2009年高考全国课标百所名校数学压轴题精选（含答案及解析）

2009年高考全国百所名校数学压轴题精选

AAA. 【青岛市2009年高三教学统一质量检测（理）22．】（本小题

满分14分）已知等比数列?an?的前n项和为Sn?2?3n?k(k?R,n?N?) （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设数列?bn?满足an?4(5?k)anbn，试比较3?16Tn Tn为数列?bn? 的前n项和，与 4(n?1)bn?1的大小，并证明你的结论．

【解析】：（Ⅰ）由Sn?2?3n?k(k?R,n?N?)得:n?2时，

an?Sn?Sn?1?4?3n?1………………………2分

??an?是等比数列，?a1?S1?6?k?4?k??2，得 an?4?3n?1(n?N?)……4分

（Ⅱ）由an?4(5?k)anbn和an?4?3n?1得bn?n?1……………………6分 n?14?3?Tn?b1?b2?b3??bn?1?bn?12n?2n?1??????(1)4?34?324?3n?24?3n?1

123n?2n?13Tn??????????(2)44?34?324?3n?34?3n?211111n?1??????? 2n?3n?2n?144?34?34?34?34?311111n?132n?1?Tn??????????……10分

88?38?328?3n?38?3n?28?3n?11616?3n?1n(n?1)2n?1n(n?1)?3(2n?1)4(n?1)bn?1?(3?16Tn)??n?1?

3n33n?(2)?(1):2Tn??n(n?1)?3(2n?1)?n2?5n?3………………………11分

?当n?5?375?37或n??0时有n(n?1)?3(2n?1)，所以当n?5(n?N?)时有223?16Tn?4(n?1)bn?1

5?375?37?n??1)?3(n2?，所以当22那么同理可得：当时有n(n 1

?1?n?5(n?N)时有3?16Tn?4(n?1)bn?1………………………13分 ?6n?(n?N)时有3?1Tn?5综上：当

?4n?(bn1?1)；当1?n?5(n?N)时有

3?1T6n?

4n?(bn1?1)………………………14分

x2y2C1:2?2?1(a?b?0)ab.【皖东十校09届第一次联考试卷数学（理）22】已知椭圆的离

3C心率为3，直线l:y?x?2与以原点为圆心、以椭圆1的短半轴长为半径的圆相切.

（I）求椭圆

C1的方程；

C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直

PF2垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

（II）设椭圆

线2垂直1于点P，线段

ll????????????QSCC （III）设2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在2上，且满足QR?RS?0,求的

取值范围.

3c2a2?b21222e?,?e?2??,?2a?3b3ac23【解析】：（Ⅰ）∵

∵直线l:x?y?2?0与圆x?y?b相切，

2222∴2?b,?b?2,b2?2 ∴a?3 …………3分

2 2

x2y2??12∵椭圆C1的方程是 3 ………………6分

（Ⅱ）∵MP=MF2，

∴动点M到定直线l1:x??1的距离等于它到定点F1（1，0）的距离， ∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ………………6分

2y?4x …………9分 ∴点M的轨迹C2的方程为

2y12y2R(,y1),S(,y2)44（Ⅲ）Q（0，0），设 2y12y2?y12QR?(,y1),RS?(,y2?y1)44∴

∵QR?RS?0

2y12(y2?y12)?y1(y2?y1)?016∴

∵y1?y2,y1?0，化简得

y2??(y1?∴

2y2?y12?16)y1 ………………11分

∴

256?32?2256?32?64y12

y12?当且仅当

2562,y1?16,y1??42y1时等号成立 …………13分

2y21222|QS|?()2?y2?(y2?8)2?64，又?y2?6444∵

|QS|min?85，故|QS|的取值范围是[85,??)……14分 ∴当y2?64,y2??8时，2 3

2.【江苏省姜堰中学高三数学阶段调研试卷】（本小题满分16分）函数

f(x)?aex,g(x)?lnx?lna,其中a为常数，且函数y?f(x)和y?g(x)的图像在其与

坐标轴的交点处的切线互相平行 （1）、求函数y?g(x)的解析式

x?m?xg(x)（2）、若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围。

f/(x)?aex,g/(x)?【解析】：（1）

1x ------2

y?f(x)的图像与坐标轴的交点为(0,a)，y?g(x)的图像与坐标轴的交点为(a,0)

由题意得f(0)?g(a),即

//a?1a， ------3

又?a?0?a?1

?g(x)?lnx ------4

（2）由题意g(x)?0?x?0,x?1

x?m?x?m?x?xlnxx?(1,??)当时，lnx-------6

令?(x)?x?xlnx

4

??/(x)?2x?lnx?22x ------7

2,?h/(x)?11令h(x)?2x?lnx?x(1?x) ------9

当x?(1,??)时，

h/(x)?0?h(x)单调递增。

?h(x)?h(1)?0 ------10

由m?x?xlnx在x?(1,??)上恒成立， 得m??(1)?1 ------12

x?m?x?m?x?当x?(0,1)xlnx时，lnx ------13

?/(x)?h(x)可得

2x?0

??(x)单调递增。------14

由m?x?xlnx??(x)在x?(0,1)上恒成立，得m??(1)?1综上，可知m?1 ------16

5

------15

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