概率论第一章习题答案

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习题一

（A） 1. 写出下列事件的样本空间：

(1)把一枚硬币连续抛掷两次； (2)掷两颗骰子；

(3)连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； (4)在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数； (5)某城市一天内的用电量．

解 (1)?1?{(H,H),(H,T),(T,T)}，其中H表示正面，T表示反面． (2)

?2?{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

(3)?3?{(H),(T,H),(T,T,H),(T,T,T,H),?}

 (4)?4?{0,1,2,?}  (5)?5?{t,t?0}

2.A,B,C为三个事件，试将下列事件用A,B,C表示出来： (1)仅A发生；(2)均发生；(3)均不发生； (4)A发生而B,C至少有一个不发生； (5)A不发生而B,C至少有一个发生；

(6)不全发生；(7)最多有2个发生；(8)至少有2个发生； (9)最多有一个发生；(10)恰有2个发生．

解 (1)ABC；(2)ABC；(3)ABC或A?B?C；(4)ABC；  (5)(B?C)?A；(6)ABC或A?B?C；

(7)ABC或A?B?C；

 (8)AB?BC?AC；(9)ABC?ABC?ABC?ABC；  (10)ABC?ABC?ABC；

3．掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A?＂偶数点＂，B?＂奇数点＂，C?＂点数小于5＂，D?＂小于5的偶数点＂，讨论上述各事件间的关系．

解 ??{1,2,3,4,5,6}，A?{2,4,6}，B?{1,3,5}，C?{1,2,3,4}，

D?{2,4}．

A与B为对立事件，即B?A；B与D互不相容；A?D,C?D．

４．事件Ai表示某个生产单位第i车间完成生产任务，i?1,2,3，B表示至少有两个车间完成生产任务，C表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B及B?C的含义，并且用Ai(i?1,2,3)表示出来．

解 B表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务．

B?A1A2?A1A3?A2A3

B?C?A1A2A3表示三个车间均完成生产任务．

５．抛两枚硬币，求至少出现一个正面的概率．

解设事件A表示＂两枚硬币中至少出现一个正面＂．若用＂H＂表示正

面，＂T＂表示反面，其出现是等可能的．则样本空间含有四个等可能样本点：??{TT,TH,HT,HH}，由于事件A含有其中3个样本点．故

P(A)?34．

６．抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率．解设事件A表示＂三次中既有正面又有反面出现＂，则A表示＂三次均为正面或三次均为反面出现＂，其所包含的样本点数为2．而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，故样本空间的样本点总数为8，因此

P(A)?1?P(A)?1?28?34．

７．掷两颗骰子，求下列事件的概率：  (1)点数之和为7；  (2)点数之和不超过5；

 (3)两个点数中一个恰是另一个的两倍．解

??{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}A?＂点数之和为7＂?{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}， B?＂点数之和不超过5＂

?{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}，

C?＂两个点数中一个恰是另一个的两倍＂

?{(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3)}．

所以

(1)P(A)?16； (2)P(B)?518； (3)P(C)?16．

８．10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概

率．

解设事件A表示＂门锁能被打开＂．则事件A发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁．

P(A)?1?P(A)?1?C72C102?815．

９．袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率及两个球中有黑球的概率．

解记事件A表示＂取到的两个球颜色不同＂．则有利于事件A的样本点

112数为C5C3．而组成试验的样本点总数为C5?3，由古典概型概率公式有

P(A)?C5C3C8211?1528．

设事件B表示＂取到的两个球中有黑球＂，则有利于事件B的样本点数为

C5．

2 P(B)?1?P(B)?1?C5C822?914．

10. 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：

(1)全是黑桃；(2)同花； (3)没有两张同一花色； (4)同色．

4解 52张牌中任取4张，共有C52种等可能的取法．

(1)用事件A表示＂任取4张全是黑桃＂，由于4张黑桃只能从13张黑桃

中取出共有C13种取法，所以 P(A)?C13C52444?0.0026．4 1(2)用事件B表示＂取出的4张牌同花＂，由于共有4种花色，而＂4张

4同花＂只能从同一花色的13张牌中取出，所以共有4C13种取法，于是

P(B)?4C13C4524?0.0105．6 4(3)用事件C表示＂取出的4张牌没有两张同一花色＂，4张牌只能从各

种花色(13张牌)中各取1张，共有134种取法，于是 P(C)?13C4452?0.1054．9 8(4)用事件D表示＂取出的4张牌同色＂，共有2种颜色，而每种颜色只

能从同一颜色的26张牌中任取4张，共有2C26种取法，于是 P(D)?2C26C45244?0.110444．

11. 口袋内装有2个伍分、3个贰分、5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率．

解设事件A表示＂取出的5枚硬币总值超过壹角＂．

5则样本点总数为C10?252，事件A所包含的样本点数为

C2C8?C2(C3C5?C3C5)?126．

2313122 P(A)?1261?． 252212. 袋中有红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：

A?＂三次都是红球＂即＂全红＂，B?＂全白＂，C?＂全黑＂，D?＂无红＂，E?＂无白＂，F?＂无黑＂，G?＂三次颜色全相同＂，H?＂颜色全不相同＂，I?＂颜色不全相同＂．

解样本点总数为3?27；事件A、事件B、事件C所包含的样本点数为1；事件D、事件E、事件F所包含的样本点数为2?8；事件G所

33 5

解 (1)设一次试验中A发生的概率为p，则依题意可得 1?(1?p)4?0.8704， (1?p)4?0.1296，

1?p?0.6， p?0.4．

(2)用事件B表示＂4次试验中事件A恰好发生2次＂， P(B)?C42(0.4)2(0.6)2?0.345．6

40. 有8门炮，每门炮命中目标的概率均为0.2，各射一炮，求下列事件的概率

(1)目标被命中3弹； (2)目标至少被命中2弹； (3)目标至多被命中2弹；

解设(1),(2),(3)分别为事件A，B，C．

335 (1)P(A)?C8(0.2)(0.8)?56?0.008?0.32768?0.1468；

817 (2)P(B)?1?(0.8)?C8(0.2)(0.8)?0.4967；

817226 (3)P(C)?(0.8)?C8(0.2)(0.8)?C8(0.2)(0.8)?0.7969．

41. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么？

解设事件A2n?1,B2n分别表示＂甲在第2n?1次投中＂与＂乙在第2n次投中＂，显然A1,B2,A3,B4,?相互独立．设事件A表示＂甲先投中＂． P(A)?P(A1)?P(A1B2A3)?P(A1B2A3B4A5)?? ?0.4?0.6?0.5?0.4?(0.6?0.5)?0.4???20.41?0.3?47．

计算得知P(A)?0.5，P(A)?0.5，因此甲先投中的概率较大． 42. 某高校新生中，北京考生占30%，京外其他各地考生占70%，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80%，而京外学生以英语为第一外语的占95%，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率．

解设事件A表示＂任选一名学生为北京考生＂，B表示＂任选一名学生以英语为第一外语＂．依题意P(A)?0.3，P(A)?0.7，P(B|A)?0.8，

P(B|A)?0.95．由全概率公式有

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

?0.3?0.8?0.7?0.95?0.905．

43. A地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9:7:4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内发病率依次为

0.004，0.002，0.005，求A地的甲种疾病的发病率．

解设事件A1,A2,A3分别表示从A地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A1,A2,A3两两互不下容，其和为?．设事件B表示＂任选一名居民其患有甲种疾病＂，依题意：

P(A1)?0.45, P(A2)?0.35，P(A3)?0.2，

P(B|A1)?0.004， P(B|A2)?0.002， P(B|A3)?0.005

3P(B)??P(A)P(B|A)?0.45?0.004iii?1?0.35?0.002?0.2?0.005

?0.0035．

44. 一个机床有三分之一的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3，加工零件B时的停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率．

解设事件A表示＂机床加工零件A＂，则A表示＂机床加工零件B＂，设事件B表示＂机床停工＂．

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.3?13?0.4?23?0.37．

45. 市场供应的灯泡中有40%是甲厂生产的，60%是乙厂生产的，若甲、乙两厂生产的灯泡次品率分别为0.02和0.03，求 (1)顾客不加选择的买一个灯泡为正品的概率；

(2)已知顾客买的一个灯泡为正品，它是甲厂生产的概率．

?0.4?0.98?0.6?0.970.97446. 甲袋中装有4个红球，2个白球；乙袋中装有2个红球，4个白球，

?0.4025．

求下列事件的概率：

(1)从甲袋任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，该球为红球； (2)从甲袋任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，该球为红球； (3)从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球放回甲袋，最后从甲袋中任取一球，该球为红球．

解 (1)设事件A表示＂第一次取出红球＂，事件A表示＂第一次取出白球＂，事件B表示＂第二次取出红球＂．

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?46?37?26?27?821?0.381．

(2)设事件A1表示＂第一次取出的两球都是红球＂，A2表示＂第二次取出的两球都是白球＂，A3表示＂第一次取出的两球一红一白＂，事件B表

示＂第二次取出红球＂．

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3) ?C4C661522?C4C84811?1C2C6?22?28C2C8?11?8C2C4C6?38211?C3C811

???1515?0.416．7

(3)设事件A表示＂第一次取出的是红球＂，A表示＂第一次取出的是

白球＂，事件B表示＂第二次取出的是红球＂，B表示＂第二次取出的是白球＂，事件C表示＂第三次取出的是红球＂．

P(C)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)

?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)

?P(C|AB)P(A)P(B|A)?P(C|AB)P(A)P(B|A) ?P(C|AB)P(A)P(B|A)?P(C|AB)P(A)P(B|A) ?4?4?3?5?2?27?36?46?46?46?26?576676613?0.61．9 ?21

47. 有编号为(1)、(2)、(3)的3个口袋，其中(1)号袋内装有两个1号球，

1个2号球和1个3号球，(2)号袋内装有两个1号球和1个3号球，(3)号

袋内装有3个1号球和两个2号球，现在先从(1)号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大？为什么？

Bi表示＂第二次取到i号球＂，解设事件Ai表示＂第一次取到i号球＂，

i?1,2,3．依题意，A1,A2,A3构成一个完全事件组．

P(A1)?12， P(A2)?P(A3)?12121214，

1414 P(B1|A1)? P(B1|A2)? P(B1|A3)?，P(B2|A1)?P(B3|A1)?，P(B2|A2)?P(B3|A2)?，P(B2|A3)?3，，

1613，P(B3|A3)?，

12应用全概率公式P(Bj)?1348?i?1P(Ai)P(Bj|Ai)可依次计算出P(B1)?，

P(B2)?，P(B3)?1148，因此第二次取到1号球的概率最大．

48. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5:3:2，各机床所加工的零件合格率，依次为94%，90%，95%，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率．

解设事件A1,A2,A3分别表示＂受检零件为甲机床加工＂，＂乙机床加工＂，＂丙机床加工＂．B表示＂废品＂，应用贝叶斯公式有 P(A1|B)?P(A1)P(B|A1)3

?P(A)P(B|A)iii?1 ?0.5?0.060.5?0.06?0.3?0.1?0.2?0.0547?37，

P(A1|B)?1?P(A1|B)?．

49. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5%，15%，30%，50%，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%，70%，60%与90%，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率．

解设事件A1,A2,A3,A4分别表示外出人＂乘坐飞机＂，＂乘坐火车＂，＂乘坐轮船＂，乘坐汽车＂，B表示＂外出人如期到达＂．

P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)4

?P(A)P(B|A)iii?1 ?0.15?0.30.05?0?0.15?0.3?0.3?0.4?0.5?0.1?0.21．

50. 设发报台分别以0.6和0.4的概率发出＂－＂和＂?＂信号．由于干扰作用，发＂－＂信号时，收报台以0.9的概率收到＂－＂，以0.1的概率收到＂?＂；发＂?＂信号时，收报台收到＂?＂＂－＂＂不清＂的概率分别为0.8，0.1和0.1，求下列事件的概率． (1)收报台收到＂－＂信号； (2)收报台收到＂?＂信号；

(3)收报台收到＂－＂信号，确系发的＂－＂； (4)收报台收到＂?＂信号，确系发的＂?＂．

解设事件A1,A2分别表示＂发出＂－＂＂和＂发出＂?＂＂，

事件B1,B2,B3分别表示＂收到＂－＂＂，＂收到＂?＂＂，＂收到＂不清＂＂．

依题意 P(A1)?0.6，P(A2)?0.4； P(B1|A1)?0.9，P(B2|A1)?0.1；

P(B1|A2)?0.1，P(B2|A2)?0.8，P(B3|A2)?0.1． (1)P(B1)?P(A1)P(B1|A1)?P(A2)P(B1|A2) ?0.6?0.9?0.4?0.1?0.58．

(2)P(B2)?P(A1)P(B2|A1)?P(A2)P(B2|A2) ?0.6?0.1?0.4?0.8?0.38．

(3)P(A1|B1)?P(A1)P(B1|A1)P(A1)P(B1|A1)?P(A2)P(B1|A1)?0.540.58

?0.931． (4)P(A2|B2)?P(A2)P(B2|A2)P(A1)P(B2|A1)?P(A2)P(B2|A2)0.4?0.80.6?0.1?0.4?0.8?0.320.38

??0.842．

51. 某企业采取三项深化改革措施，预计各项改革措施成功的可能性分别为0.6，0.7和0.8，设三项措施中有一项、两项、三项成功可取得明显经济效益的概率分别为0.4，0.7和0.9，若各项措施成功与否相互独立，求 (1)企业可取得明显经济效益的概率；

(2)企业已取得经济效益，是由于有两项措施成功而引起的概率．（假定三项均不成功不会取得明显经济效益）

解设企业采取甲、乙、丙三项改革措施，用事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三项改革措施成功，则

P(A)?0.6， P(B)?0.7，P(C)?0.8，

用事件D表示“企业可取得明显经济效益”，用事件E,F,G分别表示有一项、二项、三项措施成功，则 P(E)?P(ABC?ABC?ABC)

?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?0.6?0.3?0.2?0.4?0.7?0.2?0.4?0.3?0.8?0.188， P(F)?P(ABC?ABC?ABC)

?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?0.6?0.7?0.2?0.4?0.7?0.8?0.6?0.3?0.8?0.452， P(G)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?0.6?0.7?0.8?0.336，

P(D|E)?0.4，P(D|F)?0.7，P(D|G)?0.9． (1)P(D)?P(E)P(D|E)?P(F)P(D|F)?P(G)P(D|G)

?52. 一条生产线正常生产的时间为95%，不正常生产的时间为5%．正常运转时，产品90%为合格品，10%为不合格品；不正常运转时，产品合

格品只占40%，从产品中任取1件检查，求下列事件的概率： (1)取出的产品为合格品；

(2)取出的是合格品，它是正常运转时生产的； (3)取出的是合格品，它是不正常运转时生产的．

解用事件A1,A2分别表示生产线正常生产与不正常生产，用事件B1,B2分别表示取出一件产品为合格品与不合格品．依题意 P(A1)?0.95，P(A2)?0.05； P(B1|A1)?0.9，P(B2|A1)?0.1； P(B1|A2)?0.4，P(B2|A2)?0.6.

(1)P(B1)?P(A1)P(B1|A1)?P(A2)P(B1|A2)

5 ?0.95?0.9?0.05?0.4?0.87；

(2)P(A1|B1)?P(A1)P(B1|A1)P(A1)P(B1|A1)?P(A2)P(B1A2)?0.8550.875?0.977．

53. 某种零件可以用两种工艺方法加工制造，第一种方法需三道工序，其中各道工序出现废品的概率分别是0.1，0.2和0.3；第二种方法需两道工

序，每道工序出现废品的概率均为0.3．设在合格品中得到优等品的概率分别为0.9和0.8．比较哪种方法得到优等品的概率较大？

解用事件A表示＂用第一种方法生产出合格品＂，用事件B表示＂用第二种方法生产出合格品＂．用事件C1,C2分别表示用第一、第二种方法生产出优等品．依题意

P(A)?0.9?0.8?0.7?0.504， P(B)?0.7?0.7?0.49， P(C1|A)?0.9， P(C2|B)?0.8．

P(C1)?P(A)P(C1|A)?0.504?0.9?0.4536， P(C2)?P(B)P(C2|B)?0.49?0.8?0.392．所以第一种方法得到优等品的概率较大． 54. 设一条昆虫生产n个卵的概率为 pn??nn!e??，n?0,1,2,?，

其中??0．又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率等于p(0?p?1)．如果卵的孵化是互相独立的．问此虫的下一代有k条的概率是多少？解设事件An?＂一个虫产下几个卵＂，n?0,1,2,?．BR?＂该虫下一代有k条虫＂，k?0,1,2,?．依题意

P(An)?pn??nn!e??，

k?n0?k?n0? P(Bk|An)??kkn?k?Cnpq

其中q?1?p．应用全概率公式有

??n P(Bk)??P(An?0)P(Bk|An)??P(An?kn)P(Bk|An)

? ??n?k?nn!e??n!k!(n?k)!?pqkn?k?(?p)k!k?e???n?k(?q)n?k(n?k)!

?由于?n?k(?q)n?k(n?k)!??n?k?0k(?q)n?k(n?k)!?e?q，所以有

P(Bk)?(?p)k!e??e?q?(?p)kpe??p， k?0,1,2,?．

（B）

1. 对于任意二事件A和B，与A?B?B不等价的是：

(a)A?B (b)B?A (c)AB?? (d)AB??

解 (d)

A?B?B?A?B?B?A?AB??，而

AB???A?B．

2. 设A,B为两个随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1，则必有： (a)P(A?B)?P(A)(b)P(A?B)?P(B) (c)P(A?B)?P(A)(d)P(A?B)?P(B) 解 (c)

P(AB)P(B)由题设条件可得P(A|B)??1，所以P(AB)?P(B)，即

A?B，于是A?B?A，故有P(A?B)?P(A)．

3. 当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则必有： (a)P(C)?P(AB)(b)P(C)?P(A?B)

(c)P(C)?P(A)?P(B)?1(d)P(C)?P(A)?P(B)?1 解 (d)

当事件A与B同时发生时，事件C发生?C?AB，所有，(a)非正确答案．

虽然C?AB，但可能有A?B?C，所以，(b)非正确答案． 显然，P(A)?P(B)?1?0可能成立，所有，(c)非正确答案． 4. 设P(A)?a，P(B)?b，P(A?B)?c，则P(AB)?_______． (a)a?b(b)c?b(c)a(1?b) (d)a(1?c) 解 (b)

P(AB)?P[A(??B)]?P(A?AB)?P(A)?P(AB)，

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?c，

即a?b?P(AB)?c，所以P(AB)?a?b?c，于是得  P(AB)?P(A)?P(AB)?a?(a?b?c)?c?b．

5. 设A,B,C三个事件两两独立，则A,B,C相互独立的充分必要条件是： (a)A与BC独立(b)AB与A?C独立 (c)AB与AC独立(d)A?B与A?C独立解 (a)

A,B,C相互独立?A,B,C两两独立

且P(ABC)?P(A)P(B)P(C)．由题设条件已经知道了A,B,C两两独

立，因此

A,B,C相互独立?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)．

对于(a)，因为B与C已经相互独立，所以A与BC独立?P(ABC)?P(A)P(BC)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)，故应选(a)．

6. 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：

A1?｛掷第一次出现正面｝，A2?｛掷第二次出现正面｝， A3?｛正、反面各出现一次｝， A4?｛正面出现两次｝则事件（）

(a)A1,A2,A3相互独立(b)A2,A3,A4相互独立 (c)A1,A2,A3两两独立(d)A2,A3,A4两两独立解 (c)

P(A1)?12，P(A2)?12，P(A3)?12，P(A4)?14．

A1A2A3??，A2A3A4??，A3A4??，所以(a)，(b)，(d)非正确答案．

P(A1A2)?P(A4)?14?P(A1)P(A2)，

P(A1A3)?P(掷第一次出现正面，第?14?P(A1)P(A3)，

二次出现反面)

P(A2A3)?P(掷第一次出现反面，第?14?P(A2)P(A3)，

二次出现正面)

所以(c)正确．

7. 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为

则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）． p(0?p?1)，

2222(a)3p(1?p) (b)6p(1?p)(c)3p(1?p)(d)6p(1?p)

22解 (c)

122 前3次射击恰好1次命中目标的概率为C3p(1?p)?3p(1?p)，

第4次命中目标的概率为p，再由独立性可得第4次射击恰好第2次命中目标的概率为3p2(1?p)2．

8. 把n个＂0＂与n个＂1＂随机地排列，求没有两个＂1＂连在一起的概率．

解考虑n个＂1＂的放法：2n个位置上＂1＂占有n个位置，所有共有

C2n种放法．而＂没有两个1连在一起＂，相当于在n个＂0＂之间及两头

n（共n?1个位置）去放＂1＂，这共有Cn?1种放法． n所以没有两个＂1＂连在一起的概率为

Cn?1Cn2nn?n?1Cn2n．

9. 从数字1,2,?,9中可重复地任取n次，求n次所取数字的乘积能被10整除的概率．

解记事件A为＂至少取到一次5＂，事件B为＂至少取到一次偶数＂，则所求概率为P(AB)．因为

89nn所以

P(A)?，P(B)?59nn，P(A?B)?49nn，

P(AB)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(A?B)

?1?8?5?49nnnn．

10. 考虑一元二次方程x2?Bx?C?0，其中B,C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q．解 B,C均可取值1,2,3,4,5,6，而且取每一个值的概率均为

16．一枚骰子

接连掷两次，其基本事件总数为n?36，且这36个基本事件是等可能的，所以，这是一个古典概型问题．

当B2?4C时方程有实根；B2?4C时方程有重根．关键的问题是求出满足B2?4C和B2?4C的基本事件数．用表格列出分析结果： B 使C?B21 2 1 3 2 4 4 5 6 6 0 6 4B2的基本事件数 0 1 0 1 0 0 使C?4的基本事件数由此可得，使方程有实根的基本事件数为1?2?4?6?6?19，所以p?1936．

236?118使方程有重根的基本事件数为2个，所有q?．

11. 已知事件A,B满足P(AB)?P(A?B)，记P(A)?p，试求P(B)．解因为

P(AB)?P(A?B)?P(A?B)?1?P(A?B)

?1?P(A)?P(B)?P(AB)，由此得 1?P(A)?P(B)?0，所以 P(B)?1?P(A)?1?p．

12. 证明：|P(AB)?P(A)P(B)|?解不妨设P(A)?P(B)，则

14．

P(AB)?P(A)P(B)?P(B)?P(B)P(B)?P(B)[1?P(B)]?另一方面，还有

P(A)P(B)?P(AB)?P(A)[P(AB)?P(AB)]?P(AB)

14．

 ?P(A)P(AB)?P(AB)[P(A)?1]

 ?P(A)P(AB)?P(A)P(A)?P(A)[1?P(A)]?14．

13. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．

解记事件Ai为＂第i次取出不合格＂，i?1,2；D为＂有一件是不合格品＂；E为＂另一件也是不合格品＂．因为D意味着：第一件是不合格品而第二件是合格品，或第一件是合格品而第二件是不合格品，或两件都是不合格品．而ED意味着：两件都是不合格品．即 D?A1A2?A1A2?A1A2；ED?A1A2．因为 



4?610?9

?6?410?9?4?310?9?

23P(D)?P(A1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)?P(ED)?4?310?9?215，

所以根据题意得 P(E|D)?14. 已知P(A)?142/152/3?15?0.2． 13，P(B|A)?，P(A|B)?12，求P(A?B)．

解由乘法公式知

P(AB)?P(A)P(B|A)?14?13?112，

P(B)?P(AB)P(A|B)?1/121/2?16，

141611213所以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)????．

15. 若P(A|B)?P(A|B)，试证P(B|A)?P(B|A)．证明由P(A|B)?P(A|B)，得 P(A|B)?P(AB)P(B)P(A)?P(AB)1?P(B)?P(A|B)?

所以得P(AB)?P(B)P(AB)?P(A)P(B)?P(B)P(AB)，即P(AB)?P(A)P(B)．

所以P(AB)?P(A)P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(AB)，即P(AB)P(A)?P(A)P(BA)，

P(AB)P(A)P(BA)P(A)由此得?，

即P(B|A)?P(B|A)．

16. 四个学生证混放在一起，现将其随意发给这四名学生，求事件＂没有一个学生拿到自己的学生证＂的概率p．

解设A?＂没有一个学生拿到自己的学生证＂，直接计算P(A)很困难，所以，先计算A的概率．

设Ai?＂第i个学生拿到的是自己的学生证＂(i?1,2,3,4)，则 P(Ai)?14(i?1,2,3,4)，

111??(i?j)， 4312P(AiAj)?P(Ai)P(Aj|Ai)? 36

 P(AiAjAk)?P(Ai)P(Aj|Ai)P(Ak|AiAj)?（i,j,k互不相等），

1111 ???43224P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)?1111． ???1?43224

又A?A1?A2?A3?A4，所以，由加法公式则得

P(A)?P(A1?A2＋A3?A4)?4?14?C4?582112??C4?383124?124?58，

于是得p?P(A)?1?P(A)?1?．

17. 甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是

12，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率．

解记事件A,B,C分别为＂甲、乙、丙获得冠军＂，事件Ai,Bi,Ci分别为＂第i局中甲、乙、丙获胜＂，则

P(A)?[P(A1A2)?P(A1C2B3A4A5)?P(A1C2B3A4C5B6A7A8)??] ?[P(B1C2A3A4)?P(B1C2A3B4C5A6A7)??] ?(??) 2584722222111111(1?3?6??) ?(1?3?6??)?4162222???111??)?(11?516(11?18)?514．

因为甲、乙两人所处地位是对称的，所以P(B)?P(A)?由此又可得P(C)?1?P(A)?P(B)?414?27514．

．

18. 设0?P(B)?1，试证事件A与B独立的充要条件是 P(A|B)?P(A|B)．

证明先证必要性：因为A与B独立，所以A与B独立，由此得

P(A|B)?P(A)?P(A|B)．

再证充分性：由P(A|B)?P(A|B)可得

P(AB)P(B)?P(AB)P(B)，即

P(AB)(1?P(B))?P(B)(P(A)?P(AB))，

由此得 P(AB)?P(A)P(B)，所以A与B独立．

19. 设有来自三个地区的各10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份．随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽出两份． 

(1求先抽取的一份是女生表的概率p；

 (2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽取的一份是女生表的概率q．解设Ai?｛报名表是取自第i个地区的考生｝(i?1,2,3)，则A1,A2,A3构成完备事件组，且P(Ai)?生表｝(j?1,2)，则 P(B1|A1)?31013(i?1,2,3)．设Bj?｛第j次抽到的是女