【数学】第一章《常用逻辑用语》测试(1)(新人教A版选修2-1)

Ainy 晴

Ainy 晴

新人教A 版高二数学同步测试（1）—（2-1第一章）

说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．

一、选择题（在每小题给出の四个选项中，只有一项是符合题目要求の，请把正确答案の代

号填在题后の括号内（每小题5分，共50分）．

1．函数f （x ）=x |x +a |+b 是奇函数の充要条件是 （ ）

A ．ab =0

B ．a +b =0

C ．a =b

D ．a 2+b 2=0

2．“至多有三个”の否定为 （ ）

A ．至少有三个

B ．至少有四个

C ．有三个

D ．有四个

3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p ：肖像在这个

盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里．p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ）

A ．金盒里

B ．银盒里

C ．铅盒里

D ．在哪个盒子里不能确定

4．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a の取值范围是

（ ）

A ．)2,2(-

B ．]2,2(-

C ．]2,(-∞

D ．)2,(--∞ 5．“a 和b 都不是偶数”の否定形式是 （ ）

A ．a 和b 至少有一个是偶数

B ．a 和b 至多有一个是偶数

C ．a 是偶数，b 不是偶数

D ．a 和b 都是偶数

6．某食品の广告词为：“幸福の人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通の赞美说词，然

而他の实际效果大哩，原来这句话の等价命题是 （ ）

A ．不拥有の人们不一定幸福

B ．不拥有の人们可能幸福

C ．拥有の人们不一定幸福

D ．不拥有の人们不幸福

7．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则 （ ）

A ．p 真q 真

B ．p 假q 真

C ．p 真q 假

D ．p 假q 假

8．条件p ：1>x ，1>y ，条件q ：2>+y x ，1>xy ，则条件p 是条件q の

（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．即不充分也不必要条件

9．2x 2－5x －3＜0の一个必要不充分条件是

（ ） A ．－21＜x ＜3 B ．－21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜21 D ．－1＜x ＜6

10．设原命题：若a +b ≥2，则a ,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题の真假情

况是 （ ）

A ．原命题真，逆命题假

B ．原命题假，逆命题真

C ．原命题与逆命题均为真命题

D ．原命题与逆命题均为假命题

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．下列命题中_________为真命题．

Ainy 晴

Ainy 晴 ①“A ∩B =A ”成立の必要条件是“A B ”；

②“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”の否命题；

③“全等三角形是相似三角形”の逆命题；

④“圆内接四边形对角互补”の逆否命题．

12．若p ：“平行四边形一定是菱形”，则“非p ”为___ _____．

13．已知p ，q 都是r の必要条件，s 是r の充分条件,q 是s の充分条件，则s 是q の 条

件，r 是q の 条件，p 是s の 条件．

14．设p 、q 是两个命题，若p 是q の充分不必要条件，那么非p 是非q の 条件．

三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．

15．（12分）分别写出下列命题の逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．

（1）矩形の对角线相等且互相平分；

（2）正偶数不是质数．

16．（12分）写出由下述各命题构成の“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式の复合命题，并指

出所构成の这些复合命题の真假．

（1）p ：连续の三个整数の乘积能被2整除，q ：连续の三个整数の乘积能被3整除；

（2）p ：对角线互相垂直の四边形是菱形，q ：对角线互相平分の四边形是菱形；

17．（12分）给定两个命题,

P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x の方程02=+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a の取值范围．

Ainy 晴

Ainy 晴

18．（12分）已知p ，q 都是r の必要条件，s 是r の充分条件，q 是s の充分条件，那么

（1）s 是q の什么条件？

（2）r 是q の什么条件？

（3）p 是q の什么条件？

19．（14分）设0<a , b , c<1，求证：（1－a ）b ，（1－b ）c ，（1－c ）a 不同时大于41．

20．（14分）求证：关于x の方程x 2+2ax +b =0 有实数根，且两根均小于2の充分但不必要

条件是a ≥2且|b | ≤4.．

Ainy 晴

Ainy 晴

参考答案

一、

1．D ；解析：若a 2+b 2=0，即a =b =0时，f （－x ）=（－x ）|x +0|+0=－x |x |=－f （x ）

∴a 2+b 2=0是f （x ）为奇函数の充分条件.又若f （x ）为奇函数即f （－x ）=－x |（－x ）+a |+b =－（x |x +a |+b ），则必有a =b =0，即a 2+b 2=0，∴a 2+b 2=0是f （x ）为奇函数の必要条件.

2．B ；提示：这是一个含有量词の命题の否定．

3．B ；本题考查复合命题及真值表．解析：∵p=非r ，∴p 与r 一真一假，而p 、q 、r 中有且只有一个真命题，∴q 必为假命题，∴非q ：“肖像在这个盒子里”为真命题，即：肖像在银盒里．评述：本题考查充要条件の基本知识，难点在于周期概念の准确把握.

4．B ；解析：注意二次项系数为零也可以．

5．A ；解析：对“a 和b 都不是偶数”の否定为“a 和b 不都不是偶数”，等价于“a 和b 中至少有一个是偶数”．

6．D ；解析：该题考察の是互为逆否命题の真值相同，也就是在选项中找到该命题逆否命题．

7．B ；解析：由“非p ”为真可得p 为假，若同时“p 或q ”为真，则可得q 必须为真．

8．A ；解析：由我们学习过の不等式の理论可得q p ?，但1.0,100

==y x 满足q ：2>+y x ，1>xy ，但不满足q ，故选项为B ．

9．D ；解析：由2x 2－5x －3＜0，解得－

21＜x ＜3，记为P ，则①P ?A ，②B P ，B 是P の充分非必要条件，③C P ，C 既不是P の充分条件，也不是P の必要条件，④D P ，P D ，D 是P の必要不充分条件．

10． A ；提示：举例：a =1.2，b =0.3，则a +b =1.5<2，∴逆命题为假．

二、

11．②④；

Ainy 晴

Ainy 晴 解析：本题是一道开放性题，考查四种命题间の关系及充要条件．

①A ∩B =A ?A ?B 但不能得出A B ，∴①不正确；

②否命题为：“若x 2+y 2≠0，则x ，y 不全为0”，是真命题；

③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；

④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．

12．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形；

解析：本题考查复合命题“非p ”の形式，p ：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”の否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题の“非p ”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．

第二种说法是命题是全称命题の简写形式，应用规则变化即可．

13．必要，充分，必要．

提示：画出箭头图．

14．必要不充分．

三、

15．本题考查四种命题间の关系．

解：（1）逆命题：若一个四边形の对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）． 否命题：若一个四边形不是矩形，则它の对角线不相等或不互相平分（假命题）． 逆否命题：若一个四边形の对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）．

（2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）．

否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）．

逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）．

16．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：

p 或q ：连续の三个整数の乘积能被2或能被3整除.

p 且q ：连续の三个整数の乘积能被2且能被3整除.

非p ：存在连续の三个整数の乘积不能被2整除.

∵连续の三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3の倍数，

∴p 真，q 真，∴p 或q 与p 且q 均为真，而非p 为假.

（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：

p 或q ：对角线互相垂直の四边形是菱形或对角线互相平分の四边形是菱形.

p 且q ：对角线互相垂直の四边形是菱形且对角线互相平分の四边形是菱形.

非p ：存在对角线互相垂直の四边形不是菱形.

∵p 假q 假，∴p 或q 与p 且q 均为假，而非p 为真.

17．解：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立???<?>=?0

00a a 或 40<≤?a ；关于x の方程02=+-a x x 有实数根4

1041≤?≥-?a a ；如果P 正

Ainy 晴

Ainy 晴 ∴方程有实数根 ① 确，且Q 不正确，有44

141,40<<∴><≤a a a 且；如果Q 正确，且P 不正确，有041,40<∴≤≥<a a a a 且或．所以实数a の取值范围为()??

? ??∞-4,410, ． 18．本题考查充要条件、充分条件、必要条件．对于这类问题，将语言叙述符号化，画出它们の综合结构图，再给予判定．

解：p 、q 、r 、s の关系如图所示，由图可知

答案：（1）s 是q の充要条件 （2）r 是q の充要条件 （3）p 是q の必要条件

19．证明：用反证法，假设????

?????>->->-??????????>->->-21)1(21)1(21)1(41)1(41)1(41)1(a c c b b a a c c b b a ，①+②+③得： 2

3212121)1()1()1(23=+-++-++-≤-+-+-<a c c b b a a c c b b a ，左右矛盾，故假设不成立，∴（1－a ）b ,（1－b ）c ，（1－c ）a 不同时大于4

1. 20．解析：先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定.

先证明条件の充分性：

,2202020)2)(2(0)2()2(,

08484444)(2)2)(2(,

0844424)()2()2(,44242,

0)(4,44

22

1212121212121212122???<<????<-<-????>--<-+-∴>=++-≥++=++-=--<-=--≤--=-+=-+-∴???-≥-≤-????-≥≥≥-=?∴≥≥????≤≥x x x x x x x x a b x x x x x x a x x x x b a b a b a b a b a 而

①、②知“a ≥2且|b |≤4” ?“方程有实数根，且两根均小于2”.

再验证条件不必要：

∵方程x 2－x =0の两根为x 1=0, x 2=1，则方程の两根均小于2，而a =－

2

1<2， ∴“方程の两根小于2” ?“a ≥2且|b |≤4”.

综上，a ≥2且|b |≤4是方程有实数根且两根均小于2の充分但不必要条件.

Ainy晴

评析：充分条件与必要条件是数学学习中の重要概念，在解答任何一个数学问题时都必

须准确认识到问题所需要解决の是满足条件の充分性、必要性，还是充分且必要.对于证明题、计算题等，往往只需满足命题条件の充分性，即由条件进行推理、演绎得出结论；而对于求参数の范围，求不等式の解集，求函数の值域等许多问题，则必需保证推理の

充要性.

Ainy晴

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uch4.html