

又(30)BD = ，，

所以cos BD BD BD

<>=== ，m m m 因为二面角E AF C --为锐角，

． 【思路点拨】（Ⅰ）由已知条件推导出AE ⊥AD ，AE ⊥PA ，由此能证明AE ⊥平面PAD ，从而得到AE ⊥PD ．（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值．

【数学理卷·2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411） 】4.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ）

A.若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥

B.若αβ⊥,m α?,m β⊥,则//m α

C.若m β⊥,m α?,则αβ⊥

D.若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥

【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4 G5

【答案解析】D 解析：若m α⊥,//m n ,//n β，则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥，故A 正确； 若αβ⊥,m α?,m β⊥，则由直线与平面平行的判定定理得//m α，故B 正确；

若m β⊥,m α?，则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥，故C 正确；

若αβ⊥,m α?,n β?，则m 与n 相交、平行或异面，故D 错误．

故选：D ．

【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．

【数学理卷·2015届广东省阳东一中、广雅中学高三第一次联考（201410）】18.（本小题满分14分） 如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3， D 为AC 的中点.

(1)求证：AB 1//面BDC 1；

(2）求二面角C 1—BD —C 的余弦值； (3）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.

B 1

C 1 A 1 B C

D

12

【知识点】直线与平面平行；二面角；直线与平面垂直.G4,G5,G11

【答案解析】略 解析：解：（I ）证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD

∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点.

又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1.………………………2分

∵AB 1?面BDC 1，OD ?面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1.………4分

（II ）解：如图，建立空间直角坐标系，则

C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0），

D （1，3，0）……………………5分

设=（x 1，y 1，z 1）是面BDC 1的一个法向量，则,0

011?????=?=?D C n C 即)21,31,1(,

030231111-=???=+=+y x z y 取.…………………………………………6分 易知C 1=(0，3，0)是面ABC 的一个法向量.

7236

71,cos 11-=?-=>=<∴C C n .……………………………8分 ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为7

2.…………………………………………9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P （2，y ，0）（0≤y ≤3），使得CP ⊥面BDC 1.则

??

???==∴???=-+=-?????=?=?.373,0)3(320)3(3,0011y y y y C C 即∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1.……………………………14分

【思路点拨】由条件可证明直线与平面平行，再建立空间坐标系利用向量求出二面角的余弦值，最利用向量进行说明.

【数学理卷·2015届吉林省实验中学高三上学期第三次质量检测（201411）】7．设m n ，是两条不同的直线, αβ，是两个不同的平面,下列命题中正确的是

A ．若αβ⊥,,m n αβ??,则m n ⊥

B ．若α∥β,,m n αβ??,则n ∥m

C ．若m n ⊥,,m n αβ??,则αβ⊥

D ．若m α⊥,n ∥m ,n ∥β,则αβ⊥

【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5

【答案解析】D 选项A ，若α⊥β，m ?α，n ?β，则可能m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面，故A 错误；选项B ，若α∥β，m ?α，n ?β，则m ∥n ，或m ，n 异面，故B 错误；

选项C ，若m ⊥n ，m ?α，n ?β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误；

选项D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β，故D 正确．故选D

【思路点拨】由α⊥β，m ?α，n ?β，可推得m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面；由α∥β，m ?α，n ?β，可得m ∥n ，或m ，n 异面；由m ⊥n ，m ?α，n ?β，可得α与β可能相交或平行；由m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β．

【数学文卷·2015届辽宁师大附中高三上学期期中考试（201411）】21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥ CD ，

13 AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD . E 和F 分别是CD 和PC 的中点．

求证：

(1)PA ⊥底面ABCD ；

(2)BE ∥平面PAD ；

(3)平面BEF ⊥平面PCD .

【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系G4

G5 【答案解析】(1)略(2)略(3)略

(1)因为平面PAD ∩平面ABCD ＝AD .

又平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AD .所以PA ⊥底面ABCD .

(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，

所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .

所以ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .

又因为BE ?平面PAD ，AD ?平面PAD ，

所以BE ∥平面PAD .

(3)因为AB ⊥AD ，且四边形ABED 为平行四边形．

所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .

由(1)知PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD .

所以CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD .

又E ，F 分别是CD 和CP 的中点，

所以EF ∥PD ，故CD ⊥EF .CD ?平面PCD ，

由EF ，BE 在平面BEF 内，且EF ∩BE ＝E ，

∴CD ⊥平面BEF .

所以平面BEF ⊥平面PCD .

【思路点拨】利用线线平行证明线面平行利用线面垂直证明面面垂直。

【数学文卷·2015届辽宁师大附中高三上学期期中考试（201411）】3．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )．

A ．m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n

B ．m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n

C ．m ⊥α，n ?β，m ⊥n ，则α⊥β

D ．m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β，则α∥β

【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5

【答案解析】B 对于A ，若m ∥α，n ∥β且α∥β，说明m 、n 是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A 错；对于B ，由m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m 与n 一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m 与n 相交，且设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m 与n 所成的角为90°，故命题B 正确．对于C ，根据面面垂直的性质，可知m ⊥α，n ?β，m ⊥n ，∴n ∥α，∴α∥β也可能α∩β=l ，也可能α⊥β，故C 不正确；

对于D ，若“m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l ，所以D 不成立．故选B ．

14 【思路点拨】对于A 、由面面平行的判定定理，得A 是假命题对于B 、由m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，可知m 与n 不平行，借助于直线平移先得到一个与m 或n 都平行的平面，则所得平面与α、β都相交，根据m 与n 所成角与二面角平面角互补的结论．对于C 、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D 、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可．

【数学文卷·2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（201411）】19.（本题满分12分）

如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D .

(1)求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；

(2)设E 是B 1C 1上的一点，当B 1E EC 1

的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？ 请给出证明． 【知识点】面面垂直的判定；线面平行的条件. G4 G5

【答案解析】(1)证明：见解析；（2）当

B 1E E

C 1

的值为1时，A 1E ∥平面ADC 1， 证明：见解析.

解析：（1）证明：在正三棱柱中，1CC ⊥平面ABC,AD ?平面ABC , ∴AD ⊥C 1C ,

又 AD ⊥1C D ,111CC C D C = ,1CC ?平面11BCC B ,1C D ?平面11BCC B ,

AD ∴⊥平面11BCC B . 又AD ? 平面1ADC , ∴平面1ADC ⊥平面11BCC B .

(2)由（1）得，AD BC ⊥,在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点， 当11

1B E EC =,即E 为11B C 得中点时，1A E 平面1ADC

.

证明如下：（如图）四边形11BCC B 是矩形，且D,E 分别是BC, 11B C 的中点，所以

11,BB DE BB DE = 又1111,BB AA BB AA = ,11DE AA DE AA ∴= ，,

∴四边形1ADEA 为平行四边形，1.EA AD ∴

而1A E ?平面1ADC ,AD ?平面1ADC , 故1A E 平面1ADC .

【思路点拨】（1）根据面面垂直的判定定理，只需在平面ADC 1 找到直线与平面BCC 1B 1垂直即可，此直线为AD ；（2）由（1）得D 是线段BC 的中点，所以E 为11B C 得中点时，有

1EA AD ，进而得A 1E ∥平面ADC 1.

15 【数学文卷·2015届湖南省师大附中高三上学期第二次月考（201410）】18、（本小题满分12分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC=BC=1，∠ACB=90 ,点D 为AB 中点.

(1) 求证：1BC 面1A DC ；

(2)

若12

AA =,求二面角1A CD B --的平面角的大小. 【知识点】线面平行的判定；二面角大小的求法. G4 G11 【答案解析】(1)证明：见解析；（2）135 . 解析：(1)证明：连接1AC 与1AC 交于E ，

连接ED ，则E 为1AC 中点，又点D 是AB 中点，则1DE BC ,-------3分

而DE ?平面1A DC ,1BC ?平面1A DC ,则有1BC 平面1A DC ；-----6分

(2)因为二面角1A CD B --的平面角与二面角1A CD A --的平面角互补，又因为

1,CD AB CD AA ⊥⊥，则CD ⊥平面1ADA ，所以1CD A D ⊥,

则1A DA ∠为二面角1A CD A --的平面角，-------9分

在1Rt A AD ?

中，12

AA AD ==, 故145A AD ∠= ,即二面角1A

CD A --的平面角大小为45 -------11分 所以二面角1A CD B --的平面角的大小为135

.-------12分

【思路点拨】(1)只需 在平面1A DC 内找到直线与直线1BC 平行，为此连接1AC 与1AC

交于E ，连接ED ，证明1DE BC 即可；（2）由图知二面角1A CD B --的平面角与二面角1A CD A --的平面角互补，所以

先求二面角1A CD A --的平面角大小，可证1A DA ∠为二面角1A CD A --的平面角，易求145A AD ∠= ，所以所求二面角大小为135 .

【数学文卷·2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word 版】6．设a b 、为两条不同的直线，αβ、为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（ ▲ ）。

16 A ．若a b 、与α所成的角相等，则//a b B ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥

C ．若a α⊥，//a β，则αβ⊥

D ．若//a α，//b β，则//a b

【知识点】空间中直线与平面的位置关系G4 G5

【答案解析】C 解析：A.两条直线的位置关系不能确定，所以错误；B. m 与平面β的关系都有可能，所以错误；C.当一条直线与一个平面垂直，与另一个平面平行时，则两个平面垂直，所以正确；D.两条直线分别于两个平面平行，则两条直线没有关系，所以错误；故选择C.

【思路点拨】根据空间中平面与直线的位置关系，对错误的结论能找到反例即可.

【数学文卷·2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411）】20.(本小题满分14分)）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，且△ABC 为正三角形，61==AB AA ，D 为AC 的中点．

(1)求证:直线1AB ∥平面D BC 1；

(2)求证:平面D BC 1⊥平面11A ACC ；

(3)求三棱锥D BC C 1-的体积．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．G4 G5 G7

【答案解析】(1)见解析； (2) 见解析；(3) 9

解析：（1）证明：连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD ，则点O 为B 1C 的中点．…………1分

∵D 为AC 中点，得DO 为C AB 1?中位线，∴OD B A //1．…………………………2分

C AB B A C AB O

D 111,平面平面?? ∴直线AB 1∥平面BC 1D ………………………4分

（2）证明：∵⊥1AA 底面ABC ，∴BD AA ⊥1 ……………………………………5分

∵底面ABC 正三角形，D 是AC 的中点 ∴BD ⊥AC ………………………………6分

∵A AC AA =?1，∴BD ⊥平面

ACC 1A 1 ……………………………………7分

D BC BD 1平面? ,111A ACC D BC 平面平面⊥∴ …………………8分

（3）由（2）知△ABC 中，BD ⊥AC ，BD=BCsin60°=3

∴BCD S ? == ………………………………10分

又1CC 是底面BCD 上的高 ………………………………11分

∴BD C C D BC C V V 11--==

??6=9 ………………………13分

【思路点拨】（1）连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD ，则点O 为B 1C 的中点．可得DO 为△AB 1C 中位线，A 1B ∥OD ，结合线面平行的判定定理，得A 1B ∥平面BC 1D ；

（2）由AA 1⊥底面ABC ，得AA 1⊥BD ．正三角形ABC 中，中线BD ⊥AC ，结合线面垂直的判定定理，得BD ⊥平面ACC 1A 1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C ﹣BC 1D 的体积．

【数学文卷·2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411）】4.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）

A.若,l ααβ⊥⊥，则l β?

B.若//,//l ααβ，则l β?

C.若,//l ααβ⊥，则l β⊥

D.若//,l ααβ⊥，则l β⊥

【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4 G5

【答案解析】C 解析：A ：若,l ααβ⊥⊥，则l ∥β或者l ?β，所以A 错误．

B ：若//,//l ααβ，则l β?或者//l β，所以B 错误．

C ：根据线面垂直的定义可得：若,//l ααβ⊥，则l β⊥是正确的，所以C 正确．

D ：若//,l ααβ⊥，则l β⊥或者l ∥β或者l 与β相交，所以D 错误．

z 故选C ．

【思路点拨】A ：由题意可得l ∥β或者l ?β．B ：由题意可得：l β?或者//l β．C ：根据线面垂直的定义可得：若,//l ααβ⊥，则l β⊥是正确的，．D ：若//,l ααβ⊥，则l β⊥或者l ∥β或者l 与β相交．

【数学文卷·2015届吉林省实验中学高三上学期第三次质量检测（201411）】6.关于直线l ，m 及平面α，β,下列命题中正确的是（ ）

A.若l ∥α，α β=m ，则l ∥m

B.若l ∥α，m∥α，则l ∥m

C.若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β

D.若l ∥α，m⊥l ，则m⊥α

【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5

【答案解析】D A ．若l ∥α，α∩β=m ，．则l ，m 平行或异面，只有l ?β，才有l ∥m ．故A 错；B ．若l ∥α，m ∥α，则由线面平行的性质可得l ，m 平行、相交、异面，故B 错；

C ．若l ⊥α，l ∥β，则由线面平行的性质定理，l ?γ，γ∩β=m ，则l ∥m ，又l ⊥α，故m ⊥α，由面面垂直的判定定理得，α⊥β，故C 正确；

D ．若l ∥α，m ⊥l ，则m 与α平行、相交或在平面内，故D 错．故选C ．

【思路点拨】由线面平行的性质定理可判断A ；又线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理即可判断C ；由线面平行的性质定理可判断B ；由线面平行的性质定理可判断D

G5 空间中的垂直关系

【数学（理）卷·2015届重庆市重庆一中高三上学期第二次月考（201410）】19.（本题满分13分）

如图，在多面体

111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形1A C A B =

=，1111111,//,2AC A B BC B C BC B C BC ===.

(1)求证：111//AB AC C 面； (2)求二面角11C AC B

--的余弦值．

【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．G5 G11 【答案解析】(1)见解析； (2)

13 解析：(1)作BC 的中点E ，连接11,,AE B E C E

11//B C CE 且11B C CE =，∴四边形11CEBC

是平行四边形， ∴11//B E CC ，则1B E //面11AC

C 同理//

AE 11AC C 1AE B E E = ，∴面1//B AE 面11AC C

1AB ?面1B AE ，∴1//AB 面11AC C (2) 四边形11ABB A 为正方形, ∴11A A AB AC =

==, 1A A AB ⊥

∴1A B

11AC

A B = ∴1AC = 由勾股定理可得：190A AC ∠= ，∴1

A A AC ⊥ ， 同理可得 A

B A

C ⊥,以A 为原点如图建系。

18 则1111(1,0,0),(0,0,1),(,,1),(0,1,0)22C A C B

11111111(1,0,1),(,,1),(0,1,1),(,,1)2222CA CC BA BC ∴=-=-=-=- 设面11AC C 的法向量为1

(,,)n x y z = ，则11110,0n CA n CC ?=?= 011022x z x y z -+=????-++=??，令1z =，则1(1,1,1)n =- 设面11AC B 的法向量为2

(,,)n m n k = ，则21210,0n BA n BC ?=?= 则011022n k m n k -+=???-+=??，令1k =，则2(1,1,1)n =-

所以1212121cos ,3n n n n n n ?===-

所以

()1cos cos 3απθ=-= ………………………………………13分 【思路点拨】(1) 取BC 中点E ，连结AE ，C 1E ，B 1E ，由已知得四边形CEB 1C 1是平行四边形，AEC 1A 1是平行四边形，由此能证明AB 1∥面A 1C 1C ． (2)由已知得A 1A=AB=AC=1，A 1A ⊥AB ，A 1A ⊥AC ，从而A 1A ⊥面ABC ，以A 为原点，以AC 为x 轴建立坐标系，利用向量法能求出二面角C ﹣A 1C 1﹣B 的余弦值的大小．

【数学理卷·2015届辽宁师大附中高三上学期期中考试（201411）】9 .已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有 条。 （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．无数个

【思路点拨】设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，以C 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出与平面ABCD 垂直的直线MN 只有1条．

【数学理卷·2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word 版】20．（本小题满分

15分）

19 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，

11AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 、N 分别是1CC 、BC 的中点，点P 在直线11A B 上，且满足111()A P A B R λλ=∈uuu r uuu u r 。

（1）证明：PN AM ⊥；

（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45 ，试确定点P

的位置。 【知识点】空间平行、垂直关系，以及线面所成的角G4,G5,G10

【答案解析】（1）略。（2）点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12

． （2） 证明：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空

间

直角坐标系A －xyz ．

则P （λ，0,1），N （12，12，0），M （0,1，12）， （2分） 从而PN ＝（12－λ，12，－1），AM ＝（0,1，12

）， （2分） PN AM ? ＝（12－λ)×0＋12×1－1×12

＝0，所以PN ⊥AM ; （3分） （2）平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA ＝（0,0,1）

．（1分） 设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ），

由（1）得MP ＝（λ，－1，12

）． （2分） 由???????=+-=+--?????=?=?.021,021)21(,0,0z y x z y x m m λλ得

（1分） 解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312λλλλ-+==???

????-=+=m x x z x y 得令． （1分） ∵平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，

∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m |·|n ||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)

2＝22， （1分） 解得λ＝－12． 故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12

． （2分） 【思路点拨】立体几何问题一般采用空间向量解比较简单，首先建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，

要求PN ⊥AM ，只需求PN AM ? =0即可；对于面面角，就求出两个面的法向量，根据这两个法向量的夹角

可以确定参数的值，从而求出P 点的位置。

【数学理卷·2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411） 】20.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面

ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD

，60ABC ∠= ，E F ，分别是BC PC ，的中（第20题图）

20

点．

（Ⅰ）证明：AE PD ⊥；

（Ⅱ）若2,2AB PA ==,求二面角E AF C --的余弦

值．

【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的

位置关系．G4 G5

【答案解析】（Ⅰ）见解析； 解析：

（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠= ，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥． 又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．

因为PA ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD 且PA AD A = ， 所以AE ⊥平面PAD ．又PD ?平面PAD ，

所以AE PD ⊥． （7分） （Ⅱ）解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ?平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．

过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，

过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，

则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，

在Rt AOE △中，sin 30EO AE ==

3

cos302

AO AE == ， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，sin 45SO AO ==

， 又SE === 在Rt ESO △中，cos SO ESO SE ∠===， （14分）

解法二：由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以

(000)10)0)(020)A B C D -，，，，，，，，，， 1(002)00)12P E F ?

???，，，，，，，， 所以100)12AE AF ?==???

，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，

P

B E

C

D

F

A z P

B E

C D

F

A O S

21 则00AE AF ?=??=?? ，，m m

因此11110102

x y z =++=，． 取11z =-，则(021)=-，，m ，

因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A = ，

所以BD ⊥平面AFC ， 故BD 为平面AFC 的一法向量．

又(30)BD = ，，

所以cos BD BD BD

<>=== ，m m m 因为二面角E AF C --为锐角，

． 【思路点拨】（Ⅰ）由已知条件推导出AE ⊥AD ，AE ⊥PA ，由此能证明AE ⊥平面PAD ，从而得到AE ⊥PD ．（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值．

【数学理卷·2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411） 】4.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ）

A.若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥

B.若αβ⊥,m α?,m β⊥,则//m α

C.若m β⊥,m α?,则αβ⊥

D.若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥

【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4 G5

【答案解析】D 解析：若m α⊥,//m n ,//n β，则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥，故A 正确； 若αβ⊥,m α?,m β⊥，则由直线与平面平行的判定定理得//m α，故B 正确；

若m β⊥,m α?，则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥，故C 正确；

若αβ⊥,m α?,n β?，则m 与n 相交、平行或异面，故D 错误．

故选：D ．

【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．

【数学理卷·2015届广东省阳东一中、广雅中学高三第一次联考（201410）】18.（本小题满分14分）

如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3， D 为AC 的中点.

(1)求证：AB 1//面BDC 1； (2）求二面角C 1—BD —C 的余弦值；

(3）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.

【知识点】直线与平面平行；二面角；直线与平面垂直.G4,G5,G11

【答案解析】略 解析：解：（I ）证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点.

又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1.………………………2分

∵AB 1?面BDC 1，OD ?面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1.………4分

（II ）解：如图，建立空间直角坐标系，则

C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0），

B 1

C 1 A 1

B

C D

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