2016年高数综合练习题1

北京林业大学2016年高数综合练习题1

课程名称： 高等数学B （A卷） 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩

试卷说明：

1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 4 页，共 三 大部分，请勿漏答； 2. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；

3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚； 4. 本试卷所有答案均写在试卷上；

5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场； 6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！

一、填空：（每空2分，共30分） 1．函数z?

y?x的定义域为___{(x,y)|x?0,y?0,y2?x}______________。

y2?2x2．函数z?2的间断点为____曲线y2?2x?0上的各点________。

y?2x

2x?1，则C1?___0______，C2?__1_________。 3．设y?(C1?C2x)e,yx?0?0,y?x?0

4．微分方程y???3y??2y?0的通解为______y?C1e?x?C2e?2x______________________，

微分方程y???3y??2y?3xe?x的特解可设为_____y?(Ax2?Bx)e?x______________。

??????????????5．设a?2i?3j?k,b?i?j?3k,c?i?2j，则(a?b)? c?____2_______________________。

6．方程x2?y2?4在平面解析几何中表示的图形为_圆心在原点，半径为2的圆______，

?x2?y2?4在空间解析几何中表示的图形为__母线平行于Z轴，准线为?的圆柱面_。

z?0?

1y?x?2t?1t2?z?1______， ?7．曲线x?,y?,z?t2，在t?1处的切线方程为___?418tt?1

法平面方程为______8x?2y?16z?1?0___________________________。

8．将xoz面上的抛物线z2?5x绕x轴旋转而成的曲面方程为___z2?y2?5x__________。

1

9．级数

?qn?1?n当____|q|?1_________时收敛,当______|q|?1____________时发散。

10．设D?{(x,y)|2011?x?2012,0?y?1}且??yf(x)dxdy?1，则?2012f(x)dx=__2___。

D2011二 、计算下列各题（每题6分，共66分）

1． 求通过代换可降阶的二阶微分方程xy???y??0的通解。 解：令y??p，则y???p?，原方程化为xp??p?0，分离变量，得

dpp??dxx 2分 两边积分并化简得：p?C1x 2分 再积分，得通解 y??C1xdx?C1ln|x|?C2 2分

2．求过点(3,1,-2)且通过直线

x?4y?3z5?2?1的平面方程。 解：利用平面束方程，过直线x?4y?3z5?2?1的平面束方程为 x?45?y?32??(y?32?z)?0 3分 将点(3,1,-2)代入上式得 ??1120

所求平面方程为 x?45?y?32?1120(y?32?z)?0 即 8x?9y?22z?59?0 3分

或 设平面方程为Ax?By?Cz?D?0 平面过点(3,1,-2)，另从直线

x?45?y?32?z1上任取两点，也在平面上，3分将平面上三点代入平面方程，即可确定平面方程 3分

或 找平面的法向量， 3分

用点法式求平面方程。 3分

3．设z?xy?yx ，求dz。 解：?z?x?y?y?z1x2 2分 ?y?x?x 2分 dz?(y?yx2)dx?(x?1x) d y

2分

2

?z?z,， 其中f(u,v)具有连续一阶偏导数。 4．设z?f(x?y,xy), 求

?x?y22解：

?z?z? 3分 ?2xf1??yf2? 3分 ??2yf1??xf2?x?y?z?x2?y2dydz?,。 5．设?，求

222dxdx??x?2y?3z?20解： 方程组两边对X求导 2分

解方程得

dzxdy?x(6z?1)? 2分 2分 ?dx3z?1dx2y(3z?1)

6．交换二次积分

?0dx?2解： 交换积分次序

?0dx?xe2?y2edy的积分次序，并求该积分值。 x22?y22y?y2dy=?dy?e00dx 3分

计算积分值 =

7． 计算三重积分成的闭区域。 解：

22???(x?y)dv=???02ye?y21dy=(1?e?4) 3分

2???(x?2?y2)dv，其中?是由曲面4z2?25(x2?y2)及平面z?5所围

252?0d???3d??5dz 3分

02? =???8? 3分

8．要造一个体积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的长、宽、高，方可使它的表面积最小。

解：设水池的长、宽、高分别为x,y,z，则水池的表面积为

A?xy?2xz?2yz(x?0,y?0,z?0)

约束条件xyz?k 2分 构造拉格朗日函数L?xy?2xz?2yz??(xyz?k)

??y?2z??yz?0?Lx?L??x?2z??xz?0?y 2分 ??L?2x?2y??xy?0?z?xyz?k?1 解得x?y?32k,z?32k 2分

2

3

?n?9． 判别级数 ???的敛散性。

2n?1?n?1?n1nu?limlim??1 4分 故级数收敛 2分 解：nn??n??2n?12

?n(?1)n?110. 判别级数?的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？

nn?1?(?1)n?1解：由莱布尼茨定理判别出?收敛 3分

nn?1?1判别出?发散 2分

nn?1?指出原级数条件收敛 1分

11. 求级数

?nxn?1的和函数，并指出和函数的定义域。

n?1?解：和函数为 s(x)?(1?x)和函数的定义域为 ?1?x?1 2分

n?1?nxn?1??12 4分

三（4分）设{un},{cn}为正实数列，若对所有的正整数n满足：且cnun?cn?1un?1?0，发散，证明

1?cn?1n??un也发散。

n?1?解：由cnun?cn?1un?1?0 推出un?c1u1??1 2分 cn??11?c1u1??发散，故由比较判别法知?un也发散 2分 因为?c1u1?cnn?1n?1cnn?1 4

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