高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线预习导航学案新人教B版选修2 - 1

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课程目标 1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系． 2．会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题． 3．加强数形结合思想的训练与应用. 1．直线与圆锥曲线的位置关系

(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.

??Ax＋By＋C＝0，由???f(x，y)＝0

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学习脉络

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消元，

如消去y后得ax＋bx＋c＝0.

①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．

②若a≠0，设Δ＝b－4ac.

Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点； Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．

思考1 直线与圆锥曲线只有一个公共点时，直线与圆锥曲线一定是相切吗？ 提示：不一定．对于直线与椭圆来说，是一定相切的．但对于直线与双曲线、直线与抛物线来说，则不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个公共点，但它们是相交的．

思考2 椭圆与圆类似，是封闭曲线，能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系？

提示：不能．椭圆虽然与圆类似，但中心到椭圆上各点的距离不完全相等．

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2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝(1＋k)[(x1＋x2)－4x1x2] 或|P1P2|＝

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?1＋12?[(y＋y)2－4yy](k≠0)． ?k?1212??

(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．

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