五年级奥数10道题8 教师版 - 图文

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五年级奥数综合卷教师版

1. 甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每

小时3千米．学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰

好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少?

答案 15：11．

分析 我们先来确定最短时间到达公园的方法：

如图12—4，汽车先载一个班，另一班步行．汽车到达D点放下所截一班学生，立刻返回到C，与步行一班学生相遇．最后，汽车载着先步行的班与后步行的班同时到达B点，即公园．

本题所求的是AC与BD的比例关系，我们应设法通过汽车与两班步行的速度关系，求出相同时间内行驶的距离间的比例关系，最后求出答案． ·

详解 我们认为用时最短的运载方式如下所述：

汽车载着乙班从A出发，甲班步行；当汽车到达D时，放下乙班步行，返回到C与甲班相遇．最后，汽车载着甲班与步行的乙班同时到达B．

在汽车与甲班在C相遇之前，甲班走了AC，汽车走了AD+DC，也就是AC+2CD．由于这一过程中，车和甲班始终在走，所以路程比等于速度比，即

因此，

同理，在汽车放下乙班之后，乙班走了DB，汽车走了DC+CB，也就是DB+2CD．由于这一过程中，车和乙班始终在走，所以路程比等于速度比，即

因此，

由此，

评注 本题首先要确定最佳的策略，之后的解法是比较及比例的应用．如果对于这道题理解有困难，可以先参考五年级第12讲“行程问题之四”的例15．

2. 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原

来的

49，乙只能完成原来的．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要合510做多少天?

答案 5天．

分析 我们应先计算两人的工作效率．另外，两人合做的天数少，就说明两人合作所完成的工程尽量少，而一个人单独完成的尽量多．而甲的效率高于乙的效率，所以8天中只有 甲乙合干及甲单干两种方式．

详解 甲、乙合干的工作效率为：

甲单干的效率为

1，用假设法的思路可直接求出两人合干了： 10

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评注 本题的关键是分析清楚为了让两人合干天数少，单独做工的只能是效率高的甲．对做工程问题，准确的分析是十分重要的．

3. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8

天，单独完成乙工作要20天．如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天?

答案 12天．

分析 首先，我们应确定最省时间情况下两人的工作方式．张更擅长做乙工作，李更擅长做甲工作，所以应开始时让两人充分发挥特长．而8天后，李再帮助张完成乙工作．

详解 当李完成甲工作时，乙工作还剩 李、张完成乙的工作效率为： 还需要的天数：

所以，一共需要8+4=12天．

评注 对于这种最优问题，确定最优的解决方式往往是更关键的． 4.

答案 440．

分析 题目中的算式共有40个加项，通过简单的观察不难发现，去掉中括号后，这是一个等差数列，首尾相加为23．这样上述算式中的40项恰好两两配对，分为20组，每组 中的两项括号内的算式之和恰为23．以

为例作进一步分析，以

的小数部分，我们有

与

分别表示

由于左边是整数，故右边必是整数；又23也是整数，于是数的小数部分一定大于或等于0并且小于1，因此我们得到

由此我们可求得

是整数．再注意到任一个

定大于或等于0并且小于2．于是

其他的19组的计

算与此类似，每组中的两项之和也为22． 详解 根据以上的分析，计算如下：

5. 甲乙两个自然数乘积比甲数的平方小1988，那么满足上述条件的自然数值几组? 答案 6组．

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分析 题目条件中涉及到甲乙两个自然数以及它们的乘积和甲数的平方．这四个数都是未知数，而题目条件中仅给出甲乙的乘积与甲数平方的关系，因此可以用不定方程来求解．

详解 设甲数为a，乙数为b，由题目条件可列‘出方程：．将此方程化为 由于再注意到因此71必是a的约数．那a可以是71、71 ×2、71×2 ×

2

2、71 ×7、71×2×7、71×2×2×7这6种可能，6个b分别取值71－7×2、 71×2－2×7、71×2×2－7、71×2 ×7－2、71×2×2×7－1． 综上所述，满足题目的条件的自然数共有6组．

评注 本题的难度并不是列出不定方程，而是列出方程后如何求解．我们经过简单的分析，发现71必是a的约数，这样就简化了计算过程；再通过讨论a中含质因数7和2的情 况，得出a共有6种可能的取值．

6. 将95写成若干个(至少两个)连续自然数之和，有多少种不同的写法?给出全部可能的答案． 答案 3种，分别是95=47+48=17+18+??+21=5+6+??+14．

分析 题目要求将95写成两个或两个以上连续自然数之和．如果写成奇数个，则95是其中间数的倍数；如果写成偶数个，则95是其中间两个数和的倍数． 由此进行与95约数有关的不定方程求解． 详解 将95分解质因数，95=5 × 19．若写成奇数个连续自然数的和，则95=项数×中间数．经试验，只有项数=5，中间数=19，即17+18+19+20+21=95 如果写成偶数个连续自然数的和， 则95=

经试验知中间两项和=95，项数=2，

95=47+48；或中间两项和=19，项数=10，即19=9+10，95=5+6+??+14． 所以，共3种不同的写法．

评注 本题与上一题本质上同一类问题，只不过在列方程时不像上一题那么直接，并且列出不定式方程后，求解的难度也比上一题要大一些，其中还利用到了等差数列的性质．

7. 甲、乙二人做同一个数的带余除法，甲将其除以8，乙将其除以9，甲所得的商数与乙所得的余数

之和为13．那么甲所得的余数是多少? 答案 4．

分析 题目中被除数及其除以8和9的商及余数均未知，只知道甲所得的商与乙所得的余数之和是13．未知数多于条件，明显是一道不定方程的题目． 详解 设这个数为a，甲乙做带余除法的结果分别为显然

于是由此或若则于是

但这与矛盾，因为c是介于0与7之间的自然数．若则

于是因此

评注 本题是带余除法与不定方程相结合的一个问题．首先，我们根据带余除法直接列出不定方程．其次，在解这个不定方程的时候，我们充分利用了“余数一定小于除数”这一事实．如解题过程中n+d=c的情形下，我们得出了关系n+d=m＋d=13，由于13比8大，所以这一结果与n+d=c矛盾． ． 8. 将自然数N接写在任意一个自然数的右边，如果得到的新数都能被N整除，那么称N为“魔术数”．问

小于1996的自然数中有多少个魔术数? 答案 14个．

分析 首先考虑N是一位数的情形．对于任一个自然数，将N写在其右边，相当于将该自然数乘以10再加上N，如果这样得到的数都能被N整除，特别地1×10=10可被N整除．反过来，如果10可被N整除，那么显然任何自然数乘以10也可被N整除．由以上的讨论知所有的一位魔术数恰好是10的一位数约数．同理，对于两位数、三位数、四位数，可得类似的结论．

详解 根据上面的分析，给出如下解答：10的一位数约数有1、2、5共3个；100的两位数约数有10、

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20、25、50，共4个；1000的三位数约数有100、125、200、250、500，共5个；10000的四位数约数中小于1996的有1000、1250，共2个．因此小于1996的自然数中有3+4+5+2=14个魔术数．

9. 在1、2、3??1994、1995这1995个数中找出所有满足下面条件的数a来：1995+a能整除1995×a． 答案 210、532、798、1254、1330、1680．

分析 题目是要从1、2、3??1994、1995这1995个数中找出使

是整数的那些自然数．由于

这个分式的分子分母中都含有未知数a，讨论起来较为麻烦，因此我们先要对它做如下的变形：

于是我们只要求出使

为整数的那些a即可．由于a在1、2、

3??1994、1995这1995个数中取值，故1995+a的取值介于1996与3990之间，并且只能是

的约数．于是我们只要求出1995×1995的所有介于1996与3990之间的约

数作为1995+a的取值，再求出相应的a即可．

详解 根据上面的分析，我们首先求出1995×1995的所有介于1996与3990之间的约数．它们分别为

因此，如果1995+a能整除1995×a，那么1995+a只能为上面的6

种取值，相应的a分别为210、532、798、1254、1330、1680．

10. A、B、C、D四人都常去电影院，A每隔2天去一次，B每隔4天去一次，C每隔6天去一次，D每

隔10天去一次．今天他们四人都去电影院，将来会有连续两天恰好都有两

人去电影院．如果今天算第一天，那么最早出现的具有上述性质的连续两天是第几天和第几天? 答案 第441天和第442天．

分析 题目告诉我们A每3天去一次电影院，B每5天去一次，C每7天去一次，而D每11天去一次．第1天A、B、C、D四人同时去了电影院，于是我们容易得出如果天数是15的倍数加1，那么A、B两人去电影院；如果天数是21的倍数加1，那么A、C两人去电影院；如果天数是33的倍数加1，那么A、D两人去电影院；如果天数是35的倍数加1，那么B、C两人去电影院；如果天数是55的倍数加1，那么B、D两人去电影院；如果天数是77的倍数加1，那么C、D两人去电影院． 详解 如果具有题目中所述性质的连续两天先是A、B去电影院，后是C、D去电影院，则有1+15m=1+77n－1，最小的一组解为m=41、n=8，于是这两天分别是第616天、第617天．如果先是C、D同去，后A、B同去，则1+15m=1+77n+1．最小的一组解为m=36、n=7，于是这两天分别为第540天，第541天．

如果具有题目所述性质的连续两天先是A、C同去，再是B、D同去，则1+21 m=1+55 n－1，最小的一组解为m=34、n=13，于是这两天分别是第715天和第716天．如果先是B、D同去，后A、C同去，则1+21 m=1+55n+1，最小的一组解为m=21、n=8，于是这两天分别为第441天和第442天．

如果具有题目中所述性质的连续两天先是A、D同去，后是B、C同去，则1+33m=1+35n－1，最小的一组解为m=18、n=17，于是这两天分别是第595天和第596天．如果先是B、C同去，后A、D同去，则1+33m=1+35n+l，最小的一组解为m=17、n=16，于是这两天分别是第561天与第562天．

综上所述，最早出现题目中所述性质的连续两天是第441天和第442天，在这两天分别是B、D去电影院和A、C去电影院．

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