2.3.1平面向量基本定理

平面向量基本定理

2014年9月18日星期四

一、课前准备： 复习1: 共线向量定理: (思考：为什么限定 a 0 向量a (a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.

?)

(若a 0,当b 0时， 不唯一；当b 0时， 不存在) 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能否作出向量2e1 3e2 ?向 量 的 合 成

d 2e1 3e 2

e2 e1

d

2014年9月18日星期四

如: 已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个

不共线向量，a 是这一平面内的任一向量. 探究： a 与 e1 , e2 , 的关系

e1

想 一 想 ？

ae2

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学生活动：

OC OM ON 1OA 2 OB即

a 1 e1 2 e2Me1A

e1

a

C

e2

向 量 的 分 解

O

N

e2

B

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知识点一

平面向量基本定理a,

1. 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量，

那么对于这一平面的任意向量

有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在 性把不共线的向量 基底

a 1 e1 2 e2

一叫做表示这一平面内所有向量的一组

ee1

性

2

2.平面向量基本定理的几点说明 ⑴ 若 a 0, 则有且只有 1 2 0,若

使a 1e1 2 e2使a 1e1 2 e2

a

与 e1 (e2 ) 共线，则 2 0( 1 0),

(2)定理的代数表达形式：若 则

1

(3)

设

a且 =b 2 e e , 是平面内的一组基底，当 e e 0 1 1 2 21 2

e e ,不共线， 1e1 2e 2 ae1 be 21 2

恒有 1 2 0,

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思考1 平面内用来表示一个向量的基底有 多少组? (有无数组)B

M

B

M

ae1

aA

xO

O

e2

y

A

思考2、若基底选取不同, 则表示同一向量M B M

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的实数 1, 2是否相同? 可以相同,也可以不同B

ae1

xA

a

O e2

m O

y n

A

a 3e1 2e2

3 a x 4y 2

a 3m 2n

知识小结：(1).基底的选择是不唯一的； (2).同一向量在选定基底后， 1, 2 是唯一存在的 可能相同也可能不同

1, 2 (3).同一向量在选择不同基底时，

例1.如图梯形ABCD中，AB / /CD,AB 2CD, E、F是DC,BA中点， AD a, AB b , 试以a , b 为基底表示 DC , BC , EFDa

E

C

A

F b

B

知识点二、向量的夹角与垂直: 两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ,OB b ,则 AOB 叫做向量特别的： O

B

b

a和 bA

O A a 注意:两向量必须 的夹角. 是同起点的aB Ab

a

0

b B

B b

180

O

O

a

a 与 b 同向

夹角的范围：00 ,1800

a 与 b 反向

90

A

记作 a b a 与 b 垂直，

例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。 C

C

'

120A

0

60

B

本节小结

再

见

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