《数学建模》课程设计

淮 阴 工 学 院

《数学建模》课程设计

班 级： 计科1091 姓 名： 刘红斌 学 号： 1094101109 选 题： A 组 第 09 题 教 师： 王小才 胡 平 姜红燕

教 师 王小才 胡 平 姜红燕 答辩分 总 分

得 分 数 数 理 院

2011年12月

一年生植物的繁殖

摘要

本文研究生植物的繁殖问题，根据生植物的繁殖规律建立了一个多年后该植物繁殖数量变化情况的三阶线性常系数差分方程模型。实验利用MATLAB数学软件采用一维搜索的方法，最终确定了1岁种子，2岁种子和3岁种子的比例b的取值范围，得到了当b?0.139时该植物就能一直繁殖下去，而当b?0.139时就不能繁殖的结果。此模型能够很好地解决类似此类预计某项事物发展规律的问题，具有较强的规律性。

关键词：MATLAB，三阶差分方程，一维搜索

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一 、问题重述

1.1背景资料与条件

一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，不考虑腐烂，被人为掠取。这些种子如果可以活过冬天，其中一部分能在第二年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过三个冬天。现在在一片空地上种上x0?500颗某种该植

物。记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b, 活过两个冬天没有发芽又活过一个冬天的（3岁种子）比例仍也为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2，3岁种子发芽率a3，

c?10,a1?0.7,a2?0.4,a3?0.2为固定值，b是变量。

1.2需要解决的问题

试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。

二、问题的假设

1. 不考虑恶劣的气候环境影响种子春季的种量； 2. 不考虑食物链对该植物的影响； 3. 不存在自然灾害的破坏；

4. 不考虑外部作用使该植物发生突变或变异。

三、符号的说明

xk：第k年植物数量

c：一棵植物春季产种的平均数 a0：空地上初始的植物数量 a1：1岁种子发芽率 a2：2岁种子发芽率 a3：3岁种子发芽率

b：1岁种子，2岁种子和3岁种子的比例

四、问题分析

根据所给条件，能够将k年之后植物的数量表示出来，但是1岁种子，2岁种子和3岁种子的比例b不能确定，所以本题是在其他条件都确定的情况下，比较在b的不同取值下，植物数量的变化规律。

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记第k年植物数量为xk，显然xk与xk?1,xk?2,xk?3有关，由xk?1决定的部分是xk?1cba1，由xk?2决定的部分是xk?2cb(1?a1)ba2；由xk?3决定的部分是xk?3cb(1?a1)(1?a2)ba3。

记：p?cba1 q?cb(1?a1)ba2 m?cb 3a(1?1a)(1?2a)b实际上，就是xk?pxk?1?qxk?2?mxk?3 ,我们需要知道x0,a1,a2,a3,c, 考察b不同时，种子繁殖的情况，而c?10,a1?0.7,a2?0.4,a3?0.2,x0?500，下面就可以利用matlab软件求解了。

五、模型建立

本题目提供了该植物初始数量x0，活过1个冬天的种子的比例b，一棵植物春季产种的平均数c以及1岁种子的发芽率，因此不难求出1年后该植物的数量x1?abcx10,2年后该植物的数量x2?abcx1?a1)bcx0，以此类推。但是种子最多可以活3个冬天，11?a2b(所以k年后的植物总数xk?abcx所以建立模型为： 1k?1?a2b(1?a1)bcxk?2?a3b(1?a2)bcxk?3，

?x0?500?x?abcx110?? ?x2?a1bcx1?a2b(1?a1)bcx0?????xk?a1bcxk?1?a2b(1?a1)bcxk?2?a3b(1?a2)bcxk?3

六、模型的求解

针对这个问题，我们利用MATLAB数学软件求解该植物在未来20年的数量变化，并从中找出其变化规律。

为了获得比例b的合适范围，我利用MATLAB数学软件采用一维搜索的方法，以步长为0.001确定了b。为了获得理想的答案数据及可观美观的关系图像，发现当b选择0.13?0.15时，MATLAB所得到的图像更能清晰地反映出该植物的数量变化规律及繁殖条件，更显示了在不同的b的作用下，数量变化趋势的不同，这样易于理解与分析（程序见附录一）。

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植物数量变化规律图（b分别取0.13、0.14和0.15）：

一年生植物的繁殖25002000一年生植物数量1500b=0.151000500b=0.14b=0.1300246810时间1214161820

图（1）植物数量变化规律图

由运行的结果（见附录二）及植物数量变化规律图得： 当b?0.13时，20年里该植物数量从500下降到135； 当b?0.14时，20年里该植物数量从500增加到591； 当b?0.15时，20年里该植物数量从500增加到2329，

并且，运行结果中b?0.1390，因此，该植物的变化规律可以总结为： 当b?0.1390时，该植物的总数量会不断地增加； 当b?0.1390时，该植物的总数量会保持不变； 当b?0.1390时，该植物的总数量会不断减少。

七、模型的评价与推广

7.1模型的评价

1． 本文所建立的模型成功地找到了该一年生植物在未来20里的数量变化规律以及找到了能使之繁殖下去的条件； 2． 在模型的建立与求解过程中，文中利用图表结合，使文章所要表达的思想简洁明了，更形象、直观；

3． 在模型中，可以很明确地发现xk与xk?1,xk?2,xk?3的关系，通过模型将复杂的高阶线性常系数差分方程问题简单化，更易于理解；

4． 在模型的求解过程中，利用MATLAB数学软件来求解，所得结果清晰明了，大大减少了计算量；

5． 该模型不足之处就是单纯地找出了该植物20年内数量变化规律及繁殖条件，20年以后是否会发生变化没能进行检验。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ubix.html