2013届高考数学复习 最新3年高考2年模拟(8)概率与统计

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【3年高考2年模拟】第十章 概率与统计第一部分

三年高考荟萃 2012年高考数学(1)统计

一、选择题 1 .(2012山东理)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号

为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,

编号落入区间 1,450 的人做问卷A,编号落入区间 451,750 的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为 ( ) A.7 B.9 C.10 D.15 2 .(2012四川文)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,

对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为 ( ) A.101 B.808 C.1212 D.2012 3 .(2012陕西理)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统

计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为x甲,x乙,中位数分别为

m甲,m乙,则

A. x甲 x乙,m甲 m乙 B.x甲 x乙,m甲 m乙 C.x甲 x乙,m甲 m乙 D.x甲 x乙,m甲 m乙

4 .(2012陕西文)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所

示),则改样本的中位数、众数、极差分别是

( )

( )

A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 D.45,47,53 5 .(2012山东文)在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.

若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是 ( )

A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 6 .(2012江西文)小波一星期的总开支分布图如图1所示,一星期的食品开支如图2所示,

则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为

( ) A.30% B.10% C.3% D.不能确定 7 .(2012湖北文)容量为20的样本数据,分组后的频数如下表

组 频数

[10,20)

2

[20,30)

3

[30,40)

4

[40,50)

5

[50,60)

4

[60,70)

2

( )

则样本数据落在区间[10,40)的频率为 A.0.35

B.0.45

C.0.55

D.0.65

8 .(2012江西理)样本(x1,x2,xn)的平均数为x,样本(y1,y2,,yn)的平均数为y(x y).若样本

(x1,x2,xn,y1,y2,,yn)的平均数z ax (1 a)y,其中0<α<

1

,则n,m的大小关系为2

( ) A.n<m B.n>m C.n=m D.不能确定 9 .(2012安徽理)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶

5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则 ( ) A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 二、填空题 10 .(2012浙江文)某个年级有男生560人,女生420人,

用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为____________. 11 .(2012山东文)右图是根据部分城市某年6月份的平均气

温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.5),[23.5,24.5)

,

[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均

气温不低于25.5℃的城市个数为____.

12 .(2012湖南文)图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动

089

员在这五场比赛中得分的方差为_________.10

35

图2

(注:方差

s2

1222

,其中x为(x ) (x ) (x )12n n

x1,x2,,xn的平均数)[来

13 .(2012湖北文)一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现

用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有______人. 14.(2012广东文)(统计)由正整数组成的一组数据x1、x2、x3、x4,其平

均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为_________.(从小到大排列)

15.(2012福建文)一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.

按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是_______. 16 .(2012天津理)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分

层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査,应从小学中抽取_______所学校,中学中抽取_____所学校. 17 .(2012江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取____名学生. 三、解答题

18.(2012广东文)(统计)某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,

其中成绩分组区间是: 50,60 、 60,70 、 70,80 、

80,90 、 90,100 .

(Ⅰ)求图中a的值;

(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;

(Ⅲ)若这100名学生的语文成绩某些分数段的人

数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在 50,90 之外的人数

.

分数段

50,60

1:1

60,70

2:1

70,80

3:4

80,90

4:5

x:y

参考答案

一、选择题

1. 【解析】从960中用系统抽样抽取32人,则每30人抽取一人,因为第一组号码为9,则第

二组为

39,公差为

30.所以通项为an 9 30(n 1) 30n 21,由

451 30n 21 750,即1525 16 1 10人,选C

2. [答案]B

[解析]N=96 21

2221

,所以n 16,17, 25,共有 n 25

3030

969696

25 43 808 121212

[点评]解决分层抽样问题,关键是求出抽样比,此类问题难点要注意是否需要剔除个体.

3. 解析:直接根据茎叶图判断,选B

4. A解析:考查统计中“中位数、众数、极差”有关概念,中位数是指将统计总体当中的各

个变量值按大小顺序排列起来,形成一个数列,处于变量数列中间位置的变量值就称为中位数.当变量值的项数N为奇数时,处于中间位置的变量值即为中位数;当N为偶数时,中位数则为处于中间位置的2个变量值的平均数.众数是一组数据中出现次数最多的数值,叫众数,有时众数在一组数中有好几个.简单的说,就是一组数据中占比例最多的那个数.极差是指总体各单位的标志值中,最大标志值与最小标志值之差.中位数和众数不同,中位数不一定在这组数据中.而众数必定在该组数据. 5. 解析:设A样本数据的数据为xi,根据题意可知B样本数据的数据为xi 2,则依据统计知识可知A,B两样本中的众数、平均数和中位数都相差2,唯有方差相同,即标准差相同.答案应选D. 6. 【答案】C

【解析】本题是一个读图题,图形看懂结果很容易计算.鸡蛋开占食品开支

30

10%,小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分之化为

30 40 100 80 5030% 10% 3. %

7. B【解析】由频率分布表可知:样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9,样本总数为

2 3 4 5 4 2 20,故样本数据落在区间[10,40)内频率为

9

0.45.故选B. 20

【点评】本题考查频率分布表的应用,频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可,用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查.

8. A 【解析】本题考查统计中的平均数,作差法比较大小以及整体思想.

由统计学知识,可得x1 x2 xn nx,y1 y2 ym my,

x1 x2 xn y1 y2 ym m n z m n x 1 y .

m n x m n 1 y,

所以nx my m n x m n 1 y.

n m n ,所以

m m n1 .

故n m (m n)[ (1 )] (m n)(2 1). 因为0

1

,所以2 1 0.所以n m 0.即n m. 2

【点评】要牢固掌握统计学中一些基本特征:如平均数,中位数,方差,标准差等的求法. 体现考纲中要求会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.来年需要注意频率分布直方图中平均值,标准差等的求解等. 9. 【解析】选C x甲

11

(4 5 6 7 8) 6,x乙 (5 3 6 9) 6 55121222

甲的成绩的方差为(2 2 1 2) 2,乙的成绩的方差为(1 3 3 1) 2.4

55

二、填空题

10. 【答案】160

【命题意图】本题考查了随机抽样中的分层抽样,也是随机抽样中惯考的形式,利用总体重的个体数比,确定样本中某一个体的样本容量.

4

160. 7

11. 答案:9 解析:根据题意可知低于22.5℃的城市的频率为0.10 0.12 0.22,不低于

25.5℃的城市的频率为0.18,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为0.18

11 9. 0.22

【解析】总体中男生与女生的比例为4:3,样本中男生人数为280

另解:最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为11÷0.22=50,最右面矩形面积为0.18×1=0.18,50×0.18=9. 12. 【答案】6.8

【解析】

1

(8 9 10 13 15) 11, 5

122222

s2 (8 11) (9 11) (10 11) (13 11) (15 11) 6.8. 5

【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识,考查分析问题、解决问题的能力. 13. 6【解析】设抽取的女运动员的人数为a,则根据分层抽样的特性,有

a8

,解得a 6.4256

故抽取的女运动员为6人.

【点评】本题考查分层抽样的应用.本题实际是承接2012奥运会为题材,充分展示数学知识在生活中的应用.分层抽样时,各样本抽取的比例应该是一样的,即为抽样比. 来年需注意系统抽样的考查或分层抽样在解答题中作为渗透考查. 14.解析:1、1、3、3.由

x1 x2 x3 x4x x

2,23 2,可得x1 x4 x2 x3 4,因为x1、x2、

42

x3、x4都是正整数,所以只有1、3组合或2、2组合.若其中有一个是2、2组合,不妨设

x1 x4 2,则由

s

1可得 x2 2

2

x3 2 4,此时x2、x3无解,所以x1与x4,x2与x3都是1、3组合,因此这组

2

数据为1、1、3、3.

15. 【答案】12

【解析】

98 56

×28=12 98

【考点定位】此题考查分层抽样的概念和具体做法,明确分层抽样的本质是关键 16. 【答案】18,9

【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为250所,

所以应从小学中抽取

15075

30=18,中学中抽取 30=9. 250250

17. 【答案】15.

【考点】分层抽样.

【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样.将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性.因

此,由50 三、解答题

18.解析:(Ⅰ)由 2a 0.02 0.03 0.04 10 1,解得a 0.005.

(Ⅱ)0.05 55 0.4 65 0.3 75 0.2 85 0.05 95 73.

(Ⅲ)这100位学生语文成绩在 50,60 、 60,70 、 70,80 、 80,90 的分别有5人、40人、30人、20人,按照表中所给比例,数学成绩在 50,60 、 60,70 、 70,80 、 80,90 的分别有5人、20人、40人、25人,共90人,所以数学成绩在 50,90 之外的人数有10人.

2012年高考数学(2)概率

一、选择题

1 .(2012辽宁文)在长为12cm的线段AB上任取一点

别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm的概率为 A.

( )

2

3

=15知应从高二年级抽取15名学生.

3 3 4

C. 现作一矩形,邻边长分

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

45

2 .(2012安徽文)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个

黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 A.

( ) D.

1 5

B.

2 5

C.

3 54 5

23.(2012北京文理)设不等式组

0 x 2

表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,

0 y 2

则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.

4

B.

2

2

C.

6

D.

4

4

4 .(2012辽宁理)在长为12cm的线段AB上任取一点

2

等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm的概率为

A.

C.现作一矩形,领边长分别( ) D.

1 6

B.

1 3

C.

2 34 5

5 .(2012湖北理)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在

扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( ) A.1 C.

2

π

11 2π1 π

B.D.

2 π

二、填空题 6 .(2012浙江文)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机

(等可能)取两点,则该两点间的距离

的概率是___________. 7 .(2012江苏)现有10个数,它们能构成一个以1为首项, 3为公比的等比数列,若从这10

个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____. 三、解答题

19.(2012辽宁文)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机

抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图

;

将日均收看该体育节目时间不低于40

分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有

10名女性.

(Ⅰ)根据已知条件完成下面的2 2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关?

(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性,若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.

20.(2012北京文)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可

回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为

a,b,c,其中a 0,a b c 600.当数据a,b,c的方差S2最大时,写出a,b,c的值(结

论不要求证明),并求此时S的值.

2

1

(注:方差s2 [(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2],其中x为x1,x2, xn的平均数)

n

参考答案

一、选择题 1. 【答案】C

【解析】设线段AC的长为xcm,则线段CB的长为(12 x)cm,那么矩形的面积为

x(12 x)cm2,

由x(12 x) 20,解得2 x 10.又0 x 12,所以该矩形面积小于32cm的概率为

2

2,3

故选C

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题.

2. 【解析】选B 1个红球,2个白球和3个黑球记为a1,b1,b2,c1,c2,c3

从袋中任取两球共有

a1,b1;a1,b2;a1,c1;a1,c2;a1,c3;b1,b2;b1,c1;b1,c2;b1,c3b2,c1;b2,c2;b2,c3;c1,c2;c1,c3;c2,c3

15种;

满足两球颜色为一白一黑有6种,概率等于3. 【答案】D

62 155

0 x 2

【解析】题目中 表示的区域表示正方形区域,而动点D可以存在的位置为正方

0 y 2

1

2 2 22

4 形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此p ,故选D

2 24

【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公

式、概率. 4、 【答案】C

【解析】设线段AC的长为xcm,则线段CB的长为(12 x)cm,那么矩形的面积为

x(12 x)cm2,

由x(12 x) 32,解得x 4或x 8.又0 x 12,所以该矩形面积小于32cm的概率为

2

2

,故选C 3

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题.

5、 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.

解析:令OA 1,扇形OAB为对称图形,ACBD围成面积为S1,围成OC为S2,作对称轴OD,则过C点.S2即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC

的面

1 1 111 2S

积,S2 .在扇形OAD中1为扇形面积减去三角形OAC面

2 2 22282

积和

2

S2S11 211S 22,,S1 S2 ,扇形OAB面积S ,选A. 1 2 228448216

二、填空题 6. 【答案】

2 5

,【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题. 【解析】基本事件的总数为:5个点中任取2个共有10种可能,

则为对角线一半,选择点必含中心,4个顶点中任取一个点,共有4种可能,概率为.P=

42

= 105

7、【答案】

3

. 5

【考点】等比数列,概率. 【解析】∵以1为首项, 3为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,

63

∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是=.

105

三、解答题

19. 【答案与解析】 【解析】(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2 2列

将2 3分

n1+n2+n+1n+275 25 45 55

因为3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. 6分

(Ⅱ)由频率分布直方图知,“超级体育迷”为5人,从而一切可能的结果所组成的基本事件空

间为

2=

n n11n22-n12n21

2

=

100 30 10-45 15

2

=

100

3.030 33

={{a1,a2},{a1,a3},{a1,b1},{a1,b2},{a2,a3},{a2,b1},{a2,b2},{a3,

b1},{a3,b2},{b1,b2}}.

其中ai表示男性,i=1,2,3,bj表示女性,j=1,2.

由10个基本事件组成,而且这些基本事件出现是等可能的,

用A表示“任选3人中,至少有2人是女性”这一事件,则

A={{a1,b1},{a1,b2},{a2,b1},{a2,b2},{a3,b1},{a3,b2},{b1,b2}}, 事件A由7个基本事件组成,∴P(A)

7. 10

【点评】准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。求概率时列举基本事件一定要做到不重不漏,此处极容易出错。

20. 【考点定位】此题的难度集中在第三问,基他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要

求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻. (1)厨余垃圾投放正确的概率约为

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量4002

==

厨余垃圾总量400+100+1003

(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A表示生活垃圾投放正确.

事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(A),约为所以P(A)约为1-0.7=0,3.

(3)当a 600,b c 0时,S取得最大值.因为x

2

400+240+60

=0.7.

1000

1

(a b c) 200, 3

所以S2 [(600 200) (0 200) (0 200)] 8000.

2011年高考题统计(一)

一、选择题 1.(四川理1)有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:

[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是

13

222

A

C

D

【答案】B

【解析】从31.5到43.5共有22

2.(陕西理9)设(

x1

y1

),(

x2

y2

), ,(

xn

yn

)是变量x和y的n个样本点,

直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以 下结论中正确的是

A.x和y的相关系数为直线l的斜率 B.x和y的相关系数在0到1之间

C.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D.直线l

【答案】D

3.

根据上表可得回归方程y bx a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元 【答案】B

4.(江西理6)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),1表示变量Y与X之间的线性相关系数,则 A.

r

r2

表示变量V与U之间的线性相关系数,

r2 r1 0

B.

0 r2 r1

C.

r2 0 r1

D.

r2 r1

【答案】C

参照附表,得到的正确结论是

A.再犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.再犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】C 二、填空题

6.(天津理9)一支田径队有男运动员48人,女运动员36人,若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本,则抽取男运动员的人数为___________ 【答案】12

7.(辽宁理14)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归

直线方程:y 0.254x 0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出

平均增加____________万元. 【答案】0.254

8.(江苏6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6,则该组数据的方

2s ___ 差

【答案】3.2

9.(广东理13)某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm. 【答案】185 三、解答题

10.(北京理17)

以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示。

(Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;

(Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。

x1,x2, xn的(注:

平均数)

解(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

方差为

(Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树

8棵”所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)

EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)

=19

11.(辽宁理19)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.

(I)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望;

(II)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?

附:样本数据x1,x2, ,xn样本平均数.

解:

(I)X可能的取值为0,1,2,3,4,且

即X的分布列为

4分 X的数学期望为

6分

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

10分

由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.

2011年高考题 (二)概率 一、选择题

1.(浙江理9)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机的

并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率

A

C

【答案】B

2.(四川理1)有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:

[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是

A

C

D

【答案】B

【解析】从31.5到43.5共有22

3.(陕西理10)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是

A

B

C

D

【答案】D

4.(全国新课标理4)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

(A)

(B)

(C

(D

【答案】A

5.(辽宁理5)从1,2,3,4,5中任取2各不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B︱A)=

(A

(B

(C

(D

【答案】B

N 2,a 6.(湖北理5)已知随机变量 服从正态分布,且P( <4)=0.8,则P(0<

2

<2)=

A.0.6 B.0.4 【答案】C

7.(湖北理7)如图,用K、

C.0.3 D.0.2

A1

A2

三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作且

A1

A2

至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、1、

A

A2

正常工作的概率依次为0.9、0.8、

0.8,则系统正常工作的概率为

A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 【答案】B

8.(广东理6)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为

A

B

C

D

【答案】D

9.(福建理4)如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于

A

B

C

D

【答案】C 二、填空题

10.(湖北理12)在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 。(结果用最简分数表示)

11.(福建理13)盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个。 若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。

12.(浙江理15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假

p,且三个公司是否让

其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若

X的数学期望E(X)

13.(湖南理15)如图4,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”, B表示事 件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则

(1)P(A)= _____________; (2)P(B|A)= .

【答案】(1

14.(上海理9)马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布律如下表 请小牛同学计算 的数学期望,尽管“!”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“?”处的数值相同。据此,小牛给出了正确答案

E 。

【答案】2 12x3

15.(重庆理13

)将一枚均匀的硬币投掷!??P(ε=x)

__________

16.(上海理12)随机抽取9个同学中,至少有2个同学在同一月出生的概率是 (默认每月天数相同,结果精确到0.001)。 【答案】0.985

17.(江西理12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若

则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为

18.(江苏5)5.从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为______

三、解答题

19.(湖南理18)某商店试销某种商品20天,获得如下数据:

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当

天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率。

(Ⅰ)求当天商品不进货的概率;

(Ⅱ)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期型。

解(I)P(“当天商品不进货”) P(“当天商品销售量为0件”) P(“当天商品销售量

为1件”

(Ⅱ)由题意知,X的可能取值为2,3.

P(X 2) P(“当天商品销售量为1件”

P(X 3) P(“当天商品销售量为0件”) P(“当天商品销售量为2件”) P(“当

天商品销售量为3件”

故X的分布列为

X20.(安徽理20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进

去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别

p ,p ,p

,假设

p ,p ,p

互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

(Ⅰ)如果按甲最先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?

(Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为是

q ,q ,q

,其中

q ,q ,q

p ,p ,p

的一个排列,求所需派出人员数目X的分布列和均值(数字期望)EX;

,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目

(Ⅲ)假定

p p p

的均值(数字期望)达到最小。

解:本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识,考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理,分类读者论论

思想,应用意识与创新意识. 解:(I)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是

(1 p1)(1 p2)(1 p3)

并等于

,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,

1 (1 p1)(1 p2)(1 p3) p1 p2 p3 p1p2 p2p3 p3p1 p1p2p3.

q1,q2,q3

(II)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为为

时,随机变量X的分布列 所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是

EX q1 2(1 q1)q2 3(1 q1)(1 q2) 3 2q1 q2 q1q2. EX 3 2p1 p2 p1p2.

根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明:对于

(III)(方法一)由(II)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,

p1,p2,p3

的任意排列

q1,q2,q3

,都有

3 2q1 q2 q1q2 3 2p1 p2 p1p2, (*)

事实上, (3 2q1 q2 q1q2) (3 2p1 p2 p1p2)

2(p1 q1) (p2 q2) p1p2 q1q2

2(p1 q1) (p2 q2) (p1 q1)p2 q1(p2 q2) (2 p2)(p1 q1) (1 q1)((p2 q2) (1 q1)[(p1 p2) (q1 q2)]

0.

即(*)成立.

(方法二)(i)可将(II)中所求的EX改写为3 (q1 q2) q1q2 q1,若交换前两人的派出顺序,则变为3 (q1 q2) q1q2 q1,.由此可见,当q2 q1时,交换前两人的派出顺序可减小均值.

(ii)也可将(II)中所求的EX改写为3 2q1 q2 q1q2,或交换后两人的派出顺序,则变为

3 2q1 q3 q1q3

.由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当

q3 q2

时,交换后两

人的派出顺序也可减小均值.

序综合(i)(ii)可知,当

(q1,q2,q3) (p1,p2,p3)

时,EX达到最小. 即完成任务概率

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/ubk1.html

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