小学四年级奥数 第三讲 高斯求和

第三讲 高斯求和

数列求和

高斯的办法

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天 老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快 算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高 斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相 等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。

数列

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并 且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一 项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项 之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。 例如： （1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99； （3）8，15，22，29，36，…，71。 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列； （2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列； （3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？

分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数 列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等 差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判 断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？

分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首 项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的， 这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可 以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。

例3 3＋7＋11＋…＋99＝？

分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的 等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

例4 求首项是25，公差是3的等差数 列的前40项的和。

解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公 式，可以解决各种与等差数列求和有关的问 题。

例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是 12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三 角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多 少根火柴棍摆成？

分析：

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