高等数学复习期末试题含答案

高等数学试题(一)（含答案）

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填

在题干的括号内。第1—10题，每小题1分，第11—20小题，每小题2分，共30分) 1.函数y=5?x+ln(x－1)的定义域是( )

A. (0，5］ B. (1，5］ C. (1，5) D. (1，+∞) 2. limsin2x等于( ) x??x A. 0 B. 1 C.

12

D. 2

3.二元函数f(x,y)=ln(x－y)的定义域为( ) A. x－y>0 B. x>0, y>0 C. x<0, y<0 D. x>0, y>0及x<0, y<0 4.函数y=2｜x｜－1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导

5.设函数f(x)=e1－2x

，则f(x)在x=0处的导数f′(0)等于( ) A. 0 B. e C. –e D. －2e 6.函数y=x－arctanx在［－1，1］上( ) A.单调增加 B.单调减少 C.无最大值 D.无最小值

7.设函数f(x)在闭区间［0，1］上连续，在开区间(0，1)内可导，且f′(x)>0，则( A. f(0)<0 B. f(1)>0 C. f(1)>f(0) D. f(1)

?? A. ?(?1)nn B. ?(?1)nn n?1n?1 n?1?? C.

?(?1)n1

D.

?(?1)n1

n?1nn?1n210.方程y′—y=0的通解为( A. y=cex

)

B. y=ce－x

C. y=csinx

D. y=cx1e+c2e－x

??x?4?211.设函数f(x)=?,x?0在点x=0处连续，则k等于( )

?x?k,x?0 A. 0 B. 14

C.

12

D. 2

12.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e－xf(e－x)dx等于( A. F(e－x)

)+c B. －F(e－x

)+c C. F(ex)+c D. －F(ex)+c

13.下列函数中在区间［－1，1］上满足罗尔中值定理条件的是( )

1

) A. y=

x1x C. y=1－x2

2x

0

2

B. y=|x| D. y=x－1

14.设?f(t)dt=a－a,f(x)为连续函数，则f(x)等于( )

A. 2a2x

C. 2xa2x－1 15.下列式子中正确的是( )

B. a2xlna D. 2a2xlna B.

A. C.

??1edx?1x0??

1e1x20dx dx

?1edx?x0?1ex20dx

edx?xex200D.以上都不对

??16.下列广义积分收敛的是( ) A. C.

????cosxdx??

B. D.

1?sinxdx??

1lnxdx

21?1x2dx

117.设f(x)=e?x?1，g(x)=x2，当x→0时( ) A. f(x)是g(x)的高阶无穷小 C. f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小 18.交换二次积分?dy?01yyB. f(x)是g(x)的低阶无穷小

D. f(x)与g(x)是等价无穷小

f(x,y)dx的积分次序，它等于( )

A. C.

?10dxf(x,y)dy

?xx

?

B. D.

?1dx10?x22xf(x,y)dy

?1dx0?xxf(x,y)dy

?0dxf(x,y)dy

?xx?19.若级数?un收敛，记Sn=?ui，则( )

n?1i?1 A. limSn?0

n??n??

x

B. limSn?S存在

n?? C. limSn可能不存在 D. ｛Sn｝为单调数列

*

20.对于微分方程y″+3y′+2y=e－，利用待定系数法求其特解y时，下面特解设法正确的是( )

A. y*=ae－x B. y*=(ax+b)e－x C. y*=axe－x D. y*=ax2e－x 二、填空题(每小题2分，共20分)

2??1.lim?1??x???x?x?1?______。

?1?xsinx,x?0??k,x?02.若函数f(x)=?在x=0处连续，则k=______。 ?1?xsin?1,x?0?x?f(x)f(x)3.设f(0)=0，且极限lim存在，则lim=______。

x?0x?0xx14.设y=sinex，则

dydx=______。

5.如果函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使

2

f′(ξ)=______。 6.?dxx1?lnx?2?______。

7.定积分?2?xsin8xdx?______。

?28.广义积分????11?xn?102dx=______。

nn9.幂级数?(?1)n?1x3的收敛半径R=________。

10.微分方程y″+2y′=0的通解为______。 三、计算题(每小题5分，共30分)

1.求lim?23??3x?1?x2?1x???。 1??x?1?x2??,求y′。 2.设y=xln???3.计算?xarcsinxdx。

02?dy?x?2xy?x?e??dx4.求解微分方程的初值问题?。

?y?2x?0??15.设z=f(x,y)是由方程e－z+xy=0确定的隐函数，求z的全微分dz。

xd?e?6.展开?dx?xz3

1?n?为x的幂级数，并证明?1。

(n?1)!?n?1??四、应用题(每小题8分，共16分)

1.某商店以每条100元的价格购进一批牛仔裤，已知市场的需求函数为Q=400－2P，问怎样选择牛仔裤的售价P(元/条)，可使所获利润最大，最大利润是多少。

2.设抛物线y2=2x与该曲线在?五、证明题(4分)

证明：xln(x?1?x2)?1?x2?1,(x?0)。

?1?,1?处的法线所围成的平面图形为D，求D的面积。 ?2? 3

答案

：

一、单项选择题(第1—10题，每小题1分，第11—20小题，每小题2分，共30分) 1.B 2.A 3.A 4.D 5.D 6.A 7.C 8.C 9.C 10.A 11.B 12.B 13.C 14.D 15.B 16.D 17.C 18.B 19.B 20.C 二、填空题(每小题2分，共20分)

1. e－2 2. 1

3. f′(0)

4. ?5.

1211xf(b)?f(a)b?aexcosex

6. arcsinlnx+C 7. 0 8.

?2

9. 3

2x

10. C1+C2e－

三、计算题(每小题5分，共30分)

1.解：原式=limx?12x2?x?12(x?1)(x?1)(x2x?1(x?1)(x22?x?1)?12

=limx?1?x?1)

??1?x ??22.解：y′=ln(x?=ln(x?1?x)?x?ln(x???1?x)?x2(x?x?1?x)1?x22

1?x1?x22=ln(x?1?x)?xx?2

1?x=ln(x?1?x2)?3.解1:

令x=sint t∈?0,?

?2??x1?x2

???则，原式=?2tsintcostdt

0=

2?1?2tsin2tdt wsinwdw ?800w?2t1?=?18?wcosw0?8?1?coswdw?180?。

4

解2:?=

1xarcsinxdx2

1012xarcsinxx?0??12?1x220dx

1?xx?sint?4??12?22sintdt

0=

?4?14?2(1?cos2x)dx?dydx?8。

204.解：齐次方程+2xy=0的解为y=Ce?x。

2由常数变异法，令y=C(x)e?x代入方程，得：

C?(x)e?x2?x?e?x2，

x2因此，C(x)= 所以,y=(x?12?e(1?xex2)dx?x??x212ex2?C0

?C0)ex?02

52代入初值条件：y所以，y=(x?12ex=2得C0=

52?z)e?x2

?

?y25.解：两边关于x求偏导ez所以

?z?x?y3z?x??z?x?0

1?e;

?z?y??z?y?3xy3两边关于y求偏导ez所以dz=

x

?0

?z?y?3xy1?e?z?y3z。因此：

y3z?z?x??dx?xxndy?1?edx?3xy2z1?edy。

6.解：e=?n?0n!?1xx?(??,??),

??所以

e??n?0xn?1n!??

(n?1)xn!n?2??xd?e?所以?dx?x1?????n?2??n?1nxn?1(n?1)!,x?0。

令x=1，则：

???n?1xd?e?1????(n?1)!dx?x?n?x?1xex?ex2x?1x?1?1

四、应用题(每小题8分，共16分)

1.解：由题意，利润函数为

L(p)=pQ－100Q=－2p2+600p－40000,

求导数

dLdp =－4p+600,

5

令

dLdp=0，解得p=150,

2由于

dLdp2=－4<0,因此在p=150处L取得极大值。

代入利润函数得，极大值为L(150)=5000。

由于最大利润必存在且函数仅有一个极值，因此该极大值必为最大值。即选择牛仔裤的售价为150(元/条)时利润最大，利润为5000元。 2.解：曲线在(

12，1)处的法线斜率为：?32dxdyy?1??yy?1??1,

因此，法线方程为：y=－x+

92解得法线与曲线另一个交点为(由于

32?y?y2，－3)。

22?0,y?(?3,1)。

因此，D的面积为：

?1?32?3y?16?y?dx? 。 ??y??dx??3?2222?33y?1五、证明题(4分)

解：令 F(x)=xln(x+1?x2)－1?x2+1。 则 F′(x)=ln(x+1?x2)>0,(x>0)

所以，当x?0时，F(x)是严格递增函数 因此，当x>0时，F(x)>F(0)=0

即 xln(x+1?x2)>1?x2?1,(x>0)。

6

令

dLdp=0，解得p=150,

2由于

dLdp2=－4<0,因此在p=150处L取得极大值。

代入利润函数得，极大值为L(150)=5000。

由于最大利润必存在且函数仅有一个极值，因此该极大值必为最大值。即选择牛仔裤的售价为150(元/条)时利润最大，利润为5000元。 2.解：曲线在(

12，1)处的法线斜率为：?32dxdyy?1??yy?1??1,

因此，法线方程为：y=－x+

92解得法线与曲线另一个交点为(由于

32?y?y2，－3)。

22?0,y?(?3,1)。

因此，D的面积为：

?1?32?3y?16?y?dx? 。 ??y??dx??3?2222?33y?1五、证明题(4分)

解：令 F(x)=xln(x+1?x2)－1?x2+1。 则 F′(x)=ln(x+1?x2)>0,(x>0)

所以，当x?0时，F(x)是严格递增函数 因此，当x>0时，F(x)>F(0)=0

即 xln(x+1?x2)>1?x2?1,(x>0)。

6

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