高中新课程训练题（直线、平面、简单几何体）

高中新课程训练题（直线、平面、简单几何体1）

一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 若

是平面外一点，则下列命题正确的是

只能作一条直线与平面相交 （B）过

可作无数条直线与平面

（A）过垂直 （C）过平行

只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无数条直线与平面

2．在空间四边形如果 A．

、

中，、、、上分别取、、、四点，

交于一点，则（ ）

上 B．一定在直线上 D．既不在直线

上

上，也不在

上

一定在直线

或

C．在直线

3．如图S为正三角形所在平面ABC外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分别为SC、AB中点，则异面直线EF与SA所成角为（ ） A．90? B．60? C．45? D．30?

4．下列说法正确的是（ ）

A．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线在平面外，则 C．若直线

，

，则

D．若直线，，则直线就平行于平面内的无数条直线

平行的是（ ）

5．在下列条件中，可判断平面与平面 A． B．

、

都垂直于平面

内存在不共线的三点到平面的距离相等

是内两条直线，且是两条异面直线，且

，，

C．、 D．、

，，

6 若为一条直线，

②

正确的命题有（ ）

为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①

；③

，其中

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当点D到平面ABC的距离最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为 （ ）

A．90? B．60? C．45? D．30?

8．PA、PB、PC是从点P引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60?，则直线PC与平面APB所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．

9．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，则EF与对角面A1C1CA所成角的度数是（ ）

A．30? B．45? C．60? D．150? 10．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 （A）若AC与BD共面，则AD与BC共面

（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 （C）若AB=AC，DB=DC，则AD=BC （D）若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC 11．对于平面 （A）若 （C）若

和共面的直线

则则

、下列命题中真命题是

则

、与

（B）若 （D）若

所成的角相等，则

12．给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是

A.4 B. 3 C. 2 D. 1

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．设

则14．、

是直二面角， 。

、是两两垂直且交于O点的三个平面，P到平面、

、的距离

，

，

，

，

分别是2、3、

6，则

。

15． 如图，在正三棱柱

，则点

中，AB=1。若二面角的大小为

到直线AB的距离为 。

16．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为二面角等于_______________

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17.如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱。 （I）求证：BD⊥平面ACC1A；

，则侧面与底面所成的

（II）若二面角C1-BD-C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小。

18．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，

，，

⑴求证：平面AB1C⊥平面BB1C； ⑵求点B到平面AB1C的距离。

19. 如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2. （Ⅰ）证明：AC⊥BO1；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.

的等腰梯形，

20．如图，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120?，

求：⑴A、D连线和平面DBC所成的角；⑵二面角A—BD—C的正切值。

21． 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE

是等边三角形，棱

（1）证明FO//平面CDE； （2）设

。

，证明EO⊥平面CDF。

22.（本小题满分12分）

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：

平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角的大小； （III）求点E到平面ACD的距离。

参考答案

一、选择题

DBCDD CCCAC CB

12．提示：BD1⊥平面AB1C，EF⊥平面AB1C 二、填空题

13．60? 14．7 15．三、解答题

17． 解法一：

（1）∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱 ∴CC1⊥平面ABCD ∴BD⊥CC1

∴ABCD是正方形， ∴BD⊥AC

又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C， ∴BD⊥平面ACC1A1

16．. 。

（II）设BD与AC相交于O，连接C1O。

∵CC1⊥平面ABCD、BD⊥AC。∴BD⊥C1O∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角

∴∠C1OC=60°

连接A1B∵A1C1∥AC∴∠A1C1B是BC1与AC所成角.

设BC=a,则

CO=

在

△

A1BC1

中

，

由

余

弦

定理得

∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos解法二:（I）建立空间直角坐标系D-xyz,如图。

设AD=a，DD1=b，则有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0）， C（0，a，0），C1（0，a，b），

∴BD⊥AC，BD⊥CC1

又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C， ∴BD⊥平面ACC1A1。

（II）设BD与AC相交于O，连接C1O，则点O坐标为

)

∴BD⊥C1O，又BD⊥CO， ∴∠C1OC=60°

∴

∴异面直线BC1与AC所成角的大小为

18．⑴由已知条件立即可证得，

⑵在平面BB1C内作BD⊥B1C于D，由⑴得BD⊥面AB1C，

∴BD为B到面AB1C的距离，∴换）

19．．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1

所在直线分别为

（本题也可用体积转

轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

）

如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，O1（0，0，

）.

从而

所以AC⊥BO1. （II）解：因为

所以BO1⊥OC，

由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，量.

设

是0平面O1AC的一个法向量，

是平面OAC的一个法向

由

设二面角O—AC—O1的大小为，由、

得

的方向可知

.

，

>，

所以cos，>=

即二面角O—AC—O1的大小是

解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影.

因为 ，

所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1 由三垂线定理得AC⊥BO1.

（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.

设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC

内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC. 所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角. 由题设知OA=3，OO1= 所以

，O1C=1，

，

从而， 又O1E=OO1·sin30°=

，

⑴显然可得MN∥平面ABC，∵平面MNC平面ABC＝，∴MN∥

⑵∵PC⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，作MQ⊥AC，则MQ⊥平面ABC，

作QD⊥于D，则MD⊥，MD的长即为M到的距离 在Rt△ACB中，可求得∴

，

，于是

，又

，∠QCD＝30?，

20．⑴作AO⊥BC交BC的延长线于O，∵面ABC⊥面BCD，∴OA⊥面BCD，

连OD，则∠ADO就是AD与平面BCD所成的角，可求得∠ADO＝45? ⑵作OE⊥BD于E，连AE，则BD⊥AE，

∴∠AEO就是二面角A－BD－C的平面角的补角，

∵∠ABO＝60?，∴，，∵∠EBO＝60?，∴

在Rt△AOE中，，∴二面角A－BD－C的正切值为－2 21. （1）证明：取CD中点M，连结OM，在矩形ABCD中

，又，则。连结EM，

于是四边形EFOM为平行四边形 ∴ FO//EM

又 ∵ FO平面CDE，且EM

平面CDE，∴ FO//平面CDE

中，CM=DM，EM

（2）证明：连结FM，由（1）和已知条件，在等边

⊥CD且⊥FM

。因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO

∵ CD⊥OM，CD⊥EM ∴ CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO 而FM

22（I）证明：连结OC 在 而

平面

CD=M，所以平面CDF

中，由已知可得

即

（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

中，

在

是直角斜边AC上的中线，

异面直线AB与CD所成角的大小为

（III）解：设点E到平面ACD的距离为

在中，

而

点E到平面ACD的距离为

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