八年级数学全等三角形新课讲义完整版（全8讲）

八年级数学全等三角形新课讲义

全面完整版

（全八讲）

目录 第一讲 全等三角形概念及其性质 第二讲 全等三角形的判定（SSS） 第三讲 全等三角形的判定（SAS） 第四讲 全等三角形的判定（ASA、AAS） 第五讲 全等三角形的判定（HL） 第六讲 全等三角形的判定综合 第七讲 角平分线的性质 第八讲 全等三角形复习测试

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第一讲 全等三角形概念及其性质

（一） 知识要点

1、 全等三角形的有关概念

1）能够完全重合的两个图形叫做 形。

2）能够完全重合的两个三角形叫做全等 形。

把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫

做对应角。

A D 3）全等三角形表示方法：

“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，

如△ABC≌△DEF。

B C E F

4）对应元素：

①对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点 ②对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边 ③对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角

当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，△ABC和△DEF全等，是，记作△ABC≌△DEF。其中，。

2、常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。 （1）平移型：

如下左图，若△ABC≌△DEF，则BC=EF。将△DEF向左平移得到下右图，则仍有BC=EF，在右图中，若知BC=EF，则可推出BE=CF。

A

D

A

D

B C E F B E C F

（2）旋转型：

如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点A，有公共部分∠1；图2的旋转中心为点O，有一对对顶角∠1=∠2。 D A C

A C A E D

O A B 1 1 2

D B E C B D B C

（1） （2） （1） （2）

（3）翻折型：

如右图，两个三角形的全等属于翻折型，其中图中有公共边AB 3、 全等三角形的性质

1） 全等三角形的对应边相等； 2） 全等三角形的对应角相等。 3） 知识延伸：

如果两个三角形全等，则三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。

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4、规律方法小结：

在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角； （4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。

（二） 典型例题

例1：若把△ABC绕A点顺时针旋转一定的角度，就得到△ADE，请写出图中所有的对应边和对应角。 B D

E

C A

例2：如图，已知△ABD≌△ACE。试说明BE=CD，∠DCO=∠EBO。

D E

O

C B

A 例3：如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD和BC的位置关系，并加以说明。

A F

D

B

E C

例4：如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ）

A、150 B、200 C、250 D、300

例5：如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折1800形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则求∠α的度数。

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例6：如图所示，△ABC≌△ADE，∠B和∠D对应，∠C和∠E对应，且∠B=25°，∠E=105°，∠DAC=15°，则∠EAC等于多少度？

例7：如图，已知△ABC≌△DBE，AB⊥CD，DE的延长线交AC于点F，那么DF⊥AC吗？说明理由．

例8：如图，已知△ABE≌△ACD．且AB =AC，求证： (1) ∠BAD= ∠CAE; (2)BD= CE.

例9.如图，已知?ABC??AED，AE?AB，AD?AC ，?D??E?20 ，?BAC?60.求?C的度数.

A??DBCE

（三） 反馈练习

1．如图，△ABC≌△DCB，若∠l与∠2是一组对 应角，则其他的对应角有 ， ，对应边有 ， ， 。

2．如图，△AB≌C△A′B′C′，且点B，B′，C，C′在同一直线上，则BB′=____；若∠A=80o，则∠A′= o，∠B′DC= o。

（题1） （题2） （题3） （题4）

3．如图，把△ABC沿直线BC翻折180o，得到△DBC，则△ABC与△DBC的关系是 。 4．如图，把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△AED，那么△ABC △AED，其中对应边有 ， ， ，对应角有 ， ， 。

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5．（南通）已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70o，∠C =25o，则∠AEB= 。

（题5） （题6） （题7） （题9）

6．如图，△ABD≌△ACD，AB=AC，则∠BAD=∠ ，BD= ，∠ADB= 度

7．如图，若△AB C≌△EDC，且∠B=58o，CD=2cm，点B，C，E在同一直线上，则∠E= ，BC= cm. 8．若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32cm，DE= 9cm,EF= 12cm，则AB= cm,BC= ___cm，AC= cm. 9．如图，直角△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，则下列结论中错误的是( ) A.△ABC≌△DEF B.∠DEF= 90o C．AC =DF D．EC= CF

10.下列说法，(1)形状相同的两个三角形是全等三角形；(2)面积相等的两个三角形是全等三角形；(3)全等三角形的周长相等，面积相等；(4)若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，AB =EF.其中正确的个数有( ) A.l个 B.2个 C．3个 D．4个

11．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则下列结论：①AC=AF;②∠FAB=∠EAB；③EF =BC;④∠EAB=∠FAC.其中正确结论的个数是( ) A.l个 B.2个 C.3个 D.4个

12.如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的 点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则 ∠C的度数 为( )

A．15o B．20o C．25o D．30o

（题11） （题12） （题13） （题14） （题15） （题16） 13．如图，△ABC≌△CDA，下列各组边中，不是对应边的是( ) A．AB与DC B.AC与CA C.AD与CB D.AD与DC

14.如图，△ABC≌△ADE，点B的对应点是点D．若∠BAD= 100o，∠CAE= 40o，求∠BAE的度数．

15、如图所示，△ABC≌△AEC，B和E是对应顶点，∠B=30°，∠ACB=85°，求△AEC各内角的度数． 16、如图，已知?ABC≌?EBD，求证：?1??2

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第二讲 全等三角形的判定（SSS）

（一） 知识要点

1、三角形全等的判定方法一：SSS

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 书写格式：

在△ABC和△A’B’C’中，

A

A’

?AB?A'B'?∵?AC?A'C' ?BC?B'C'?∴△ABC≌△A’B’C’（SSS） 规律方法小结：

B C B’ C’

（1）有的题目可以直接从图中找到全等的条件，而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中，我们一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件。

（2）数形结合思想：将“数”与“形”结合起来进行分析、研究，这是解决问题的一种思想方法。 （二） 典型例题

例1.在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线. 求证：△ABD≌△ACD

例2．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF， 求证：△ABC≌△DEF．

例3.如图，点A，B，C，D在同一直线上，且AD =BC， AE =BF，CE= DF.求证:DF//CE.

、

例4.如图，已知△ABE≌△ACD，求证：∠l=∠2.

D B

F C

E A

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例5.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，且AC=BD，AM= CN，BM= DN.求证：AM∥CN，BM∥DN．

例6. 已知：如图，四边形ABCD中，AB = CB，AD= CD，求证：∠A=∠C．

例7．如图所示，AB=AE．BC= ED，CF=FD．AC=AD，求证：∠BAF= ∠EAF.

（三）练习：

1．如图，若AB =AC，BD= CD，∠B =62o，则∠BAC= 度．

2．如图，已知AB= CD，AD= CB，还有条件 ，可判定△ABC≌△CDA，其依据是 ．

（题1） （题2） （题3）

3．如图，在△ABD和△ACE中，已知AB =AC，BD = CE，AD =AE，若∠l= 20o，则∠2= ．

4．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点0，且AO= BO，CO =DO，AD= BC，则图中全等三角形有 对． 5．如图，已知AB=BC．AD=CD，∠ABC=80o，∠ADC= 50o，则∠A= o，∠C= o．

（题4） （题5） （题6）

6．如图，已知AB =AC，点D为BC的中点，下列结论：(1)△ABD≌△ACD；(2) ∠B=∠C;(3)AD 平分∠BAC; (4) AD⊥BC.其中正确的个数是( ) A．1个 B．2个 C.3个 D.4个

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7．下列说法：(1)周长相等的两个等边三角形全等；(2)有三个角对应相等的两个三角形全等；(3)有三边对应相等的两个三角形全等；(4)有底和腰对应相等的两个等腰三角形全等．其中正确说法的个数是( ) A.4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．下列命题中正确的是( )

A．有两条边对应相等的两个三角形全等 B．两个等边三角形全等

C．两个等腰直角三角形全等 D．三边对应相等的两个三角形的对应角也相等， 9．如图，已知AB= AC，BD= CD．求证：∠l=∠2.

10.如图，在△ABC中，AB =AC，点D、E分别是BC的三等分点，且AD=AE.求证：△ABD≌△ACE.

11. 如图，在△ABC和△DCB中，AC和BD相交于点O，AB=DC，AC=BD， 求证：OB=OC

12.如图，E、C两点在线段BF上，BE=CF，AB=DE， AC=DF，求证：△ABC≌△DEF

13.如图16，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M. (1)求证：△ABC≌△DCB；

(2)过点C作CN∥BD，过点B作BN //AC，CN与BN交于点N，试判断线段∠NBC和∠NCB数量关系．并证

明你的结论．

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14.已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD. ⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA； ⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.

第三讲 全等三角形的判定（SAS）

（一）知识要点

1、三角形全等的判定方法二：SAS

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 书写格式：

在△ABC和△A’B’C’中，

A

A’

?AB?A'B'?∵??A??A' ?AC?A'C'?∴△ABC≌△A’B’C’（SAS）

B C B’ C’

知识延伸：“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角。 例1.如图所示，直线AD、BE相交于点C，AC=DC，BC=EC. 求证：AB=DE

例2：如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD=AE，AB=AC。求证：△ABD≌△ACE

E A B

D C 规律·方法：证明三角形全等时，一般需要三个条件，如果已知两对边，就试着去找第三对边或这两对边的夹角，利用“SSS”或“SAS”来证明两个三角形全等；

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