2016年高数综合练习题1
更新时间:2023-09-14 18:03:01 阅读量: 初中教育 文档下载
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北京林业大学2016年高数综合练习题1
课程名称: 高等数学B (A卷) 课程所在学院: 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩
试卷说明:
1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 4 页,共 三 大部分,请勿漏答; 2. 考试时间为 120分钟,请掌握好答题时间;
3. 答题之前,请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚; 4. 本试卷所有答案均写在试卷上;
5. 答题完毕,请将试卷和答题纸正面向外对叠交回,不得带出考场; 6. 考试中心提示:请你遵守考场纪律,诚信考试、公平竞争!
一、填空:(每空2分,共30分) 1.函数z?
y?x的定义域为___{(x,y)|x?0,y?0,y2?x}______________。
y2?2x2.函数z?2的间断点为____曲线y2?2x?0上的各点________。
y?2x
2x?1,则C1?___0______,C2?__1_________。 3.设y?(C1?C2x)e,yx?0?0,y?x?0
4.微分方程y???3y??2y?0的通解为______y?C1e?x?C2e?2x______________________,
微分方程y???3y??2y?3xe?x的特解可设为_____y?(Ax2?Bx)e?x______________。
??????????????5.设a?2i?3j?k,b?i?j?3k,c?i?2j,则(a?b)? c?____2_______________________。
6.方程x2?y2?4在平面解析几何中表示的图形为_圆心在原点,半径为2的圆______,
?x2?y2?4在空间解析几何中表示的图形为__母线平行于Z轴,准线为?的圆柱面_。
z?0?
1y?x?2t?1t2?z?1______, ?7.曲线x?,y?,z?t2,在t?1处的切线方程为___?418tt?1
法平面方程为______8x?2y?16z?1?0___________________________。
8.将xoz面上的抛物线z2?5x绕x轴旋转而成的曲面方程为___z2?y2?5x__________。
1
9.级数
?qn?1?n当____|q|?1_________时收敛,当______|q|?1____________时发散。
10.设D?{(x,y)|2011?x?2012,0?y?1}且??yf(x)dxdy?1,则?2012f(x)dx=__2___。
D2011二 、计算下列各题(每题6分,共66分)
1. 求通过代换可降阶的二阶微分方程xy???y??0的通解。 解:令y??p,则y???p?,原方程化为xp??p?0,分离变量,得
dpp??dxx 2分 两边积分并化简得:p?C1x 2分 再积分,得通解 y??C1xdx?C1ln|x|?C2 2分
2.求过点(3,1,-2)且通过直线
x?4y?3z5?2?1的平面方程。 解:利用平面束方程,过直线x?4y?3z5?2?1的平面束方程为 x?45?y?32??(y?32?z)?0 3分 将点(3,1,-2)代入上式得 ??1120
所求平面方程为 x?45?y?32?1120(y?32?z)?0 即 8x?9y?22z?59?0 3分
或 设平面方程为Ax?By?Cz?D?0 平面过点(3,1,-2),另从直线
x?45?y?32?z1上任取两点,也在平面上,3分将平面上三点代入平面方程,即可确定平面方程 3分
或 找平面的法向量, 3分
用点法式求平面方程。 3分
3.设z?xy?yx ,求dz。 解:?z?x?y?y?z1x2 2分 ?y?x?x 2分 dz?(y?yx2)dx?(x?1x) d y
2分
2
?z?z,, 其中f(u,v)具有连续一阶偏导数。 4.设z?f(x?y,xy), 求
?x?y22解:
?z?z? 3分 ?2xf1??yf2? 3分 ??2yf1??xf2?x?y?z?x2?y2dydz?,。 5.设?,求
222dxdx??x?2y?3z?20解: 方程组两边对X求导 2分
解方程得
dzxdy?x(6z?1)? 2分 2分 ?dx3z?1dx2y(3z?1)
6.交换二次积分
?0dx?2解: 交换积分次序
?0dx?xe2?y2edy的积分次序,并求该积分值。 x22?y22y?y2dy=?dy?e00dx 3分
计算积分值 =
7. 计算三重积分成的闭区域。 解:
22???(x?y)dv=???02ye?y21dy=(1?e?4) 3分
2???(x?2?y2)dv,其中?是由曲面4z2?25(x2?y2)及平面z?5所围
252?0d???3d??5dz 3分
02? =???8? 3分
8.要造一个体积等于定数k的长方体无盖水池,应如何选择水池的长、宽、高,方可使它的表面积最小。
解:设水池的长、宽、高分别为x,y,z,则水池的表面积为
A?xy?2xz?2yz(x?0,y?0,z?0)
约束条件xyz?k 2分 构造拉格朗日函数L?xy?2xz?2yz??(xyz?k)
??y?2z??yz?0?Lx?L??x?2z??xz?0?y 2分 ??L?2x?2y??xy?0?z?xyz?k?1 解得x?y?32k,z?32k 2分
2
3
?n?9. 判别级数 ???的敛散性。
2n?1?n?1?n1nu?limlim??1 4分 故级数收敛 2分 解:nn??n??2n?12
?n(?1)n?110. 判别级数?的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛?
nn?1?(?1)n?1解:由莱布尼茨定理判别出?收敛 3分
nn?1?1判别出?发散 2分
nn?1?指出原级数条件收敛 1分
11. 求级数
?nxn?1的和函数,并指出和函数的定义域。
n?1?解:和函数为 s(x)?(1?x)和函数的定义域为 ?1?x?1 2分
n?1?nxn?1??12 4分
三(4分)设{un},{cn}为正实数列,若对所有的正整数n满足:且cnun?cn?1un?1?0,发散,证明
1?cn?1n??un也发散。
n?1?解:由cnun?cn?1un?1?0 推出un?c1u1??1 2分 cn??11?c1u1??发散,故由比较判别法知?un也发散 2分 因为?c1u1?cnn?1n?1cnn?1 4
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