第4讲 解决问题的策略(教师版)(知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升)苏教版

第4讲解决问题的策略

知识点一：用“假设”的策略解决含有两个未知量的实际问题

利用“假设”的策略解决倍数关系的问题的关键是找准代换后数量的变化情况。

知识点二：用“假设”的策略解决相差问题

利用“假设”的策略解决相差关系的问题时，先根据解题的需要对已知条件作出假设，通过假设引出差量，然后分析产生差量的原因，把原因分析清楚后，找到差量对应的数量来解决问题。

用“假设”的策略解决含有两个未知量的实际问题

【例1】（2019秋?昌乐县期末）看图列方程．

方程：50+x＝200

【思路分析】根据天平平衡原理可得，当天平平衡时，左边＝右边，据此即可列出方程解答问题．【规范解答】解：根据题干分析可得方程：

50+x＝200

x＝150

故答案为：50+x＝200．

【名师点评】解答此题容易找出基本等量关系，由此列方程解决问题．

1．妈妈去水果店买回苹果和香蕉各4千克，共用去了56元．已知苹果每千克7.5元，香蕉每千克x元．根据条件把下面的关系式补充完整，

（1）苹果的总价+香蕉的总价＝56

（2）（苹果的单价+香蕉的单价）×4＝56

【思路分析】（1）根据题意可知，苹果的总价+香蕉的总价＝56元．

（2）（苹果的单价+香蕉的单价）×4＝56元．

设香蕉每千克x元，据此列方程解答．

【规范解答】解：（1）根据题意可知，苹果的总价+香蕉的总价＝56元．

1

2 （2）（苹果的单价+香蕉的单价）×4＝56元．

设香蕉每千克x 元，

（1）7.5×4+4x ＝56

30+4x ＝56

30+4x ﹣30＝56﹣30

4x ＝26

4x ÷4＝26÷4

x ＝6.5

（2）（7.5+x ）×4＝56

（7.5+x ）×4÷4＝56÷4

7.5+x ＝14

7.5+x ﹣7.5＝14﹣7.5

x ＝6.5

答：香蕉每千克6.5元．

故答案为：苹果的总价，香蕉的总价；苹果的单价，香蕉的单价．

【名师点评】解决这类问题主要找出题里面蕴含的等量关系，设出未知数，由此列出方程解决问题． 2．（2019秋?薛城区期末）用方程表示下面的数量关系．

方程：

2x ＝50

方程： 4x +10＝40

【思路分析】（1）根据图意可知，左边两个砝码重量的和等于右边砝码的重量，根据题意列方程：2x ＝50，依据等式的性质即可求解，

（2）根据图示可得到等量关系式：四个练习本的钱数之和+十万个为什么的价钱＝40元，据此列出方程4x +10＝40，依据等式的性质即可求解．

【规范解答】解：（1）2x ＝50

2x ÷2＝50÷2

x＝25

（2）4x+10＝40

4x＝30

x＝7.5

故答案为：2x＝50，4x+10＝40．

【名师点评】解答此类题目的关键是明确图示表达的意义，再根据数量间的等量关系，列出方程即可求解．

3．（2019春?兴县期末）看图写出等量关系，并列出方程．

等量关系是

三个篮球的价钱+一个足球的价钱＝总价．

方程是3x+48＝234．

【思路分析】根据题意可知：三个篮球的价钱+一个足球的价钱（48元）＝总价（234元），设每个篮球的价格是x元，据此列方程解答．

【规范解答】解：设每个篮球的价格是x元

3x+48＝234

3x+48﹣48＝234﹣48

3x＝186

3x÷3＝186÷3

x＝62

答：每个篮球的价格是62元．

故答案为：三个篮球的价钱+一个足球的价钱＝总价，3x+48＝234．

【名师点评】解决这类问题主要找出题里面蕴含的等量关系，设出未知数，由此列出方程解决问题．用“假设”的策略解决相差问题

【例2】（2020?顺德区）果园里有荔枝树270棵，比龙眼树棵数的多60棵，龙眼树有多少棵？（用方程解答）

【思路分析】根据题意可知，龙眼树的棵数×+60＝270棵，设龙眼树有x棵，据此列方程解答．

3

【规范解答】解：设龙眼树有x棵

x+60＝270

x+60﹣60＝270﹣60

x＝210

x×＝210×

x＝280

答：龙眼树有280棵．

【名师点评】解决这类问题主要找出题里面蕴含的等量关系，设出未知数，由此列出方程解决问题．

1．（2020?海淀区）果园里的桃树比杏树多40棵，杏树的棵数是桃树的，桃树和杏树各有多少棵？（用方程解）

【思路分析】根据题意可知，桃树的棵数﹣杏树的棵数＝40棵，设桃树有x棵，则杏树有x棵，据此列方程解答．

【规范解答】解：设桃树有x棵，则杏树有x棵，

x﹣x＝40

x＝40

x×5＝40×5

x＝200

200﹣40＝160（棵）

答：桃树有200棵，杏树有160棵．

【名师点评】解决这类问题主要找出题里面蕴含的等量关系，设出未知数，由此列出方程解决问题．2．（2020春?沈阳期末）买1支水性笔比买5支铅笔便宜12元，每支铅笔0.75元，每支水性笔多少元？

（用方程解答．）

【思路分析】根据题意可知，1支性笔的价格﹣1支铅笔的价格×5＝12元，设每支水性笔x元．据此列方程解答．

【规范解答】解：设每支水性笔x元

x﹣0.75×5＝12

x﹣3.75＝12

4

x﹣3.75+3.75＝12+3.75

x＝15.75

答：每支水性笔15.75元．

【名师点评】解决这类问题主要找出题里面蕴含的等量关系，设出未知数，由此列出方程解决问题．3．（2020?隆回县）图书馆购进科技书与童话书的本数比为3：2，其中科技书有165本，童话书有多少本？

（用方程解）

【思路分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫做比例．已知购进科技书与童话书的本数比为3：2，其中科技书有165本，设童话书有x本．据此列比例解答．

【规范解答】解：设童话书有x本

3：2＝165：x

3x＝2×165

x＝

x＝110

答：童话书有110本．

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握比例的意义及应用．

一．选择题（共6小题）

1．（2020?齐齐哈尔）牧羊人正在放牧，一个人牵着一只羊问他．“你的羊群有多少只？”牧羊人答道：“这群羊加上一倍，再加上原来羊群的一半．又加上原来羊群的四分之一，算上你牵来的羊，正好满一百只．”请问，牧羊人的羊群有多少只？（）

A．32只B．34只C．36只D．38只

【思路分析】设牧羊人这群羊一共有x只，根据“这群羊加上一倍，再加上原来羊群的一半．又加上原来羊群的四分之一，算上你牵来的羊，正好满一百只．”即可得出关于x的一元一次方程，由此求解即可解答问题．

【规范解答】解：设牧羊人这群羊一共有x只，根据题意可得：

2x++x+1＝100

x＝99

x×＝99×

x＝36

5

答：牧羊人的羊群有36只．

故选：C．

【名师点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解决本题的关键．2．（2020?荥阳市）小亮和姐姐一共有240张邮票，小亮的邮票张数是姐姐的．如果设姐姐的邮票为x张，下列方程中符合题意的是（）

A．x﹣x＝240B．（1+）x＝240

C．240+x＝x

【思路分析】根据题干，把姐姐的邮票张数看作单位1，小亮的邮票张数是姐姐的，则小亮的邮票张数就是x张，设姐姐的邮票为x张，可得等量关系：姐姐的邮票张数+弟弟的邮票张数＝邮票张数240，列出方程是x+x＝240，或（1+）x＝240，据此即可解答问题．

【规范解答】解：设姐姐的邮票为x张，根据题意可得：

x+x＝240，或（1+）x＝240

故选：B．

【名师点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式或方程解答．3．张大爷家收了780千克苹果，装了30筐，还剩下15千克．平均每筐装x千克，下面的方程中，错误的是（）

A．780﹣30x＝15B．30x+15＝780C．30x﹣15＝780

【思路分析】根据题干，设平均每筐装x千克，则可得等量关系：平均每筐装的千克数×筐数+剩下的15千克＝苹果的总千克数，或者苹果的总千克数﹣平均每筐装的千克数×筐数＝剩下的15千克，列出的方程是：30x+15＝780或者780﹣30x＝15，据此即可焦点问题．

【规范解答】解：设平均每筐装x千克，根据题意可得方程：

30x+15＝780或者780﹣30x＝15

所以上面的方程错误的是30x﹣15＝780．

故选：C．

【名师点评】解答此题容易找出基本数量关系：平均每筐装的千克数×筐数+剩下的15千克＝苹果的总千克数，或者苹果的总千克数﹣平均每筐装的千克数×筐数＝剩下的15千克，由此列方程解决问题．4．（2020?长春）一只鸵鸟和一只天鹅共重108千克，鸵鸟的体重是天鹅的8倍，如果设天鹅的体重为x 千克，那么列方程是（）

6

A．8+x＝108B．8x＝108C．8x+x＝108D．x+x＝108

【思路分析】根据题意，设天鹅的体重为x千克，则鸵鸟的质量为8x千克，根据鸵鸟的质量与天鹅的质量和是108，列方程求解即可．

【规范解答】解：设天鹅的体重为x千克，

8x+x＝108

9x＝108

x＝12

12×8＝96（千克）

答：天鹅的体重是12千克，鸵鸟的质量是96千克．

所以方程为：8x+x＝108．

故选：C．

【名师点评】本题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．

5．（2019秋?渭滨区期末）某校六年级女生有120人，比男生少10%，六年级男生有多少人？设男生有x 人，下列方程不正确的是（）

A．x﹣10% x＝120B．（1﹣10%）x＝120

C．x+10% x＝120D．120+10% x＝x

【思路分析】A、根据：男生的人数﹣男生的人数×女生比男生少的百分率＝女生的人数，列出方程即可．

B、根据：男生的人数×（1﹣女生比男生少的百分率）＝女生的人数，列出方程即可．

C、根据：男生的人数﹣男生的人数×女生比男生少的百分率＝女生的人数，列出方程即可．

D、根据：女生的人数+男生的人数×女生比男生少的百分率＝男生的人数，列出方程即可．

【规范解答】解：设男生有x人，

则x﹣10% x＝120，A正确；

（1﹣10%）x＝120，B正确；

x﹣10% x＝120，C不正确；

120+10% x＝x，D正确．

故选：C．

【名师点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．

7

6．（2019秋?龙州县期末）有60个苹果，苹果是桃的2倍，桃有多少个？如果设桃有x个，那么下面方程中（）是错误的．

A．2x＝60B．60÷x＝2C．x÷2＝60

【思路分析】根据题干，设桃有x个，那么可得到的等量关系是：桃的个数×2＝苹果的个数，苹果的个数÷桃的个数＝2，或者苹果个数÷2＝桃的个数，据此列出方程即可解答问题．

【规范解答】解：设桃有x个，根据等量关系可得方程：

2x＝60或60÷x＝2或60÷2＝x

所以三个选项中列出的方程只有选项C是错误的．

故选：C．

【名师点评】解答此题容易找出基本数量关系：桃的个数×2＝苹果的个数，苹果的个数÷桃的个数＝2，或者苹果个数÷2＝桃的个数，由此列方程解决问题．

二．填空题（共6小题）

7．（2019春?福田区期末）家乐福超市运来10箱饮料，每箱x瓶，卖出了650瓶，还剩250瓶．根据题意写一个等量关系：饮料箱数×每箱瓶数＝卖出瓶数+剩下瓶数，根据这个关系式列出相应的方程10x ＝650+250．

【思路分析】根据饮料总瓶数可列出等量关系：饮料箱数×每箱瓶数＝卖出瓶数+剩下瓶数，代入数据可列出方程：10x＝650+250，据此解答即可．

【规范解答】解：家乐福超市运来10箱饮料，每箱x瓶，卖出了650瓶，还剩250瓶．根据题意写一个等量关系：饮料箱数×每箱瓶数＝卖出瓶数+剩下瓶数，根据这个关系式列出相应的方程：10x＝650+250．故答案为：饮料箱数×每箱瓶数＝卖出瓶数+剩下瓶数，10x＝650+250．

【名师点评】解答此题的关键是明确题中两个条件均可表示饮料总瓶数，进而可列出等量关系．8．（2019春?南山区期末）只列方程，不计算．

（1）2x＝150

（2）x＝120

【思路分析】（1）根据：女生的人数×2＝150，可列方程：2x＝150．

（2）根据：x米的是120米，可列方程：x＝120．

【规范解答】解：（1）2x＝150

（2）x＝120

故答案为：2x＝150；x＝120．

【名师点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是

8

解答此类问题的关键．

9．（2018秋?长沙期末）用方程表示如图的数量关系式是3x+14.8＝74.2．

【思路分析】根据图意可得，左边三件物品的钱数+右边一件物品的钱数＝总钱数，据此列方程即可．【规范解答】解：设左边每件物品x元，

用方程表示如图的数量关系式是：3x+14.8＝74.2

故答案为：3x+14.8＝74.2．

【名师点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．

10．（2019秋?镇原县期末）奶奶今年78岁，比玲玲年龄的5倍大8岁．玲玲今年几岁？解：设玲玲今年x岁，可列方程5x+8＝78，解得x＝14．

【思路分析】首先设玲玲今年x岁，则奶奶今年5x+8岁，然后根据：玲玲今年的年龄×5+8＝奶奶今年的年龄，可列方程5x+8＝78，据此求出x的值是多少即可．

【规范解答】解：设玲玲今年x岁，则奶奶今年5x+8岁，

所以5x+8＝78

5x+8﹣8＝78﹣8

5x＝70

5x÷5＝70÷5

x＝14

答：玲玲今年14岁．

故答案为：5x+8＝78；14．

【名师点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．

11．（2018秋?涧西区期末）世界杯足球赛用的足球，白色皮共20块，比黑色皮的2倍少4块，共有多少块黑色皮？要用方程解答，所用的等量关系是黑色皮块数×2﹣4＝白色皮块数．

【思路分析】设共有x块黑色皮，依据题意可得：黑色皮块数×2﹣4＝白色皮块数，据此列方程即可解答．

【规范解答】解：所用的等量关系是：黑色皮块数×2﹣4＝白色皮块数

设共有x块黑色皮，

2x﹣4＝20

9

2x﹣4+4＝20+4

2x＝24

2x÷2＝24÷2

x＝12

答：共有12块黑色皮．

故答案为：黑色皮块数×2﹣4＝白色皮块数．

【名师点评】明确数量关系式：黑色皮块数×2﹣4＝白色皮块数是解答本题的关键．

12．（2019春?福田区期末）下面不能用方程“x+x＝60”来表示的是C 、D ．

【思路分析】A．第一个数为x，第二数是第一个数的，则第二数为x，两个数的和是60，由题意得：x+x ＝60；

B．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为x，由题意得：x+x＝60；

C．把整个正方形的面积看作单位“1”，平均分成4份，阴影部分占3份，阴影部分的面积为x平方米，则空白部分的面积为平方米，由题意得：x+x＝“1”；

D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为x平方米，则空白部分的面积为x平方米，由题意得：x+x＝60；据此解答．

【规范解答】解：由分析得：

A．可以用方程“x+x＝60”表示；

B．可以用方程“x+x＝60”表示；

C．不可以用方程“x+x＝60”表示；

D．不可以用方程“x+x＝60”表示；

故答案为：C、D．

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握列方程解决问题的方法及应用．

三．判断题（共5小题）

13．列方程解应用题的关键就是理解题意，找出题中的等量关系，列出方程．√（判断对错）【思路分析】列方程解应用题的关键就是理解题意，找出题中的等量关系，据此判断即可．

【规范解答】解：列方程解应用题的关键就是理解题意，找出题中的等量关系，列出方程所以本题说法正确，

故答案为：√．

【名师点评】本题考查了列方程解应用题，关键是明确列方程解应用题的关键就是理解题意，找出题中

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的等量关系．

14．学校买来200本科技书，买的故事书比科技书的2倍少50本，买故事书多少本？解：设买故事书x本．2x ﹣50＝200，x＝125．×．（判断对错）

【思路分析】设图书馆买来故事书x本，依据科技书本数×2﹣故事书本数＝50本，可列方程：2×200﹣x＝50，解方程即可．

【规范解答】解：设买故事书x本，

2×200﹣x＝50

400﹣x＝50

x＝350

答：买故事书350本．

故答案为：×．

【名师点评】解决此类问题的关键在于找准关系式，根据关系式进行解答．

15．x个同学站成8行，每行有6人．

8x＝6×（判断对错）改正：x÷8＝6

【思路分析】根据题意，分析数量关系，可得等量关系式：每行的人数＝总人数÷行数，然后设有x个同学，再列方程解答即可．

【规范解答】解：设有x个同学，

x÷8＝6

x＝8×6

x＝48

答：有48个同学．

故答案为：×，x÷8＝6．

【名师点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．

16．5个人种南瓜，每人种了x株，一共种了40株．

5x＝40．√（判断对错）改正：﹣﹣﹣

【思路分析】根据题意，分析数量关系，可得等量关系式：每人种的株数×人数＝总株数，然后设每人种了x株，再列方程解答即可．

【规范解答】解：设每人种了x株，

5x＝40

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5x÷5＝40÷5

x＝8

答：每人种了8株．

故答案为：√，﹣﹣﹣﹣．

【名师点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．

17．一条公路修了全长的，离中点还有40米，这条公路全长多少千米？列式是设全长为X千米：X×＝40．×（判断对错）

【思路分析】设全长为X千米，根据等量关系：公路全长的一半﹣这条公路的＝40米，列方程解答即可．【规范解答】解：设全长为X千米，

X﹣X＝40

X＝40

X＝160

答：这条公路全长160千米．

故答案为：×．

【名师点评】本题考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：公路全长的一半﹣这条公路的＝40米，列方程．

四．应用题（共8小题）

18．（2020?无锡）光明小学四年级有320人，比三年级人数的多20人．光明小学三年级共有多少人？（用方程解）

【思路分析】设三年级人数是x人，根据关系式：三年级人数×+20人＝四年级人数，列方程求解即可．【规范解答】解：设三年级人数是x人，

x+20＝320

x＝300

x＝250

答：光明小学三年级共有250人．

【名师点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．

19．（2020?唐县）某工程队铺一段路，原计划每天铺9.6千米，15天铺完．因工期有变，需提前3天完成，实际每天要比原计划多铺多少千米？（用方程解）

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【思路分析】根据题意，设实际每天比原计划多铺x千米，根据总路程不变：实际每天铺的长度×实际铺的天数＝计划每天铺的长度×计划铺的天数，列方程求解即可．

【规范解答】解：设实际每天比原计划多x千米

（9.6+x）×（15﹣3）＝9.6×15

115.2+12x＝144

12x＝28.9

x＝2.4

答：实际每天要比原计划多铺2.4千米．

【名师点评】观察题干，分析数量关系，设出未知数列方程解答即可．

20．（2020?衡阳县）一本书共96页，小军前4天看了24页，照这样的速度，看完全书需要多少天？

（列比例解答）

【思路分析】根据题意，设看完全书需要x天，因为小军每天看书的页数一定，所看天数与看的页数成正比例，据此列比例，利用比例的基本性质解比例即可．

【规范解答】解：设看完全书需要x天，

96：x＝24：4

24x＝96×4

x＝96×4÷24

x＝16

答：看完全书需要16天．

【名师点评】观察题干，分析数量关系，设出未知数列方程解答即可．

21．（2020?衡阳县）只列方程不计算．

（1）明明的体重是25kg，他的体重比爸爸的体重轻了，爸爸的体重是多少千克？

解：设明明爸爸的体重是x千克．（1﹣）x＝25

（2）甲、乙两艘轮船同时从上海出发开往青岛．经过18小时后，甲船落后乙船72千米．甲船每小时行32千米，乙船每小时行多少千米？

解：设乙船每小时行x千米．18（x﹣32）＝72

【思路分析】（1）根据题意，设明明爸爸的体重是x千克，把爸爸的体重看作单位“1”，则明明的体重＝爸爸的体重×（1﹣），根据关系式列方程即可．

（2）根据题意，设乙船每小时行x千米，利用追及问题公式：路程差＝速度差×追及时间，列方程求解即可．

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【规范解答】解：（1）设明明爸爸的体重是x千克，

（1﹣）x＝25

（2）设乙船每小时行x千米，

18（x﹣32）＝72

故答案为：（1﹣）x＝25；18（x﹣32）＝72．

【名师点评】观察题干，分析数量关系，设出未知数列方程解答即可．

22．（2020?灯塔市）甲乙两城相距400千米，一列客车和一列货车同时从两地相对开出，4小时后相遇．客车每小时行驶55千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解）

【思路分析】根据相遇问题的基本数量关系，速度和×相遇时间＝路程，设货车每小时行驶x千米，据此列方程解答．

【规范解答】解：设货车每小时行驶x千米

（55+x）×4＝400

（55+x）×4÷4＝400÷4

55+x＝100

55+x﹣55＝100﹣55

x＝45

答：货车每小时行驶45千米．

【名师点评】解决这类问题主要找出题里面蕴含的等量关系，设出未知数，由此列出方程解决问题．23．（2020?魏县）王老师为学校买了篮球和足球共6个，共用去231元，已知篮球每个42元，足球每个35元，篮球和足球各买多少个？（用方程解）

【思路分析】根据题意，设买来了x个篮球，则足球个数为（6﹣x）个，根据买篮球的钱数+买足球的钱数＝总钱数，列方程求解即可．

【规范解答】解：设买来了x个篮球，则足球个数为（6﹣x）个，

42x+35×（6﹣x）＝231

42x+210﹣35x＝231

7x＝21

x＝3

6﹣3＝3（个）

答：篮球买了3个，足球买了3个．

【名师点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x ，由此列方

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程解决问题．

24．（2020?扎兰屯市模拟）李兵买7支铅笔和10本练习本，一共用了19.2元，每本练习本1.5元．每支铅笔多少元？（列方程解答）

【思路分析】根据题意可得等量关系式：7支铅笔的总价+10本练习本的总价＝19.2元，设每支铅笔x 元，然后列方程解答即可．

【规范解答】解：设每支铅笔x元，

1.5×10+7x＝19.2

15+7x＝19.2

7x＝4.2

x＝0.6

答：每支铅笔0.6元．

【名师点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．

25．（2020?长春）甲、乙两车同时从A地出发，甲车向东开，每时行55千米，乙车向西开，3时后两车相距315千米．乙车每时行多少千米？（用方程解）

【思路分析】根据题意，设乙车每小时行x千米，根据相遇问题公式：路程和＝速度和×时间，列方程求解即可．

【规范解答】解：设乙车每小时行x千米，

3（55+x）＝315

55+x＝105

x＝50

答：乙车每小时行50千米．

【名师点评】本题主要考查行程问题，关键是利用行程问题中路程、速度和时间的关系做题．

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