走向成功 上海2009高考二模静安、杨浦、青浦、宝山四区（文理）

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上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2008学年第二学期高三年级

数学试卷

（文理合卷）

（满分150分，答题时间120分钟） 2009.04 一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．

1．直线3x?y?1?0的倾斜角为 ．

2．已知全集U?R，集合M?xx?4x?5?0，N?xx?1，则

?2???M?(CUN)= ．

3．若复数z满足z?63?i，则z= ． i34．二项式(1?2x)展开式中x系数的值是 ．

5．（理）市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为6.71%，一注彩

票的平均奖金额为14.9元．如果小王购买了10注彩票，那么他的期望收益是 元．

（文）高三（1）班班委会由3名男生和2名女生组成，现从中任选2人参加上海世博会的志愿者工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 ． 6．（理）把cos3??cos5?化为积的形式，其结果为 ．

（文）如果某音叉发出的声波可以用函数f(t)?0.001sin400?t描述，那么音叉声波的频率是 赫兹．

x2y27．（理）已知P(x，y)是椭圆??1上的一个动点，则x?y的最大值是 ．

169

x2y2??1的右焦点重合，则实数p的值（文）若抛物线y?2px的焦点与椭圆622是 ．

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8．（理）已知

tanx1（x?[0，，则x的 ?]）?221?tanx 开始 值是 ．

A?1N?1 否 3（文）方程tanx??的解集是 ．

39．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第 3项的值是 ．

10. （理）在极坐标系中,过圆??6cos?的圆心,且

垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ．

（文）若经过点P（－1，0）的直线与圆

N?10是 输出A x2?y2?4x?2y?3?0相切，则此直线的方程

是 .

11．（理）如图，用一平面去截球所得截面的面积为

2?cm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则 该球的体积是 cm3.

（文）计算：lim(n???A?(A?2)/(2?A?3) N?N?1第9题 结束 12n????)= . 222n?1n?1n?1

12．在△ABC中，AB?5，AC?7，D是BC边的中点，则

AD?BC的值是 .

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．

理第11题

?x?y?4z?0?13．线性方程组?3x?y?5z?1的增广矩阵是（ ）．

?x?6y?8z?7??1140??1140?????A．?3151? B．?315?1? C．

?1687??168?7??????114??131??????315? D．?116?

?458??168?????学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网www.gaokao.com

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14．在直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A(?1，0)和C(1，0)，顶点B在椭圆

x2y2??1 43上，则

sinA?sinC的值是（ ）．

sinB B．3 C．2

xxA．

3 2 D．4

x2?x?2、3?x?2的根，则a、b、c的大小15. 以a、b、c依次表示方程2?x?1、顺

序为（ ）．

A．a?b?c B．a?b?c C．a?c?b

D．b?a?c

(1?n?2009)?1，?16．（理）已知数列?an?，对于任意的正整数n，an??，设Sn表 1n?2009?2?().(n?2010)?3?示数列?an?的前n项和．下列关于limSn的结论，正确的是（ ）．

n???A．limSn??1

n???

B．limSn?2008

n???C．limSn??n???(1?n?2009)?2009，（n?N*） D．以上结论都不对

??1.(n?2010)（文）如图，下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个

相同，而另一个不同的两个几何体是（ ）．

（1）棱长为2的正方体

（2）底面直径和高均为2的圆柱

（3）底面直径和高均为2的圆锥 （4）底面边长为2、高为3的正四棱柱

A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（4）

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三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.

17．(本题满分12分)

动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积

30?3x 是多少平方米？

18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. （理）在长方体ABCD?A?B?C?D?中，AB?2，AD?1，AA??1．求：

（1）顶点D?到平面B?AC的距离； （2）二面角B?AC?B?的大小．（结果用反三角函数值表示）

x D? A?

D A

B

B? C?

C

（文）已知某圆锥的体积是12?cm3，底面半径等于3cm． （1）求该圆锥的高； （2）求该圆锥的侧面积．

19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.

（理）设数列?an?的前n和为Sn，已知S1?1131664，S2?，S3?，S4?， 3333?(n?1)24n?1?(2?1),(当n为奇数时)??123一般地，Sn??2（n?N*）．

?n?4(2n?1).(当n为偶数时)??123（1）求a4； （2）求a2n；

（3）求和：a1a2?a3a4?a5a6???a2n?1a2n．

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（文）已知等差数列?an?和等比数列?bn?的通项公式分别为an?2(n?1)、（其bn?()n，中n?N*）．

（1）求数列?an?前n项的和； （2）求数列?bn?各项的和； （3）设数列?cn?满足cn??12?bn,(当n为奇数时)?an.(当n为偶数时)，求数列?cn?前n项的和．

20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分. 已知a为实数，函数f(?)?sin??a?3．

（1）若f(?)?cos?（??R），试求a的取值范围； （2）若a?1，g(?)?3(a?1)，求函数f(?)?g(?)的最小值．

sin??1

21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.

已知A、B是抛物线y?4x上的相异两点．

（1）设过点A且斜率为?1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于点P(4，4)， 求直线AB的斜率；

（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线?，过该圆锥曲线上的

相异两点A、B所作的两条直线l1、l2相交于圆锥曲线?上一点；结论是关于直线AB 的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；

20)． （3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q(x0，（理）若x0?5，试用线段AB中点的纵坐标表示线段AB的长度，并求出中点的纵坐 标的取值范围．

（文）若x0?2，试用x0表示线段AB中点的横坐标．

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2009年4月静安区等四区联考高三数学参考答案与评分标准：

说明

1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分. 2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.

3. 第17题至第21题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数. 4. 给分或扣分均以1分为单位.

答案及评分标准

?； 2．?xx??1?； 3．10； 4．?160； 5．（理）?10.002元；（注：3课本答案为?8.66）（文）0.7； 6．（理）2cos4（理）5； （文）p=4． ??cos?； （文）200赫兹； 7．

1．

8．（理）x??8或x????5?； （文）?xx?k??,k?Z?

68??13； 10．（理）?cos??3； （文）方程为x?y?1?0． 21111．（理）43?； （文）； 12．12．

29．

13——16：A； C ； C； 理B文A

17．设熊猫居室的总面积为y平方米，由题意得：y?x(30?3x)2(0?x?10)．? 6分

解法1：y??3(x?5)?75，因为5?(0,10)，而当x?5时，y取得最大值75． 10分 所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． ?? 12分 解法2：y?x(30?3x)?113x?(30?3x)2[3x(30?3x)]?[]=75，当且仅当3323x?30?3x，即x?5时，y取得最大值75． ?? 10分

所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． ?? 12分

18．理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A(1,0,0)、D(0,0,0)、C(0,2,0)、

A?(1,0,1)、B?(1,2,1)、D?(0,0,1)． ??2分

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设平面B?AC的法向量为n?(u,v,w)，则n?B?A，n?B?C．

因为B?A?(0,?2,?1)，B?C?(?1,0,?1)， ??3分

n?B?A?0，n?B?C?0，

?2v?w?0,所以?解得u?2v,w??2v，取v?1，得平面B?AC一个法向量n?(2,1,?2)，

u?w?0.?且n?3． ??5分

（1）在平面B?AC取一点A，可得AD??(?1,0,1)，于是顶点D?到平面B?AC的距离

d?n?AD?n?44，所以顶点D?到平面B?AC的距离为， ??8分 33（2）因为平面ABC的一个法向量为n1?(0,0,1)，设n与n1的夹角为?，则

cos??n?n12??， ??12分

3nn123结合图形可判断得二面角B?AC?B?是一个锐角，它的大小为arccos．??14分

D? A? D A B B? C? C

文：（1）圆锥底面积为9? cm2， ??1分 设圆锥高为hcm，由体积V?1?9??h， ??5分 3由V?12?cm3得h?4cm； ??8分 （2）母线长l?5cm， ??9分 设底面周长为c，则该圆锥的侧面积=

1cl， ??12分 2所以该圆锥的侧面积=15?cm2． ??14分

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19．（理）（1）a4?16； ??3分 （2）当n?2k时，（k?N*）

a2k?S2k?S2k?1n(2k)242k(2k)242k?2??(2?1)?[?(2?1)]?22k， ??6分

123123所以，a2n?4（n?N*）． ??8分 （3）与（2）同理可求得：a2n?1?1(2n?1)， ??10分 3设a1a2?a3a4?a5a6???a2n?1a2n=Tn， 则Tn?1（用等比数列前n项和公式的推导方法）[4?3?42?5?43???(2n?1)?4n]，

314Tn?[42?3?43?5?44???(2n?1)?4n?1]，相减得

31?3Tn?[4?2(42?43???4n)?(2n?1)?4n?1]，所以

32n?1n?1324Tn??4??(4n?1?1)?． ??14分

9279n(0?2n?2)?n2?n． ??3分

2

（文）（1）设数列前n项和为Sn，则Sn?（2）公比q?1?1，所以由无穷等比数列各项的和公式得： 21数列?bn?各项的和为2=1． ??7分

11?2（3）设数列?cn?的前n项和为Tn，当n为奇数时，Tn?b1?a2?b3???an?1?bn=

21(1?()34n?12(n?1)2)?； ??11分

2n212n2当n为偶数时，Tn?b1?a2?b3???bn?1?an=(1?())?． ??14分

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?21(n?1)(n?1)22?()??,当n为奇数时??3223即Tn??． ??15分

2??2(1)n?n?2，当n为偶数时?23?32

20．（1）f(?)?cos?即sin??cos???3?a，又sin??cos??所以?2?a?3?2sin(??)，2分

4?2，从而a的取值范围是[?3?2,?3?2]． ??5分

（2）f(?)?g(?)?(sin??1)?3(a?1)?a?2，令sin??1?x，则0?x?2，因为

sin??13(a?1)?23(a?1)，当且仅当x?3(a?1)时，等号成立，8分 x77由3(a?1)?2解得a?，所以当1?a?时，函数f(?)?g(?)的最小值是

33a?1，所以x?23(a?1)?a?2； ??11分

7时，函数f(?)?g(?)的最小值． 373(a?1)当a?时，3(a?1)?2，函数h(x)?x?在(0,2]上为减函数．所以函数

3x3(a?1)5(a?1)． ??12分 f(?)?g(?)的最小值为2??a?2?2273(a?1)当a?时，函数h(x)?x?在(0,2]上为减函数的证明：任取0?x1?x2?2，

3x下面求当a?h(x2)?h(x1)?(x2?x1)[1?3(a?1)]，因为0?x2x1?4，3(a?1)?4，所以x2x11?3(a?1)3(a?1)?0，h(x2)?h(x1)?0，由单调性的定义函数h(x)?x?在(0,2]上为x2x1x减函数．

77时，函数f(?)?g(?)的最小值是23(a?1)?a?2；当a?时，函335(a?1)数f(?)?g(?)的最小值． ??15分

2于是，当1?a?

?x?y?8?0,?x?y?0,21．（1）由?2解得A(16,?8)；由?2解得B(0,0)．

?y?4x.?y?4x.学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网www.gaokao.com

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由点斜式写出两条直线l1、l2的方程，l1:x?y?8?0;所以直线AB的斜率为?l2:x?y?0，

1． ??4分 2（2）推广的评分要求分三层

一层:点P到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）

例：1．已知A、B是抛物线y?4x上的相异两点．设过点A且斜率为?1的直线l1，与过

2t2点B且斜率为1的直线l2相交于抛物线y?4x上的一定点P(,t)，求直线AB的斜率；

422．已知A、B是抛物线y?4x上的相异两点．设过点A且斜率为?k 1的直线l1，与过点

2，求直线AB的斜率； B且斜率为k的直线l2相交于抛物线y2?4x上的一点P（4，4）

3．已知A、B是抛物线y?2px(p?0)上的相异两点．设过点A且斜率为?1的直线l1，

2t2,t)，求直与过点B且斜率为1的直线l2相交于抛物线y?2px(p?0)上的一定点P(2p2线AB的斜率； AB的斜率的值．

二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）

例：4．已知点?是抛物线y?4x上的定点．过点P作斜率分别为k、?k的两条直线

2l1、l2，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．

三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分）

例如：5.已知抛物线y?2px上有一定点P，过点P作斜率分别为k、?k的两条直线

2l1、l2，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．

过点P（x0,y0），斜率互为相反数的直线可设为y?k(x?x0)?y0，

y?k(x?x0)?y0，其中y0?2px0。

由?2?y?k(x?x0)?y02?y?2px得ky?2py?2py0?ky0?0，所以

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2p?y0)22pA(k,?y0)

2pk(2p?y0)22p同理，把上式中k换成?k得B(k,??y0)，所以

2pk(当P为原点时直线AB的斜率不存在，当P不为原点时直线AB的斜率为?2p。 y00)，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则yi?4xi(i?1,2)． （3）（理）点Q(x0，设线段AB的中点是M(xm,ym)，斜率为k，则k?y2?y142?=．12分

x2?x1y1?y2ym所以线段AB的垂直平分线l的方程为y?ym??ym(x?xm)， 2ym(5?xm)，而ym?0，于是2又点Q(5，0)在直线l上，所以?ym??xm?3． ??13分

(斜率kMQ?ym?0x?52，则xm?3--------------------------------13分) ，AB?MQ，??mxm?5ymym线段AB所在直线的方程为y?ym?22(x?3)， ??14分 ym代入y?4x，整理得4x2?24x?ym4?12ym2?36?0 ??15分

ym4?12ym2?36。设AB线段长为l，则 x1?x2?6，x1?x2?4l2?(1?k2)(x1?x2)2?(1?4ym2)[(x?x)?4x1x2]= 12222(4?ym)(?ym?12)??ym4?8ym2?48 ??16分

2（?23，0）?（0，23）?4xm?12，所以ym?因为0?ym ??18分

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即：l?

42?ym?8ym?48．（?23?ym?23）

（文）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则yi?4xi(i?1,2)． ??13分 设线段AB的中点是M(xm,ym)，斜率为k，则k?2y2?y142=，??15分 ?x2?x1y1?y2ym线段AB的垂直平分线l的方程为y?ym??ym(x?xm)， ??17分 20)在直线l上，所以?ym??又点Q(x0，ym(x0?xm)， 2而ym?0，于是xm?x0?2．故线段AB中点的横坐标为x0?2． ??18分

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ucga.html