数学建模作业实验1数学建模入门

数学建模作业

(实验1数学建模入门)

基本实验

1．贷款问题

小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。

(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？ (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？ (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？

(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三 年还清贷款。但条件是：

(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款 额的1/2；

(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总 额10%的佣金。

试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。

解答

解：设Ak为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每个月的还款额，

则A0=200000，且第k个月的欠款额=第k-1个月的欠款额?月利率+第k-1个月的欠款额-每月的还款额，即：

Ak=Ak－1（1+r）－x，k=1，2，…，N，

由以上差分方程可得：

第1个月的欠款额：A1＝A0（1+r）－x

第2个月的欠款额：A2＝A1（1+r）-x=A0(1+r)2-x[(1+r)+1] ……

第k个月的欠款额：Ak=Ak－1（1+r）－x=A0（1+r）k－x[(1+r)k-1+…+(1+r)+1]

(1?r)k?1=A0(1?r)?x

(1?r)?1k贷款总月数为n，也就是说，第n个月的欠款额为0，即An＝0，令n=k，导出

A0r(1?r)nx??A0?r，说明每个月的还款额一定大于贷款额×月利率。

(1?r)n?1（1）r＝0.006，n＝240，A0＝200000，计算可得x=1574.699，即每月还款额1574.70元，共还款1574.70×240＝377928.00元，共计付利息177928.00元。 （2）打算在5年后还清全部贷款，即k＝60，则A60＝173034.90元。 （3）A0=173034.90，n=15×12=180，r＝0.008，由此可以得到x＝1817.33元，即每月的还款额应为1817.33元。 （4）

① 若请借贷公司帮助还款，若提前三年还清贷款即是用17年还完贷款额，每半个月的付款额为1574.70的一半，还款次数是17×12×2＝408，则总的金额为1574.70×0.5×408+200000×10%＝341238.8元。

② 若不请借贷公司，每月的还款额x=1574.7元，按每年12个月计，总共的还款额为1574.70×12×20＝377928元。

由于341238.8<377928，所以小王夫妇可以请借贷公司帮助还款。

2．冷却定律与破案

按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为T0(T0

凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达现场测得尸温26℃，室温10℃。晨8时又测得尸温18℃。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。

解答

解：设T为t时刻尸体的温度，T0为尸体的初始温度，k为比例系数，由Newton冷却定律可得微分方程：

dT?k(T?T0) dt解该微分方程可得：

T?T0?Cekt

令6时为t=0时刻，则T（0）=26℃，T（2）=18℃，T0=10℃，带入微分方程，联立可得，C=16，k=-0.35，所以，T?10?16e-0.35t。

当T=37℃时，带入微分方程的解可得t=-1.5小时，所以凶杀案发生在大约早晨4时30分。

3．锻炼想象力、洞察力和判断力的问题

(1)某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路释中的同一地点，为什么？

(2)甲乙两站之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站， 并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现100天中约有90天到达甲站，大约10 天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻表是如何安徘的？

(3)张先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城际火车于18:00抵达A市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火车于17:30抵达A市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了10分钟，问张先生步行了多长时间？

(4)一男孩和一女孩分别在距家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家。一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回

到家中。问小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？

解答

解：

（1）假设此人从山下出发的同一时刻，另外一个人从山上出发沿同一条道路下

山，两人在同一条道路相向而行，毫无疑问，在两人相向而行的过程中，两人只能相遇一次。因此，若一个人在两天的同一时刻出发，该人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，且该情况只能发生一次。

（2）从乙发出的车比从甲发出的车晚1分钟。对于一个时间长度为10分钟的区

间，例如，可以从甲方向来的车驶离丙站时开始，在其后的9分钟内到达的乘客见到先来的车均为乙开往甲的，仅有最后1分钟到达的乘客才见到由甲来的车先到。由此可见，如果此人到丙站等车的时间是随机的，则他先遇上乙方向来的车的概率为90%。

（3）假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前

回家了。由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。

（4）男孩女孩到家都需要半小时，则小狗跑的时间也为半小时，所以小狗跑的

路程为3公里。

参考文献《关于一个经典数学模型问题的讨论》

当S=0时，即小狗、男孩、女孩同时从家出发，设小狗先向女孩运动，假设

Si?v0?t?,i为奇数i?1?2??小狗最后停在Si’处，可以得到方程：S??

S?v?tv?v??i0?01,i为偶数i?2?v0?v1?2?当i为无穷多次时，由定理可得S=0，对任意的Si’，S≡0；即当S=0时，小狗的最终位置Si’可以为[-2,3]中的任意数。

由上面分析可知，在男孩和女孩上学时小狗从家(S=0)往返奔波于他们之间的

情况下，孩子到学校时小狗的最终位置不确定。

4.考试作弊情况调查

一位教授要估算他班上的大三和大四高年级学生在大学期间的考试中从未作弊的概率.为了从学生那里得出真实的答案，他要求每个学生自己投掷一枚硬币，如果正面朝上，回答问题1：“你是即将毕业的大四学生吗？”；如果是正面朝下，回答问题2：“你曾经在考试中做过弊吗？”。每个学生在一张纸上写下答案“是”或者“否”，然后收回这张纸，由教授来统计。答案是保密的，因为只有学生自己知道他回答的是哪一个问题。在参与这项实验的35名学生中，有20名大四学生。实验统计结果表明，有18名学生回答“是”，17名学生回答“否”。利用这些信息估计该班的任何一名学生在过去的考试中从未作弊的概率。

解答

解：设该同学回答是的概率为P，对于问题1回答是的概率为P1，对于问题2回答是的概率为P2，学生投掷硬币回答问题1的概率为Q。 由全概率公式可得： P=Q P1+(1-Q) P2

由题目已知条件可得，P=18/35，P1=20/35，Q=1/2， 代入可得，P2=16/35，1-P2=1-16/35=54.3%。

加分实验（公平投票问题）

某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果来确定资助的额度。许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则讲行评比。

(1)为了公平性，评委对本单位选手不给分；

(2)每位评委对每位参与申请的人(除本单位选手外)都必须打分，且不打相同的分；

(3)评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、…

依次类推。

(4)评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。

本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其它选手没有类似情。评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正来解决选手甲的抱怨？

解答

解：设评委的个数为n，给甲的评分分别为a1，a2，…，an， 不回避情况下甲的得分为X1，回避情况下甲的得分为X2，则：

X1=a1?a2?...?ana?a2?...?an?1，X2=1。

nn?1两者相减可得：

X2?X1=a1?a2?...?an?1a1?a2?...?ana1?a2?...?an?1?an(n?1)。 ?=n?1nn(n?1)可知二者的差不恒等于0，所以这种评比规则对他并不公平。 修正方法：

在评分结束后去掉一个最高分和一个最低分再算平均分。

依次类推。

(4)评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。

本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其它选手没有类似情。评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正来解决选手甲的抱怨？

解答

解：设评委的个数为n，给甲的评分分别为a1，a2，…，an， 不回避情况下甲的得分为X1，回避情况下甲的得分为X2，则：

X1=a1?a2?...?ana?a2?...?an?1，X2=1。

nn?1两者相减可得：

X2?X1=a1?a2?...?an?1a1?a2?...?ana1?a2?...?an?1?an(n?1)。 ?=n?1nn(n?1)可知二者的差不恒等于0，所以这种评比规则对他并不公平。 修正方法：

在评分结束后去掉一个最高分和一个最低分再算平均分。

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