相似三角形分析动态平衡问题

考纲要求 会用相似三角形解决动态平衡问题 题型 选择题 分值 6分 一、考点突破 知识点 牛顿运动定律的应用

二、重难点提示

相似关系的寻找。

动态平衡问题还有一类处理方法是使用相似三角形法。

选定研究对象后，倘若物体受三个力作用而平衡，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例题1 如图所示，杆BC的B端铰接在竖直墙上，另一端C为一滑轮，重力为G的重物上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡，若将绳的A端沿墙向下移，再使之平衡（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则（ ）

A. 绳的拉力增大，BC杆受压力增大 B. 绳的拉力不变，BC杆受压力增大 C. 绳的拉力不变，BC杆受压力减小 D. 绳的拉力不变，BC杆受压力不变

思路分析：（1）本题比较的是轻绳的A端移动前后的两个平衡状态，两个状态下，滑轮上所受三力均平衡；

（2）B端是铰链，BC杆可以自由转动，所以BC杆受力必定沿杆；

（3）绳绕过滑轮，两段绳力相等，要保证合力沿杆（否则杆必转动），则杆必处于两绳所构成角的平分线上。

方法一：

选取滑轮为研究对象，对其受力分析，如图所示。绳中的弹力大小相等，即T1＝T2＝G，T1、T2、F三力平衡，将三个力的示意图平移可以组成封闭三角形，如图中虚线所示，设AC

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θ

段绳子与竖直墙壁间的夹角为θ，则根据几何知识可得，杆对绳子的支持力F＝2Gsin ，当

2绳的A端沿墙向下移时，θ增大，F也增大，根据牛顿第三定律，BC杆受压力增大。

方法二：

图中，矢量三角形与几何三角形ABC相似，因此

ABmgBC，解得F＝·mg，当绳?ABBCF的A端沿墙向下移，再次平衡时，AB长度变短，而BC长度不变，F变大，根据牛顿第三定律，BC杆受压力增大。

方法三：

将绳的A端沿墙向下移，T2大小和方向不变，T1大小不变，但与T2所夹锐角逐渐增大，再使之平衡时，画出两段绳子拉力与轻杆的弹力所构成的封闭三角形如图所示，显然F′大于F，即轻杆的弹力变大，根据牛顿第三定律，BC杆受压力增大。

答案：B

例题2 （辽宁省实验中学模拟）如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一个光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端拴着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对线的拉力F和轨道对小球的弹力N的大小的变化情况是（ ）

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A. F大小将不变 C. N大小将不变

B. F大小将增大 D. N大小将增大

思路分析：对小球受力分析，其受到竖直向下的重力G，圆环对小球的弹力N和线的拉力F作用，小球处于平衡状态，G大小方向恒定，N和F方向不断在变化，如图所示，可知矢量三角形AGF1与长度三角形BOA相似，得出：

FGN??1，又因为在移动过OBOAAB程中，OA与OB的长度不变，而AB长度变短，所以N不变，F1变小，即F变小，故C选项正确。

答案：C

【综合拓展】极限分析法解决动态平衡问题

运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去思考解决实际问题的方法。这种方法具有好懂、易学、省时、准确的特点。

示例：A、B两小球由轻杆相连，力F将小球B缓慢向左推进，试分析F的大小变化。

思路：利用极限法，要找到F出现极值的时刻。可以直接从B 被推至竖直墙面时刻入手分析。此时AB只受重力、支持力，水平方向上没有力的作用，故F大小为0。这样就可以初步判断出F是逐渐变小的。接着深入判断F是否会出现先变大后变小的情况即可。

【方法提炼】 三力平衡的解题技巧 其中一个力的大小方向都不变，

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其中一个力为恒力， 另外一个力的方向不变， 第三个力的大小方向都在变化 动态三角形法 另两个力的大小和方向均发生变化 相似三角形法 满分训练：如图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN上。现用水平力F拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动。在这一过程中，水平拉力F、环与杆的摩擦力F摩和环对杆的压力FN的变化情况是（ ）

A. F逐渐增大，F摩保持不变，FN逐渐增大 B. F逐渐增大，F摩逐渐增大，FN保持不变 C. F逐渐减小，F摩逐渐增大，FN逐渐减小 D. F逐渐减小，F摩逐渐减小，FN保持不变

思路分析：物体在3个力的作用下处于平衡状态，根据矢量三角形法，画出力的矢量三角形，如图所示。其中，重力的大小和方向不变，力F的方向不变，绳子的拉力FT与竖直方向的夹角θ减小，由图可以看出，F随之减小，F摩也随之减小，故选项D正确。

答案：D

（答题时间：30分钟）

1. 如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上。先将木板水平放置，并使弹簧处于拉伸状态，缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是（ ）

A. 先保持不变 C. 先增大后减小

B. 一直增大 D. 先减小后增大

2. 如图所示，在斜面上放两个光滑球A和B，两球的质量均为m，它们的半径分别是R

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和r，球A左侧有一垂直于斜面的挡板P，两球沿斜面排列并处于静止状态，下列说法正确的是（ ）

A. 斜面倾角θ一定，R>r时，R越大，r越小，则B对斜面的压力越小 B. 斜面倾角θ一定，R＝r时，两球之间的弹力最小 C. 斜面倾角θ一定时，无论半径如何，A对挡板的压力一定

D. 半径一定时，随着斜面倾角θ逐渐增大，A受到挡板的作用力先增大后减小 3. 半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化的情况是（ ）

A. N变大，T变小 B. N变小，T变大 C. N变小，T先变小后变大 D. N不变，T变小

4. 竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A，在Q的正上方的P点用细线悬挂一质点B，A、B两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成?角，由于漏电使A、B两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P的拉力T大小（ ）

A. T变小 B. T变大 C. T不变

D. T无法确定

5. 如图所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1。现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小关系为（ ）

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